Решавач Young-Laplace једначине | Притисак интерфејса

Шта је Јанг-Лапласова једначина?

Јанг-Лапласова једначина је формула у механици флуида која даје разлику притиска на закривљеној међуповршини између две течности, као што су површина капи воде или површина сапунског мехурића. Она показује да та разлика притиска зависи од површинског напона течности и степена закривљености границе. Једначина објашњава зашто се унутар капи и мехурића повећава притисак и зашто мањи имају већи унутрашњи притисак од већих.

Названа је по Томасу Јангу и Пјеру-Симону Лапласу, који су независно описали ту везу почетком 1800-их.

Формула Јанг-Лапласове једначине

Општи облик једначине је:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ је разлика притиска преко границе, изражена у паскалима (Pa)
• $\gamma$ (гама) је површински напон течности, изражен у њутнима по метру (N/m)
• $R_1$ и $R_2$ су два главна полупречника закривљености површине, изражена у метрима (m)

Површина се различито закривљује у различитим правцима. $R_1$ и $R_2$ описују закривљеност дуж два међусобно управна правца. Код сфере, као што су кап или мехурић, $R_1$ је једнако $R_2$, па се формула поједностављује на:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Конвенција о знаку

Притисак је увек већи на конкавној страни закривљене границе, односно на страни од које се површина испупчава. Код капи или мехурића то значи да је притисак унутра већи него споља. Полупречник се сматра позитивним када се његов центар закривљености налази на страни са већим притиском. Ако се површина у једном правцу закривљује на супротну страну, тај полупречник се сматра негативним. Граница седластог облика, као течни врат између два додирнута зрна, има један позитиван и један негативан полупречник, па се та два члана делимично поништавају.

Овај калкулатор користи само позитивне полупречнике.

Посебни случајеви

• Равна површина: како полупречник расте ка бесконачности, његов члан у формули тежи нули. Савршено равна граница уопште нема разлику притиска.
• Цилиндар: дугачка цилиндрична површина, као млаз течности који излази из млазнице, закривљена је само у једном правцу. Један полупречник је полупречник цилиндра, а други је бесконачан дуж његове дужине, па се формула своди на $\Delta P = \gamma / R$. То је половина разлике притиска сфере истог полупречника.
• Веома мале размере: испод приближно 10 до 20 нанометара, додатни ефекти као што је линијски напон постају значајни, па једноставна једначина губи тачност.

Како израчунати разлику притиска помоћу Јанг-Лапласове једначине

1. Пронађите површински напон течности у N/m при температури која вас занима. Површински напон опада са порастом температуре.
2. Измерите или процените први главни полупречник закривљености, $R_1$, у метрима.
3. Измерите или процените други главни полупречник закривљености, $R_2$, у метрима. За сферу користите исту вредност као за $R_1$. За цилиндар користите веома велики број који представља бесконачност.
4. Помножите површински напон са збиром $1/R_1$ и $1/R_2$. Резултат је разлика притиска у паскалима.

Све вредности треба да буду у јединицама SI. На пример, мешање милиметара и метара доводи до грешке у резултату за фактор хиљаду.

Решени пример

Узмимо сферну кап воде полупречника 1 милиметар (0,001 m) и површинског напона 0,072 N/m, што је уобичајена вредност за воду близу собне температуре.

Пошто је кап сферна, $R_1 = R_2 = R$, па:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Притисак унутар капи је за 144 Pa већи од притиска околног ваздуха. То је мало у поређењу са нормалним атмосферским притиском, од приближно 101.325 Pa, али ефекат брзо расте како се кап смањује. Кап полупречника једне десетине те величине, 0,1 mm, има десет пута већу разлику притиска: 1.440 Pa. Кап полупречника 0,01 mm достиже 14.400 Pa, што је више од 14% атмосферског притиска.

