Kalkulačka Z-skóre - Nástroj štandardného skóre a pravdepodobnosti

Čo je z-skóre?

Z-skóre, nazývané aj štandardné skóre, vyjadruje, koľko štandardných odchýlok je dátový bod vzdialený od priemeru súboru údajov. Z-skóre 0 znamená, že hodnota sa rovná priemeru. Kladné z-skóre znamená, že hodnota je nad priemerom, a záporné z-skóre znamená, že je pod ním.

Vzorec z-skóre

Z-skóre dátového bodu sa vypočíta podľa tohto vzorca:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Kde:

• $z$ je z-skóre
• $x$ je dátový bod
• $\mu$ je priemer súboru údajov
• $\sigma$ je štandardná odchýlka súboru údajov

Štandardná odchýlka nemôže byť nulová, pretože delenie nulou nemá definovaný výsledok. Nemôže byť ani záporná, keďže štandardná odchýlka je podľa definície vždy nulová alebo kladná.

Ako vypočítať z-skóre

1. Vypočítajte priemer súboru údajov tak, že spočítate všetky hodnoty a vydelíte ich počtom hodnôt, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Vypočítajte štandardnú odchýlku. Najprv vypočítajte rozptyl, teda priemer umocnených rozdielov od priemeru, a potom z neho vypočítajte druhú odmocninu.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Ide o štandardnú odchýlku základného súboru, pri ktorej sa delí hodnotou $n$. Ak čísla predstavujú výber z väčšej skupiny, namiesto toho ich vydeľte hodnotou $n - 1$.

3. Od dátového bodu odčítajte priemer a výsledok vydeľte štandardnou odchýlkou.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Príklad s riešením

Študent dosiahol v teste skóre 85. Priemer triedy je 75 a štandardná odchýlka skóre triedy je 10.

• Dátový bod: $x = 85$
• Priemer: $\mu = 75$
• Štandardná odchýlka: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Z-skóre študenta je 1,0. Jeho skóre je jednu štandardnú odchýlku nad priemerom triedy.

Z-skóre a kumulatívna pravdepodobnosť

Z-skóre možno previesť na kumulatívnu pravdepodobnosť, teda pravdepodobnosť, že náhodne vybraná hodnota z normálneho rozdelenia bude v danom bode alebo pod ním. Ide o plochu pod krivkou štandardného normálneho rozdelenia naľavo od $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Pri z-skóre študenta 1,0 je kumulatívna pravdepodobnosť približne 0,8413, teda 84,13 %. To znamená, že študent dosiahol lepší výsledok než približne 84 % triedy, ak skóre sleduje normálne rozdelenie. Kalkulačka zobrazuje z-skóre na štyri desatinné miesta a kumulatívnu pravdepodobnosť ako percento na dve desatinné miesta.

Niekoľko referenčných bodov:

Interpretácia z-skóre

Väčšina hodnôt v normálnom rozdelení leží v rozsahu 2 štandardných odchýlok od priemeru. Z-skóre nad +3 alebo pod -3 sú zriedkavé a často sa považujú za odľahlé hodnoty, teda hodnoty, ktoré sa výrazne líšia od zvyšku údajov.

Z-skóre umožňujú porovnávať aj hodnoty merané na rôznych stupniciach. Skóre v teste a meranie výšky nemožno porovnať priamo, ale ich z-skóre áno, pretože obe vyjadrujú vzdialenosť od priemeru v rovnakých jednotkách štandardnej odchýlky.

Z-skóre a t-skóre

Z-skóre predpokladá, že štandardná odchýlka základného súboru je známa, a najlepšie sa používa pri veľkých výberoch. T-skóre sa používa vtedy, keď štandardná odchýlka základného súboru nie je známa a výber je malý, zvyčajne s menej než 30 pozorovaniami. Obe vyjadrujú vzdialenosť od priemeru, ale t-skóre vychádza z t-rozdelenia, ktoré má hrubšie chvosty na zohľadnenie väčšej neistoty pri malom výbere.

Bežné použitia z-skóre

• Štandardizované testovanie. Porovnávanie hrubého skóre študenta s celkovým rozdelením skóre.
• Identifikácia odľahlých hodnôt. Označovanie dátových bodov, ktoré sú v súbore údajov výrazne vzdialené od priemeru.
• Kontrola kvality. Overovanie, či vyrobený predmet spĺňa prijateľný rozsah hodnôt.
• Testovanie hypotéz. Z-testy používajú z-skóre na posúdenie, či sa priemer výberu významne líši od známeho priemeru základného súboru.

História

Z-skóre vychádza z normálneho rozdelenia, ktoré opísal Abraham de Moivre v roku 1733 a ďalej rozvinuli Carl Friedrich Gauss a Pierre-Simon Laplace na začiatku 19. storočia. Štandardizácia hodnôt na jednotky štandardnej odchýlky sa stala bežnou praxou v psychologickom testovaní a kontrole kvality počas 20. storočia.

Najčastejšie otázky

Čo je z-skóre v štatistike? Z-skóre je počet štandardných odchýlok, o ktoré je dátový bod vzdialený od priemeru svojho súboru údajov. Vypočíta sa podľa vzorca z = (x − μ) / σ.

Ako interpretovať výsledok z-skóre? Z-skóre 0 znamená, že hodnota sa rovná priemeru. Kladná hodnota je nad priemerom a záporná hodnota je pod ním. Hodnoty nad +3 alebo pod -3 sú nezvyčajné.

Môže byť z-skóre záporné? Áno. Záporné z-skóre jednoducho znamená, že dátový bod je pod priemerom. Z-skóre -2 znamená, že hodnota je 2 štandardné odchýlky pod priemerom.

Aký je rozdiel medzi z-skóre a t-skóre? Z-skóre sa používa pri veľkých výberoch, keď je známa štandardná odchýlka základného súboru. T-skóre sa používa pri malých výberoch, zvyčajne s menej než 30 pozorovaniami, keď táto odchýlka nie je známa.

Čo znamená kumulatívna pravdepodobnosť pri z-skóre? Je to pravdepodobnosť, že náhodne vybraná hodnota z normálneho rozdelenia bude menšia alebo rovná danému z-skóre. Rovná sa ploche pod normálnou krivkou naľavo od daného bodu.

Čo sa stane, ak je štandardná odchýlka nulová? Z-skóre nie je definované, pretože vzorec by vyžadoval delenie nulou. Štandardná odchýlka rovná nule znamená, že všetky hodnoty v súbore údajov sú rovnaké.

Referencie

1. Štandardné skóre, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Normálne rozdelenie a z-skóre, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review