Kalkulačka binomického rozdelenia - Bezplatný nástroj pravdepodobnosti

Čo je kalkulačka binomického rozdelenia?

Kalkulačka binomického rozdelenia vypočíta pravdepodobnosť dosiahnutia presného počtu úspechov v pevne stanovenom počte nezávislých pokusov, keď má každý pokus rovnakú pravdepodobnosť úspechu. Používa sa v štatistike, pri kontrole kvality, v medicíne a v každej oblasti, ktorá skúma opakované udalosti typu áno alebo nie.

Základnou myšlienkou je binomické rozdelenie, pravdepodobnostný model na počítanie úspechov v opakovaných pokusoch, z ktorých má každý iba dva výsledky, zvyčajne označované ako úspech a neúspech.

Vzorec binomického rozdelenia

Pravdepodobnosť dosiahnutia presne k úspechov v n pokusoch je:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Každý symbol znamená:

• n — počet pokusov.
• k — počet úspechov, pre ktorý sa pravdepodobnosť vypočítava.
• p — pravdepodobnosť úspechu v jednom pokuse, číslo medzi 0 a 1.
• $\binom{n}{k}$ — binomický koeficient, teda počet rôznych spôsobov, ako vybrať k úspechov z n pokusov. Rovná sa $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Každý pokus musí byť nezávislý, čo znamená, že výsledok jedného pokusu nemení pravdepodobnosť výsledku iného pokusu, a pravdepodobnosť úspechu p musí zostať rovnaká vo všetkých pokusoch. Jeden pokus s dvoma možnými výsledkami, napríklad jedno hodenie mincou, sa nazýva Bernoulliho pokus. Binomické rozdelenie vznikne sčítaním n Bernoulliho pokusov.

Ako vypočítať binomickú pravdepodobnosť

1. Zapíšte si n, k a p.
2. Vypočítajte binomický koeficient $\binom{n}{k}$, teda počet spôsobov, ako usporiadať k úspechov medzi n pokusmi.
3. Umocnite p na k-tú.
4. Umocnite (1 − p) na (n − k)-tú.
5. Vynásobte tieto tri čísla.

Kalkulačka na tejto stránke vykoná tieto kroky automaticky. Zadajte n, p a k a kalkulačka vráti P(X = k) spolu so stĺpcovým grafom zobrazujúcim pravdepodobnosť každého možného výsledku od 0 do n úspechov.

Vyriešený príklad

Príklad 1: hody mincou

Hoďte spravodlivou mincou 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že padne presne 3-krát hlava?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Výsledok: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, teda približne 11,72 %

Príklad 2: kontrola kvality

Továreň kontroluje 100 výrobkov. Pri každom výrobku je 2 % pravdepodobnosť, že bude chybný. Aká je pravdepodobnosť, že žiadny zo 100 výrobkov nebude chybný?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Keďže k = 0, vzorec sa zjednoduší na $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Výsledok: ≈ 0,1326, teda približne 13,26 %

Príklad 3: testovanie na ochorenie

Mesto testuje 1 000 ľudí na ochorenie, ktoré postihuje 0,1 % populácie (p = 0,001). Aká je pravdepodobnosť, že presne 5 z 1 000 ľudí bude infikovaných?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Výsledok: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, teda približne 0,30 % (presná hodnota 0,0030488, teda 0,30488 %)

Stredná hodnota a rozptyl

Pre binomické rozdelenie s parametrami n a p platí:

• Stredná hodnota (očakávaná hodnota): E(X) = np
• Rozptyl: Var(X) = np(1 − p)
• Smerodajná odchýlka: σ = √[np(1 − p)]

Stredná hodnota udáva priemerný počet očakávaných úspechov pri mnohých opakovaniach. V príklade 1 je stredná hodnota 10 × 0,5 = 5 hláv.

Čo kalkulačka akceptuje

• n musí byť celé číslo 1 alebo väčšie. Desatinné číslo sa zaokrúhli na najbližší celý počet pokusov, takže 10,9 sa považuje za 11.
• p musí byť medzi 0 a 1 vrátane oboch hraníc.
• k musí byť celé číslo 0 alebo väčšie a nesmie byť väčšie ako n. Dosiahnutie 8 úspechov v 5 pokusoch nie je možné, preto kalkulačka namiesto čísla zobrazí chybu.