Где се једначина примењује

• Капи и мехурићи: већи притисак у малим капима покреће Оствалдово сазревање, процес у којем се мале капи у емулзији смањују, док веће расту, јер њихов садржај дифундује са места високог притиска ка месту ниског притиска.
• Капиларне појаве: закривљена површина унутар уске цеви повлачи течност навише. Зато се вода пење уз папирне убрусе и уске стаклене цеви.
• Дисање: ситне ваздушне врећице у плућима, назване алвеоле, понашају се као мали мехурићи. Слој који се назива плућни сурфактант смањује површински напон, па се мале алвеоле не урушавају под притиском који предвиђа једначина. Превремено рођене бебе које немају довољно сурфактанта због тога могу развити проблеме са дисањем.
• Млазна штампа: млазнице штампача образују капи пречника од неколико десетина микрометара, при чему је притисак услед закривљености довољно велики да утиче на начин изласка мастила из млазнице.
• Наука о материјалима: инструменти који мере како течности квасе површину и како се понашају танки премази користе једначину за повезивање облика капи са њеном површинском енергијом.

Историја

Људи су посматрали како се течности пењу уз уске цеви много пре него што је неко објаснио зашто. Почетком 1700-их, Френсис Хоксби је експериментално показао да уже цеви доводе до већег капиларног успона, а 1718. Џејмс Џурин је описао успон као обрнуто сразмеран пречнику цеви.

Томас Јанг је објаснио основну физику у раду из 1805. године, уводећи површински напон као својство течности и повезујући га са притиском преко закривљених површина, иако је његов приступ углавном био описни. Године 1806, Пјер-Симон Лаплас је помоћу математичке анализе извео математички облик и независно дошао до исте везе. Њихов заједнички рад постао је Јанг-Лапласова једначина. Каснији научници, међу њима Карл Фридрих Гаус и Жозеф Плато, проверавали су и проширивали теорију током 1800-их.

Најчешће постављана питања

Шта израчунава Јанг-Лапласова једначина? Она израчунава разлику притиска преко закривљене границе између две течности на основу површинског напона течности и закривљености границе.

Зашто је притисак већи у мањој капи? Површински напон делује дуж обода капи, а та сила расте сразмерно полупречнику. Површина на коју притисак делује расте са квадратом полупречника. Изједначавањем те две величине добија се $\Delta P = 2\gamma/R$, па је разлика притиска обрнуто сразмерна полупречнику: ако се полупречник преполови, разлика притиска се удвостручује.

Како температура утиче на једначину? Температура мења вредност површинског напона, а површински напон опада са порастом температуре. Код воде површински напон опада са приближно 0,073 N/m при 20 °C на око 0,063 N/m при 80 °C, што је смањење од приближно 0,17 mN/m за сваки степен Целзијуса. Површински напон на собној температури већи је него код вреле воде, па употреба вредности за собну температуру у врелом систему прецењује разлику притиска.

Да ли једначина важи за облике који нису сфере? Да. Општи облик, са два одвојена полупречника $R_1$ и $R_2$, обухвата сваку закривљену површину, укључујући елипсоиде и границе седластог облика. Само је поједностављена верзија $2\gamma/R$ ограничена на сфере.

По чему се Јанг-Лапласова једначина разликује од Јангове једначине? Јанг-Лапласова једначина даје разлику притиска изазвану закривљеном границом. Јангова једначина, засебна веза која такође потиче од Томаса Јанга, даје контактни угао који кап образује на месту додира са чврстом површином, на основу површинских енергија три материјала која учествују. Описују различите појаве и понекад се користе заједно при анализи капи која мирује на површини.

Колико мала може бити кап пре него што једначина престане да важи? Једначина остаје тачна до приближно 1 микрометра. Испод приближно 10 до 20 нанометара, додатне силе које једначина занемарује, укључујући линијски напон и силе молекулских размера између површина, постају довољно велике да утичу на резултат, па су потребни детаљнији модели.

Литература

1. Јанг, Т. (1805). „Есеј о кохезији течности.“ Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Лаплас, П. С. (1806). Traité de Mécanique Céleste, додатак књизи 10.
3. де Жен, П. Ж., Брошар-Вијар, Ф. и Кере, Д. (2004). Капиларност и квашење: капи, мехурићи, бисери, таласи. Springer.
4. Адамсон, А. В. и Гаст, А. П. (1997). Физичка хемија површина (6. изд.). Wiley-Interscience.