Калькулятор ящичной диаграммы - Бесплатный генератор диаграмм с усами

Что такое диаграмма размаха?

Диаграмма размаха, также называемая диаграммой «ящик с усами», — это график, который обобщает набор чисел с помощью пяти значений: минимума, первого квартиля, медианы, третьего квартиля и максимума. Она показывает, где сосредоточена основная часть данных, и отмечает необычные значения, называемые выбросами, не перечисляя каждую точку данных.

Диаграммы размаха широко используются в статистике, науке и деловых отчётах, поскольку позволяют сразу сравнивать несколько групп чисел.

Сводка по пяти числам

Диаграмма размаха строится по пяти числам, вычисленным после сортировки данных от наименьшего к наибольшему.

• Минимум: наименьшее значение, не являющееся выбросом. Этот калькулятор обозначает его как «Минимум (без выбросов)».
• Первый квартиль (Q1): значение, ниже которого находится примерно четверть данных.
• Медиана (Q2): среднее значение набора данных.
• Третий квартиль (Q3): значение, ниже которого находится примерно три четверти данных.
• Максимум: наибольшее значение, не являющееся выбросом. Этот калькулятор обозначает его как «Максимум (без выбросов)».

Если в наборе данных нет выбросов, эти два значения просто являются наименьшим и наибольшим введёнными числами. Если выбросы есть, они становятся концами усов, поэтому самое маленькое или самое большое введённое число отображается отдельно в списке выбросов.

Ящик на графике простирается от Q1 до Q3. Линия внутри ящика обозначает медиану. Тонкие линии, называемые усами, выходят из ящика в направлении минимума и максимума. Выбросы изображаются отдельными точками за пределами усов.

Формула диаграммы размаха

Для набора данных, отсортированного по возрастанию и содержащего n значений:

Медиана. При нечётном количестве значений медиана — это значение, стоящее посередине:

$M = x_{(n+1)/2}$

При чётном количестве значений медиана — это среднее арифметическое двух значений, стоящих посередине:

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

где M — медиана, а x с указанным номером позиции — значение, находящееся на этой позиции в упорядоченных данных.

Квартили. Разделите отсортированные данные на нижнюю и верхнюю половины. Если n нечётно, саму медиану не включают ни в одну из половин. Затем:

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

где $M_l$ — медиана нижней половины, а $M_u$ — медиана верхней половины.

Этот способ часто называют исключающим методом. Существуют и другие методы, которые могут давать немного отличающиеся значения Q1 и Q3 для небольших наборов данных, но этот калькулятор использует именно исключающий метод.

Межквартильный размах (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

Границы и усы. Границы определяют область, за пределами которой значения считаются выбросами:

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

где $F_l$ — нижняя граница, а $F_u$ — верхняя граница.

Усы не заканчиваются точно на границе. Они заканчиваются на крайней точке данных, которая всё ещё находится внутри границ:

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

где $W_l$ — нижний ус, а $W_u$ — верхний ус.

Выбросы. Любое значение ниже нижней границы или выше верхней границы является выбросом и отображается отдельной точкой, а не включается в ус.

Как построить диаграмму размаха пошагово

1. Отсортируйте данные от наименьшего к наибольшему.
2. Найдите медиану. При нечётном количестве значений это среднее значение. При чётном количестве это среднее арифметическое двух средних значений.
3. Найдите Q1: медиану нижней половины данных (при нечётном количестве сама медиана не включается).
4. Найдите Q3: медиану верхней половины данных, используя то же правило.
5. Вычислите IQR как разность Q3 и Q1.
6. Вычислите нижнюю и верхнюю границы, умножив IQR на 1,5.
7. Отметьте любое значение за пределами границ как выброс.
8. Установите усы на наименьшее и наибольшее значения, которые остаются внутри границ.

Пример расчёта

Рассмотрим этот набор данных из 11 значений: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Он уже отсортирован.

При 11 значениях (нечётное количество) медианой является значение под номером 6: 40.

Нижняя половина: 6, 7, 15, 36, 39 (пять значений, медиана исключена). Её медиана — среднее по порядку значение: Q1 = 15.

Верхняя половина: 41, 42, 43, 47, 49. Её медиана — среднее по порядку значение: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Нижняя граница = 15 − 1,5 × 28 = −27. Верхняя граница = 43 + 1,5 × 28 = 85. Все значения в наборе данных находятся между −27 и 85, поэтому выбросов нет, а усы доходят до фактических минимума и максимума: минимум = 6, максимум = 49.

