Generátor a kalkulačka aritmetickej postupnosti - Zadarmo

Čo je aritmetická postupnosť?

Aritmetická postupnosť je zoznam čísel, v ktorom sa každý člen získa pripočítaním pevnej hodnoty k predchádzajúcemu členu. Táto pevná hodnota sa nazýva diferencia. V postupnosti 2, 5, 8, 11, 14 je každý člen o 3 väčší než predchádzajúci, takže diferencia je 3. Aritmetické postupnosti sa nazývajú aj aritmetické progresie.

Generátor aritmetickej postupnosti vytvára takýto zoznam z troch hodnôt:

• Prvý člen (a₁): počiatočné číslo.
• Diferencia (d): pevná hodnota pripočítaná ku každému členu, aby sa získal nasledujúci člen. Kladná hodnota spôsobí rast postupnosti. Záporná hodnota spôsobí jej klesanie.
• Počet členov (n): koľko čísel sa v postupnosti nachádza.

Po rozpísaní vyzerá aritmetická postupnosť takto: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d a tak ďalej až po a₁ + (n − 1)d.

Vzorec aritmetickej postupnosti

Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je:

aₙ = a₁ + (n − 1) × d

• aₙ je hodnota člena na pozícii n.
• a₁ je prvý člen.
• n je pozícia člena, pričom počítanie sa začína od 1.
• d je diferencia.

Výraz (n − 1) sa objavuje preto, že k prvému členu sa diferencia ešte nepripočítala. K druhému členu sa pripočítala raz, k tretiemu dvakrát a tak ďalej. K n-tému členu sa diferencia pripočítala (n − 1)-krát.

Vzorec pre súčet aritmetickej postupnosti

Súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti je:

Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)

Sₙ je súčet prvých n členov a aₙ je posledný člen zahrnutý do tohto súčtu. Tento vzorec funguje preto, že spárovaním prvého a posledného člena, druhého a predposledného člena a tak ďalej vždy vznikne rovnaký súčet dvojice. Vynásobením tohto súčtu dvojice polovicou počtu členov získame celkový súčet.

Ekvivalentný tvar, pri ktorom netreba vopred poznať posledný člen, je:

Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)

Tento vzorec sa pripisuje matematikovi Carlovi Friedrichovi Gaussovi, ktorý údajne ako dieťa použil metódu párovania na sčítanie čísel od 1 po 100 za niekoľko sekúnd: 50 dvojíc, pričom súčet každej bol 101, spolu teda 5 050.

Príklad výpočtu

Uvažujme prvý člen 5, diferenciou 3 a 6 členov.

Postupnosť je 5, 8, 11, 14, 17, 20. Jej súčet je (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75.

Ako používať kalkulačku aritmetickej postupnosti

1. Zadajte prvý člen (a₁). Môže byť kladný, záporný alebo nulový a môže obsahovať desatinné čísla.
2. Zadajte diferenciu (d). Aj tá môže byť kladná, záporná, nulová alebo desatinná.
3. Zadajte počet členov (n). Musí ísť o celé číslo od 1 do 10 000. Desatinné číslo sa zaokrúhli na najbližšie celé číslo.
4. Postupnosť, počet jej členov a súčet sa zobrazia hneď po vyplnení všetkých troch polí. Nie je potrebné stlačiť samostatné tlačidlo.
5. Vyberte Kopírovať postupnosť, aby sa skopíroval celý zoznam členov.
6. Vyberte Vymazať, aby sa všetky tri polia vyprázdnili a mohli ste začať znova.

Pravidlá zadávania

Prvý člen a diferencia môžu byť ľubovoľné reálne čísla vrátane desatinných a záporných čísel. Počet členov označuje celé položky, takže postupnosť nemôže mať pol člena. Pole zaokrúhľuje desatinný údaj na najbližšie celé číslo: zadaním 10,5 získate 11 členov. Počet potom musí byť v rozmedzí od 1 do 10 000. Pri nulovom alebo zápornom počte, prípadne pri počte väčšom než 10 000, sa namiesto postupnosti zobrazí chyba. Limit 10 000 existuje preto, že vytváranie a zobrazovanie dlhšieho zoznamu môže spomaliť webový prehliadač.

Použitie aritmetických postupností

Aritmetické postupnosti opisujú všetko, čo sa v pravidelných krokoch mení o pevnú hodnotu. Sporiaci plán, ktorý začína na 100 USD a každý mesiac pridáva 25 USD, sa riadi aritmetickou postupnosťou: 100, 125, 150, 175 a tak ďalej. Rovnaký vzor sleduje odpočítavanie času, súbor rovnomerne rozmiestnených časov stretnutí aj indexy riadkov a stĺpcov používané v počítačových programoch. Žiaci bežne používajú aritmetické postupnosti na skúmanie vzorov v úvodnej algebre, pretože konštantná diferencia uľahčuje pochopenie a overenie pravidla, podľa ktorého zoznam vzniká.

Súvisiacim vzorom je geometrická postupnosť, v ktorej sa každý člen získa násobením pevným pomerom namiesto pripočítania pevnej hodnoty, napríklad 2, 6, 18, 54. Geometrické postupnosti modelujú rast, ktorý sa časom zrýchľuje, napríklad zložené úročenie, na rozdiel od rovnomernej, lineárnej zmeny aritmetickej postupnosti.

História

Aritmetické postupnosti patria medzi najstaršie skúmané vzory v matematike. Rhindov matematický papyrus, egyptský dokument z obdobia približne 1650 pred n. l., obsahuje úlohy využívajúce aritmetické progresie na rozdeľovanie tovaru. Staroveké babylonské texty ukazujú podobné vzory ešte z dávnejšieho obdobia. Grécki matematici vrátane Euklida približne v 300 pred n. l. neskôr poskytli formálne dôkazy o týchto postupnostiach, ktoré sa vyučujú dodnes.

Často kladené otázky

Čo je aritmetická postupnosť jednoduchými slovami?

Je to zoznam čísel, v ktorom sa zakaždým pripočíta rovnaká hodnota, aby sa získalo nasledujúce číslo. V postupnosti 2, 5, 8, 11 je touto hodnotou 3.

Ako možno nájsť n-tý člen bez vypísania všetkých predchádzajúcich členov?

Vzorec aₙ = a₁ + (n − 1) × d určuje ľubovoľný člen priamo. V postupnosti začínajúcej na 3 s diferenciou 7 je 50. člen rovný 3 + (49 × 7) = 346.

Aký je rozdiel medzi aritmetickou a geometrickou postupnosťou?

V aritmetickej postupnosti sa zakaždým pripočíta rovnaká hodnota, napríklad 2, 5, 8, 11. V geometrickej postupnosti sa zakaždým násobí rovnakou hodnotou, napríklad 2, 6, 18, 54.

Môže aritmetická postupnosť používať záporné čísla?

Áno. Prvý člen, diferencia alebo oboje môžu byť záporné. Postupnosť -10, -6, -2, 2, 6 má diferenciu 4. Odpočítavanie, napríklad 100, 90, 80, 70, má diferenciu -10.

Ako sa určuje diferencia zo zoznamu čísel?

Odčítajte ľubovoľný člen od nasledujúceho člena: d = a₂ − a₁. V postupnosti 7, 12, 17, 22 je to 12 − 7 = 5 a 17 − 12 sa tiež rovná 5, čo potvrdzuje, že ide o aritmetickú postupnosť.

Aký je maximálny počet členov, ktoré môže táto kalkulačka vygenerovať?

Najviac 10 000 členov. Limit existuje preto, že vykresľovanie oveľa dlhšieho zoznamu môže spomaliť webový prehliadač.