Калкулатор енергије решетке | Бесплатан алат за Борн-Ландеову једначину

Шта је енергија кристалне решетке?

Енергија кристалне решетке је енергија која се ослобађа када се одвојени јони у гасној фази удруже и образују један мол чврстог јонског једињења. Калкулатор енергије кристалне решетке користи Борн–Ландеову једначину да процени ову вредност на основу наелектрисања јона, величина јона и једног подесивог параметра који се назива Борнов експонент.

Процес који описује енергија кристалне решетке јесте:

$M^{n+}(g) + X^{n-}(g) \rightarrow MX(s)$

Овде је $M^{n+}$ катјон метала (позитивно наелектрисан јон), а $X^{n-}$ је ањон неметала (негативно наелектрисан јон). Енергија кристалне решетке је увек негативна, јер енергија напушта систем док се јони повезују у кристал. Хемичари процес који ослобађа енергију називају „егзотермним“.

Три ствари одређују величину енергије кристалне решетке:

1. Наелектрисање јона. Јони са већим наелектрисањима снажније се привлаче.
2. Величина јона. Мањи јони могу да се приближе један другом, чиме се привлачење појачава.
3. Кристална структура. Геометријски образац који јони образују мења број суседних јона сваког јона, што се обухвата бројем који се назива Маделунгова константа.

Формула енергије кристалне решетке (Борн–Ландеова једначина)

Борн–Ландеова једначина, коју су физичари Макс Борн и Алфред Ланде објавили 1918. године, гласи:

$U = -\frac{N_0 A |z_1 z_2| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} \left(1-\frac{1}{n}\right)$

Где:

• $U$ = енергија кристалне решетке, у килоџулима по молу (kJ/mol)
• $N_0$ = Авогадров број, 6,022 × 10²³ по молу
• $A$ = Маделунгова константа (овај калкулатор користи 1,7476, вредност за структуру камене соли, какву имају NaCl, MgO и многе друге просте соли)
• $z_1$, $z_2$ = наелектрисања катјона и ањона
• $e$ = наелектрисање једног електрона, 1,602 × 10⁻¹⁹ кулона
• $\varepsilon_0$ = пермитивност вакуума, 8,854 × 10⁻¹² F/m
• $r_0$ = међујонско растојање, односно растојање између центара два јона
• $n$ = Борнов експонент, број који описује колико се јони опиру сабијању један уз други (обично је између 5 и 12, а увек је већи од 1)

Први део једначине израчунава привлачење између два супротно наелектрисана јона. Члан $(1 - 1/n)$ одузима одбијање које се јавља када електронски облаци јона почну да се преклапају. Тај члан има смисла само за $n$ веће од 1. За $n = 1$ једнак је нули, а испод 1 постаје негативан, па калкулатор одбацује те вредности.

Међујонско растојање

Растојање између центара јона, $r_0$, једноставно је збир два јонска полупречника:

$r_0 = r_{cation} + r_{anion}$

Јонски полупречници обично се наводе у пикометрима (pm), при чему је један пикометар један билионити део метра.

Како израчунати енергију кристалне решетке

1. Унесите наелектрисање катјона као позитиван цео број (1 за Na⁺, 2 за Mg²⁺).
2. Унесите наелектрисање ањона као негативан цео број (-1 за Cl⁻, -2 за O²⁻).
3. Унесите полупречник катјона у пикометрима.
4. Унесите полупречник ањона у пикометрима.
5. Унесите Борнов експонент. Вредност 9 добро функционише за многа једињења. Експонент мора бити већи од 1.
6. Очитајте међујонско растојање и енергију кристалне решетке у панелу са резултатима.

Пример: енергија кристалне решетке натријум-хлорида (NaCl)

Натријум-хлорид, обична кухињска со, користан је први пример јер његови јони имају по једно наелектрисање.

• Наелектрисање катјона: +1 (Na⁺)
• Наелектрисање ањона: -1 (Cl⁻)
• Полупречник катјона: 102 pm
• Полупречник ањона: 181 pm
• Борнов експонент: 9

Корак 1: Одредите међујонско растојање.

$r_0 = 102\text{ pm} + 181\text{ pm} = 283\text{ pm}$

Корак 2: Примените Борн–Ландеову једначину.