Ak niektoré pole zostane prázdne, kalkulačka nezobrazí výsledok ani graf a nebude hodnotu odhadovať.

Kedy sa binomické rozdelenie používa

Binomické rozdelenie je vhodné pre situáciu iba vtedy, keď platia všetky štyri podmienky:

1. Počet pokusov n je vopred pevne stanovený.
2. Každý pokus má iba dva výsledky: úspech alebo neúspech.
3. Pravdepodobnosť úspechu p je pri každom pokuse rovnaká.
4. Pokusy sú navzájom nezávislé.

Ťahanie kariet z balíčka bez vrátenia porušuje podmienku nezávislosti, pretože odstránenie karty mení pravdepodobnosť pri ďalšom ťahaní. V takejto situácii sa namiesto toho používa hypergeometrické rozdelenie.

Súvisiace rozdelenia

• Poissonovo rozdelenie: používa sa na aproximáciu binomického rozdelenia, keď je n veľké a p malé, takže priemerný počet úspechov (np) zostáva mierny. Bežne sa používa na modelovanie zriedkavých udalostí, napríklad prípadu ochorenia v príklade 3.
• Normálne rozdelenie: pri veľkom n a keď p nie je príliš blízko k hodnotám 0 alebo 1 má binomické rozdelenie približne zvonovitý tvar a možno ho aproximovať normálnym rozdelením so strednou hodnotou np a rozptylom np(1 − p).
• Hypergeometrické rozdelenie: používa sa namiesto binomického rozdelenia, keď sa výber z konečnej populácie uskutočňuje bez vrátenia.

Najčastejšie otázky

Čo robí kalkulačka binomického rozdelenia?

Vypočítava pravdepodobnosť, že v n nezávislých pokusoch, z ktorých každý má pravdepodobnosť úspechu p, nastane presne k úspechov, pomocou vzorca P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Aký je rozdiel medzi binomickým a normálnym rozdelením?

Binomické rozdelenie je diskrétne, čo znamená, že poskytuje iba celočíselné počty úspechov. Normálne rozdelenie je spojité. Pri veľkom n možno binomické rozdelenie aproximovať normálnou krivkou so strednou hodnotou np a rozptylom np(1 − p).

Môže byť p rovné 0 alebo 1?

Áno. Ak p = 0, žiadny pokus nemôže byť úspešný, takže P(X = 0) = 1. Ak p = 1, každý pokus je úspešný, takže P(X = n) = 1. V týchto prípadoch má každá iná hodnota k pravdepodobnosť 0.

Aký je vzťah medzi binomickým a Bernoulliho rozdelením?

Bernoulliho rozdelenie opisuje jeden pokus s dvoma výsledkami (n = 1). Binomické rozdelenie je súčtom n nezávislých Bernoulliho pokusov, takže Bernoulliho rozdelenie je jednoducho binomické rozdelenie s n = 1.

Ako veľké môže byť n, kým bude kalkulačka nepresná?

Kalkulačka pracuje so štandardnou aritmetikou s dvojnásobnou presnosťou. Tri časti vzorca násobí priamo a na logaritmy prechádza vtedy, keď binomický koeficient prekročí najväčšie číslo, ktoré možno uložiť v premennej typu double; k tomu dochádza približne pri n = 1 000, keď je k blízke n/2. Výsledky zostávajú správne aj nad touto hranicou. Pravdepodobnosť menšia než približne 1e-308 sa uvádza ako 0, pretože žiadna premenná typu double ju nedokáže uchovať.

Ako sa vypočítava binomický koeficient?

Binomický koeficient C(n, k) udáva počet spôsobov, ako vybrať k prvkov z n prvkov bez ohľadu na ich poradie. Rovná sa n! / (k! × (n − k)!). Kalkulačka ho vytvára postupne: násobí jedným činiteľom a delí nasledujúcim, takže nikdy nemusí uložiť celý faktoriál. Pri veľmi veľkom n namiesto toho sčítava logaritmy týchto činiteľov.

Referencie

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. a kol. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.