Kalkulačka kritických hodnôt | Z-test, t-test, Chi-Square

Kritická hodnota je hraničný bod pravdepodobnostného rozdelenia, ktorý v testovaní hypotéz označuje okraj „oblasti zamietnutia“. Ak testová štatistika prekročí kritickú hodnotu, výsledok sa považuje za štatisticky významný a nulová hypotéza sa zamietne. Táto kalkulačka určuje kritické hodnoty pre tri najbežnejšie testy: Z-test, t-test a chí-kvadrátový test.

Čo je kritická hodnota?

V štatistike výskumníci často začínajú nulovou hypotézou, jednoduchým predpokladom, že sa nedeje nič nezvyčajné (napríklad že nový liek nemá žiadny účinok). Zo vzorkových údajov sa vypočíta testová štatistika a porovná sa s kritickou hodnotou, aby sa rozhodlo, či údaje poskytujú dostatok dôkazov proti nulovej hypotéze.

Kritická hodnota závisí od troch vecí: voľby testu, hladiny významnosti (zapisuje sa ako α, grécke písmeno alfa) a toho, či je test jednostranný alebo obojstranný. Hladina významnosti je pravdepodobnosť nesprávneho zamietnutia pravdivej nulovej hypotézy a často sa nastavuje na 0,05 (5 %) alebo 0,01 (1 %).

Jednostranný test zisťuje účinok v jednom smere, napríklad „väčší než“. Má jednu kritickú hodnotu. Obojstranný test zisťuje účinok v oboch smeroch a má dve kritické hodnoty, jednu na každej strane rozdelenia.

Ako vypočítať kritickú hodnotu

1. Vyberte test: Z-test (veľké vzorky alebo známy rozptyl populácie), t-test (malé vzorky s neznámym rozptylom) alebo test chí-kvadrát (kategorické údaje alebo test dobrej zhody).
2. Vyberte typ testu: jednostranný alebo obojstranný.
3. Zvoľte hladinu významnosti α, číslo medzi 0 a 1. Bežné hodnoty sú 0,10, 0,05 a 0,01.
4. Pri t-teste alebo chí-kvadrátovom teste zadajte počet stupňov voľnosti (df). Pri t-teste sa df rovná veľkosti vzorky mínus 1. Pri chí-kvadrátovom teste dobrej zhody sa df rovná počtu kategórií mínus 1.
5. Vyhľadajte (alebo vypočítajte) hodnotu, ktorá pod krivkou rozdelenia oddeľuje zvolenú oblasť chvosta. Ide o kritickú hodnotu.

Vzorce pre kritické hodnoty

Každý vzorec používa inverznú kumulatívnu distribučnú funkciu: hodnotu x, pre ktorú sa plocha pod krivkou až po x rovná cieľovej pravdepodobnosti p.

Vzorec z-testu

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(jednostranný)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(obojstranný)}$

Φ⁻¹ je inverzná kumulatívna distribučná funkcia štandardného normálneho rozdelenia.

Vzorec pre t-test

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(jednostranný)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(obojstranný)}$

t⁻¹(p, df) je inverzná kumulatívna distribučná funkcia t-rozdelenia s df stupňami voľnosti.

Vzorec pre chí-kvadrátový test

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(jednostranný)}$ $\chi^2_{\text{dolná}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{horná}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(obojstranný)}$

Chí-kvadrátové rozdelenie nadobúda iba kladné hodnoty, takže obe kritické hodnoty sú kladné a dolná hodnota je menšia než horná.

Príklad: kritická hodnota Z-testu

Tím kontroly kvality chce kritickú hodnotu jednostranného Z-testu pri hladine α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Každá testová štatistika vyššia než 1,6449 patrí do oblasti zamietnutia.

Príklad: kritická hodnota t-testu

Výskumník uskutočňuje experiment s 20 účastníkmi, takže df = 19. Chce obojstrannú kritickú hodnotu pri α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Oblasti zamietnutia sú t < -2,8609 a t > 2,8609.