Теперь сравним набор данных с выбросом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Здесь Q1 = 3,5, Q3 = 9,5, а IQR = 6, поэтому верхняя граница равна 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. Значение 50 находится выше этой границы, поэтому оно отображается как выброс, а верхний ус заканчивается на 11 — наибольшем значении, всё ещё находящемся внутри границы, — а не на 50.

Как читать диаграмму размаха

Ящик охватывает средние 50 % данных, поэтому широкий ящик означает большой разброс в центральной части данных, а узкий — её плотную группировку. Если линия медианы расположена ближе к одному краю ящика, распределение смещено, или асимметрично, в сторону более длинной части. Ус, значительно более длинный, чем другой, указывает, что хвост распределения сильнее вытянут в эту сторону. Точки за пределами усов являются выбросами и часто требуют более внимательного рассмотрения, поскольку могут быть как настоящими экстремальными значениями, так и ошибками в данных.

Частое применение

Диаграммы размаха используют для сопоставления групп, расположенных рядом, например оценок за тесты в нескольких классах, сроков доставки от двух поставщиков или результатов эксперимента с контрольной группой. Поскольку диаграмма размаха сводит целое распределение к пяти числам, несколько таких диаграмм можно разместить на одном графике, что упрощает сравнение разброса и типичных значений между группами по сравнению с таблицей исходных чисел.

Диаграммы размаха в сравнении с другими графиками

Гистограмма подробнее показывает полную форму распределения, но её сложнее использовать для одновременного сравнения многих групп. Скрипичная диаграмма добавляет вокруг ящика кривую плотности, точнее показывая, в каких местах сосредоточены значения. Диаграмма рассеяния показывает взаимосвязь между двумя переменными, чего диаграмма размаха делать не может. Выбор зависит от цели: сравнить группы (диаграмма размаха), подробно увидеть форму одного распределения (гистограмма или скрипичная диаграмма) или изучить взаимосвязь (диаграмма рассеяния).

История

Статистик Джон Тьюки ввёл диаграмму размаха в 1970-х годах и описал её в своей книге Exploratory Data Analysis, опубликованной в 1977 году. В первоначальном варианте, который иногда называют схематическим графиком, показывались медиана, квартили и крайние значения. В 1978 году статистики Роберт Макгилл, Тьюки и Уэйн Ларсен описали вариант с выемками, добавляющий доверительный интервал вокруг медианы. Правило 1,5 × IQR для обозначения выбросов вскоре стало стандартным соглашением.

Часто задаваемые вопросы

Для чего используется диаграмма размаха? Она показывает разброс набора чисел и отмечает вероятные выбросы, используя минимум, Q1, медиану, Q3 и максимум. Она особенно полезна для сравнения нескольких групп на одном графике.

Как читать диаграмму размаха? Ящик простирается от Q1 до Q3 и охватывает среднюю половину данных. Линия внутри ящика — это медиана. Усы доходят до наиболее экстремальных значений, не являющихся выбросами, а значения за пределами усов изображаются отдельными точками.

Как определить выбросы на диаграмме размаха? Значение является выбросом, если оно меньше Q1 − 1,5 × IQR или больше Q3 + 1,5 × IQR.

В чём разница между диаграммой размаха и гистограммой? Диаграмма размаха сводит распределение к пяти числам и выбросам, поэтому она компактна и удобна для сравнения групп. Гистограмма показывает частоту значений в различных диапазонах, давая более подробное представление о форме одного распределения.

Подходит ли этот калькулятор для небольших наборов данных? Для построения сводки по пяти числам этому калькулятору требуется не менее пяти чисел. При больших наборах данных диаграммы размаха информативнее, поскольку небольшое количество значений даёт слабое представление о разбросе и выбросах.

Какие входные данные принимает калькулятор? Числа, разделённые запятыми, пробелами или переносами строк, поэтому подходит столбец, вставленный из электронной таблицы. Любой элемент, не являющийся числом, отклоняется, а не пропускается, поэтому опечатка не сможет незаметно изменить результат.

Что означает асимметричный вид диаграммы размаха? Если медиана расположена ближе к Q1, у распределения более длинный хвост в сторону больших значений. Если она расположена ближе к Q3, у распределения более длинный хвост в сторону меньших значений.