Kalkulačka objemu kužeľa - Výpočet objemu kužeľa a kužeľovej výseče

Čo je kalkulačka objemu kužeľa?

Kalkulačka objemu kužeľa vypočíta objem kužeľa alebo komolého kužeľa (komolý kužeľ) z jeho polomeru a výšky. Kužeľ je teleso s jednou rovinnou kruhovou podstavou, ktoré sa plynulo zužuje do jediného bodu nazývaného vrchol. Komolý kužeľ je časť, ktorá zostane po odrezaní hornej časti kužeľa rovinou rovnobežnou s podstavou, takže namiesto jednej kruhovej podstavy má dve.

Vzorec na výpočet objemu kužeľa

Objem celého kužeľa závisí od polomeru jeho podstavy a jeho výšky.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V je objem kužeľa.
• r je polomer kruhovej podstavy.
• h je výška meraná priamo od podstavy po vrchol.
• π (pí) je približne 3,14159.

Vyriešený príklad

Kužeľ s polomerom podstavy 3 jednotiek a výškou 4 jednotiek má tento objem:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 kubických jednotiek

Ako vypočítať objem kužeľa pomocou kalkulačky

Kalkulačka používa tri vstupné údaje:

1. Polomer — polomer podstavy.
2. Výška — výška kužeľa od podstavy po vrchol.
3. Výška rezu od podstavy (voliteľné) — vzdialenosť rezu kužeľa od podstavy, ak je horná časť odrezaná.

Ak pole pre výšku rezu zostane prázdne alebo sa zadá hodnota 0, vypočíta sa objem celého neodrezaného kužeľa. Ak sa zadá výška rezu menšia než celková výška, vypočíta sa objem zrezaného kužeľa pod rezom. Obrázok pod vstupnými poľami označuje na telese tie isté tri merania.

Kalkulačka odmietne polomer alebo výšku s hodnotou nula, zápornou hodnotou, prázdnym údajom alebo hodnotou príliš veľkou na spracovanie ako bežné číslo. V takých prípadoch zobrazí upozornenie namiesto objemu, takže nikdy nezobrazí vymyslený výsledok.

Vzorec na výpočet objemu zrezaného kužeľa

Objem komolého kužeľa závisí od polomerov jeho dvoch kruhových podstáv a od jeho vlastnej výšky.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R je polomer väčšej, dolnej podstavy.
• r je polomer menšej, hornej podstavy.
• h je výška komolého kužeľa meraná medzi oboma podstavami.

Kalkulačka nepožaduje priamo polomer hornej podstavy. Namiesto toho používa polomer podstavy, výšku, ktorú by kužeľ mal, keby nebol odrezaný, a výšku rezu. Potom vypočíta polomer hornej podstavy pomocou podobných trojuholníkov:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

kde c je výška rezu nad podstavou a f celková výška neodrezaného kužeľa.

Vyriešený príklad

Predpokladajme, že polomer podstavy je 3 jednotiek, celková výška neodrezaného kužeľa je 12 jednotiek a výška rezu je 4 jednotiek.

Polomer hornej podstavy = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 jednotiek

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 kubických jednotiek

Ak je výška rezu rovná alebo väčšia než celková výška, rez sa nachádza vo výške vrcholu alebo nad ním, takže sa neodstráni nič. Kalkulačka potom vráti objem celého kužeľa a na obrázku zobrazí celý kužeľ.

História vzorca na výpočet objemu kužeľa

Starovekí grécki matematici ako prví spojili objem kužeľa s objemom valca. Demokritos, ktorý pôsobil na konci 5. storočia pred n. l., je považovaný za autora tvrdenia, že objem kužeľa sa rovná jednej tretine valca s rovnakou podstavou a výškou. Nedokázal to. Eudoxos z Knidu, ktorý pôsobil v nasledujúcom storočí, predložil prvý rigorózny dôkaz pomocou techniky nazývanej metóda vyčerpania, predchodkyne integrálneho počtu. Vzorec V = (1/3)πr²h sa odvtedy nezmenil.

Použitie výpočtov objemu kužeľa

Objemy kužeľov a zrezaných kužeľov sa uplatňujú vždy, keď sa teleso zužuje zo širokej podstavy do hrotu alebo k menšej hornej časti. Inžinieri používajú tieto vzorce na určovanie rozmerov kužeľových nádrží, násypiek a lievikov. Architekti ich používajú na odhad množstva materiálu pre kužeľové strechy. Geológovia ich používajú na odhad objemu sopečných kužeľov a podobných reliéfnych útvarov.

Najčastejšie otázky

Ako vypočítate objem kužeľa?

Vynásobte π druhou mocninou polomeru, výsledok vynásobte výškou a potom ho vydeľte 3: V = (1/3)πr²h. Kužeľ s polomerom 5 cm a výškou 10 cm má objem približne 261,80 kubických centimetrov.

Aký je vzorec pre objem zrezaného kužeľa?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), kde R a r sú polomery dvoch kruhových podstáv a h je vlastná výška komolého kužeľa meraná medzi týmito podstavami.

Ako kalkulačka vypočíta polomer hornej podstavy komolého kužeľa?

Používa podobné trojuholníky. Polomer hornej podstavy sa rovná polomeru podstavy vynásobenému výrazom (1 − výška rezu ÷ celková výška kužeľa). Predpokladá sa pritom, že komolý kužeľ vznikol z kužeľa s priamymi stranami.

Čo sa stane, ak je výška rezu väčšia alebo rovná výške?

Kalkulačka považuje teleso za celý neodrezaný kužeľ a vráti V = (1/3)πr²h s použitím zadaného polomeru a výšky.

Čo sa stane, ak je polomer alebo výška nulová či záporná?

Kalkulačka vyžaduje, aby polomer aj výška boli väčšie než nula. Ak je niektorá z týchto hodnôt nulová, záporná, prázdna alebo príliš veľká na spracovanie ako bežné číslo, zobrazí upozornenie namiesto objemu.

Ako vypočítate objem kužeľa z priemeru namiesto polomeru?

Priemer vydeľte hodnotou 2, čím získate polomer, a potom obvyklým spôsobom použite V = (1/3)πr²h.

Referencie

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld — webový zdroj Wolframu. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld — webový zdroj Wolframu. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html