Príklad: kritické hodnoty chí-kvadrátového testu

Analytik porovnáva pozorované a očakávané početnosti v 5 kategóriách, takže df = 4. Chce obojstranné kritické hodnoty pri α = 0,05.

$\chi^2_{\text{dolná}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{horná}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Chí-kvadrátová štatistika menšia než 0,4844 alebo väčšia než 11,1433 by patrila do oblasti zamietnutia.

Bežné kritické hodnoty

S rastúcim počtom stupňov voľnosti sa kritické hodnoty t-rozdelenia približujú k príslušným hodnotám Z-testu, pretože t-rozdelenie sa približuje normálnemu rozdeleniu.

Najčastejšie otázky

Na čo sa používa kritická hodnota? Určuje hranicu na rozhodnutie, či je testová štatistika dostatočne extrémna na zamietnutie nulovej hypotézy. Ak štatistika prekročí kritickú hodnotu, výsledok je štatisticky významný pri zvolenej hladine α.

Aký je rozdiel medzi jednostrannou a obojstrannou kritickou hodnotou? Jednostranný test hľadá účinok v jednom smere a má jednu kritickú hodnotu. Obojstranný test hľadá účinok v oboch smeroch a má dve kritické hodnoty, ktoré sú pri Z-teste a t-teste umiestnené symetricky okolo stredu. Pri rovnakej hodnote α je obojstranná kritická hodnota väčšia v absolútnej hodnote než jednostranná, pretože rovnaká celková pravdepodobnosť sa rozdelí medzi dva chvosty namiesto jedného.

Kedy sa má použiť Z-test namiesto t-testu? Z-test sa používa, keď je známy rozptyl populácie alebo je vzorka veľká, zvyčajne 30 alebo viac pozorovaní. T-test sa používa pri menších vzorkách s neznámym rozptylom populácie. S rastúcou veľkosťou vzorky sa kritické hodnoty t-testu približujú ku kritickým hodnotám Z-testu.

Môže byť kritická hodnota záporná? Áno. Rozdelenia Z-testu a t-testu sú symetrické okolo nuly, takže obojstranný test má jednu zápornú a jednu kladnú kritickú hodnotu. Kritické hodnoty chí-kvadrátového testu sú vždy kladné, pretože chí-kvadrátové rozdelenie je definované iba pre hodnoty od nuly vyššie.

Ako počet stupňov voľnosti ovplyvňuje kritickú hodnotu? Počet stupňov voľnosti vyjadruje, koľko nezávislých informácií sa nachádza v údajoch; zvyčajne ide o veľkosť vzorky mínus počet už odhadnutých parametrov. Menší počet stupňov voľnosti vedie k širším rozdeleniam s ťažšími chvostmi a k väčším kritickým hodnotám. Väčší počet stupňov voľnosti približuje t-rozdelenie a chí-kvadrátové rozdelenie normálnemu rozdeleniu.

Ktorá kritická hodnota zodpovedá hladine spoľahlivosti 95 %? Pri hladine spoľahlivosti 95 % je α = 0,05. Pri obojstrannom Z-teste sú kritické hodnoty ±1,9600. Pri jednostrannom Z-teste je kritická hodnota 1,6449.

História

Karl Pearson predstavil test chí-kvadrát v 1900. William Sealy Gosset, ktorý publikoval pod menom „Student“, vytvoril t-rozdelenie v 1908 na prácu s malými vzorkami v pivovare Guinness. Ronald Fisher formalizoval testovanie významnosti a kritické hodnoty v 1920 rokoch vo svojej knihe Statistical Methods for Research Workers. Pred érou počítačov výskumníci vyhľadávali kritické hodnoty v tlačených tabuľkách; kalkulačky a softvér ich dnes počítajú priamo zo vzorcov rozdelení.

Referencie

1. Pearson, K. (1900). „On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.“ Philosophical Magazine, séria 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). „The probable error of a mean.“ Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, „Critical Values.“