Поједностављивач логаритама

Поједностављивач логаритама је алат који преписује логаритамски израз применом једног стандардног правила за логаритме, као што су правило производа или правило степена. Апликација „Поједностављивач логаритама“ проверава израз у односу на унапред утврђен скуп образаца и враћа поједностављени облик. Ако се ниједан појединачни образац не уклапа, враћа израз без измена.

Шта је логаритам?

Логаритам одговара на једно питање: на који степен треба подићи основу да би се добио овај број? Ако је $b^y = x$ , онда је $\log_b(x) = y$ . Логаритам је инверзна операција степеновања. Он поништава степеновање.

Најчешће се појављују три врсте:

log: основа 10, декадни логаритам. log(100) пита: „На који степен треба подићи 10 да би се добило 100?“
ln: основа $e$ (приближно 2,71828), природни логаритам, чест у математичкој анализи.
log_a: произвољна основа, записана помоћу доње црте. log_2(8) означава логаритам броја 8 по основи 2.

Логаритам је дефинисан само за позитиван аргумент. Апликација одбацује уносе као што су log(0) или log(-5) као неважеће, јер ниједан реалан степен позитивне основе не даје нулу или негативан број.

Правила и формуле за логаритме

Правило	Формула
Правило производа	$\log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y)$
Правило количника	$\log_b(x \div y) = \log_b(x) - \log_b(y)$
Правило степена	$\log_b(x^n) = n \times \log_b(x)$
Промена основе	$\log_a(x) = \dfrac{\log(x)}{\log(a)}$
Идентитет	$\log_b(b) = 1$
Логаритам броја један	$\log_b(1) = 0$

Како израчунати поједностављени логаритам

Апликација редом упоређује свако правило са целим изразом унетим у поље за унос. Примењује прво правило чији облик одговара целом изразу, а не само његовом делу.

Пошто свако правило проверава цео израз, апликација поједностављује једну операцију по једну. Израз који у истом члану комбинује степен и множење, као што је log(x^2*y), не одговара ниједном појединачном обрасцу, па се враћа без измена. Алат не комбинује више правила да би корак по корак разложио дужи израз.

За нумерички логаритам без променљивих, као што су log(8), log(100) или ln(20), апликација израчунава број уместо да примени симболичко правило. Резултати у целим бројевима приказују се као цели бројеви; све остале вредности заокружују се на шест децимала. То се дешава само када је цео унос један логаритам броја. Унос са два логаритма, као што је log(8)/log(2), враћа се без измена уместо да се делимично израчуна.

Решени пример

Да би поједноставила log(x*y), апликација препознаје образац правила производа log(A*B). Она дели израз на два одвојена логаритма повезана сабирањем:

$\log(x \times y) = \log(x) + \log(y)$

За log(x^3) подудара се образац правила степена log(A^n), а изложилац се премешта испред:

$\log(x^3) = 3 \times \log(x)$

Изложилац може бити негативан или децималан. log(x^-2) даје -2 * log(x), а log(x^0.5) даје 0.5 * log(x).

За произвољну основу, као што је log_2(8), апликација симболички примењује формулу за промену основе. Не израчунава нумерички резултат (који је 3), већ враћа количник log(8) / log(2).

Примери уноса и резултата

Последња колона садржи назив правила који апликација приказује испод дијаграма.

Унос	Резултат	Приказано правило
`log(100)`	`2`	Израчунавање по основи
`log(8)`	`0.903090`	Израчунавање по основи
`log(1)`	`0`	Израчунавање по основи
`log(10)`	`1`	Израчунавање по основи
`log(0.5)`	`-0.301030`	Израчунавање по основи
`ln(20)`	`2.995732`	Израчунавање по основи
`ln(e^5)`	`5`	Природни логаритам броја e на n-ти степен
`log(x^3)`	`3 * log(x)`	Правило степена
`log(x^-2)`	`-2 * log(x)`	Правило степена
`log(x*y)`	`log(x) + log(y)`	Правило производа
`log(x/y)`	`log(x) - log(y)`	Правило количника
`log_5(5)`	`1`	Идентитет логаритма по основи
`log_2(8)`	`log(8) / log(2)`	Промена основе (симболички резултат, а не `3`)
`log(x+y)`	`log(x+y)` (без измена)	Поједностављивање

Коришћење апликације

Унесите израз у поље за унос користећи * за множење, / за дељење, ^ за степене и заграде за груписање чланова. За произвољну основу користите запис са доњом цртом, у облику log_2(8). Резултат се појављује чим се унесе важећи израз, заједно са малим дијаграмом који приказује унос, резултат и једино примењено правило. Дугме за копирање омогућава да се резултат налепи у друге документе.

Ограничења

Апликација је мали препознавач образаца, а не потпун систем за рачунарску алгебру. Она не може да:

Повезује два или више правила за исти израз, па се изрази са више чланова, као што је log(x^2*y/z), не разлажу даље.
Ради са уносом који садржи више од једног логаритма. log(8)/log(2) се враћа без измена, а не израчунава се као 3.
Израчунава логаритам са произвољном основом као обичан број. log_2(8) остаје у облику log(8) / log(2), уместо да постане 3.
Поједностављује збирове или разлике унутар логаритма, као што је log(x + y), јер се правила производа и количника примењују само на множење и дељење.
Решава једначине, црта графике функција или обрађује угнежђене логаритме.

За те задатке погоднији су потпун систем за рачунарску алгебру, као што је Wolfram Alpha, или графички калкулатор.

Кратка историја

Шкотски математичар Џон Нејпир увео је логаритме 1614. године како би множење претворио у сабирање и скратио време ручног рачунања за астрономе и навигаторе. Хенри Бригс је касније са Нејпиром радио на изради таблица логаритама по основи 10, објављених 1617. године и коришћених више од три века. У 20. веку логаритми су добили нову улогу: Клод Шенон их је употребио 1948. године за дефинисање бита, основне јединице информације, а рачунарски научници данас користе логаритме за описивање ефикасности скалирања алгоритама као што је бинарна претрага.

Најчешће постављана питања

Шта је поједностављивач логаритама? То је алат који преписује логаритамски израз помоћу правила за логаритме, на пример тако што претвара log(x*y) у log(x) + log(y). Ова апликација упоређује једно правило по једно са целим унетим изразом.

Да ли се log_2(8) поједностављује у 3? Не. Апликација симболички примењује формулу за промену основе и враћа log(8) / log(2). Она не израчунава логаритме са произвољном основом као број, чак ни када је нумерички резултат цео број.

Може ли апликација да комбинује више правила у једном изразу? Не. Свако правило одједном проверава цео израз. Израз који захтева два правила, као што је издвајање производа, а затим примена правила степена у њему, враћа се без измена.

Зашто се log(x + y) не поједностављује даље? Правила производа и количника примењују се само на множење и дељење унутар логаритма, а не на сабирање или одузимање. log(x + y) не може се преписати као log(x) + log(y); то је честа грешка.

Где се обавља израчунавање? У прегледачу, на уређају. Израз се не шаље серверу, а алат се може бесплатно користити без регистрације.

Поједностављивач логаритама - Тренутна решења корак по корак