$U = -\frac{(6.022\times10^{23})(1.7476)(1)(1.602\times10^{-19})^2}{4\pi(8.854\times10^{-12})(2.83\times10^{-10})}\left(1-\frac{1}{9}\right)$

$U \approx -762\text{ kJ/mol}$

Ово је блиско, али није исто што и вредност која се обично наводи у уџбеницима, око -787 kJ/mol, а која потиче из експерименталних термодинамичких података измерених Борн–Хаберовим циклусом, а не из ове једначине. Разлика постоји зато што Борн–Ландеова једначина третира јоне као савршено круте сфере и користи један експонент одбијања за цео кристал, па представља приближни, а не тачан опис стварности.

Пример: енергија кристалне решетке магнезијум-оксида (MgO)

Магнезијум-оксид има двоструко наелектрисане јоне, па је погодан за поређење.

• Наелектрисање катјона: +2 (Mg²⁺), полупречник 72 pm
• Наелектрисање ањона: -2 (O²⁻), полупречник 140 pm
• Борнов експонент: 9
• Међујонско растојање: 72 pm + 140 pm = 212 pm

Уношењем ових бројева у исту једначину добија се енергија кристалне решетке од око -4071 kJ/mol, више од пет пута негативнија од оне за NaCl. Експериментално измерена вредност износи око -3795 kJ/mol. Удвостручавање оба наелектрисања јона приближно учетворостручује електростатичко привлачење, пошто једначина множи $z_1$ са $z_2$, а краће међујонско растојање у MgO додатно појачава привлачење.

Уобичајени јонски полупречници и Борнови експоненти

Одабрани полупречници катјона

Одабрани полупречници ањона

Типични Борнови експоненти

Ово су почетне вредности. Објављени извори понекад наводе незнатно другачије бројеве.

Шта утиче на енергију кристалне решетке

Енергија кристалне решетке повезана је са неколико својстава која хемичари могу директно да мере.

• Температура топљења. Јаче јонско привлачење обично значи вишу температуру топљења. Јони магнезијум-оксида имају двоструко веће наелектрисање од јона натријум-хлорида и налазе се ближе једни другима, због чега MgO има знатно негативнију енергију кристалне решетке. То је један од разлога што се MgO топи на око 2852 °C, док се NaCl топи на око 801 °C.
• Тврдоћа. Кристали са већом енергијом кристалне решетке обично се боље опиру гребању и деформацији.
• Растворљивост. Једињења са веома великом енергијом кристалне решетке често се теже растварају у води, јер је за разбијање кристала потребно више енергије него што молекули воде могу да обезбеде окружујући јоне.

Енергија кристалне решетке такође је један од чланова Борн–Хаберовог циклуса, метода билансирања коју хемичари користе за одређивање промена енергије током настајања јонског једињења из његових елемената.

Ограничења Борн–Ландеове једначине и овог калкулатора

Овај калкулатор увек користи Маделунгову константу за структуру камене соли (1,7476). Та вредност је тачна за једињења која кристалишу на исти начин као NaCl и MgO, али није тачна за једињења са другим структурама, као што су цезијум-хлорид или калцијум-флуорид, која имају другачије Маделунгове константе. Борн–Ландеова једначина такође претпоставља да су јони савршене сфере и занемарује утицаје попут ковалентног карактера везе, па су њени резултати блиске процене, а не тачне експерименталне вредности.

Најчешће постављана питања

Шта је енергија кристалне решетке једноставним речима? То је енергија која се ослобађа када се наелектрисане честице, назване јони, удруже и учврсте у чврстом кристалу. Негативнија вредност значи да су јони чвршће повезани.

Зашто је енергија кристалне решетке увек негативна? Зато што се при настајању чврсте супстанце енергија ослобађа, а не апсорбује. Неки уџбеници уместо тога дефинишу „енталпију кристалне решетке“ као позитивну енергију потребну за раздвајање кристала; оба појма описују исту јачину везе, само са супротним предзнаком.

Који Борнов експонент треба да користим? Девет је уобичајена подразумевана вредност која даје довољно добар резултат за многа јонска једињења. За одређено једињење, хемијски приручник или база података из кристалографије навешће прецизнију вредност на основу електронских конфигурација његових јона.

Зашто се резултат калкулатора не поклапа потпуно са бројем у мом уџбенику? Вредности у уџбеницима често потичу из експеримената (Борн–Хаберовог циклуса), док овај калкулатор користи теоријску Борн–Ландеову једначину. Две методе се обично слажу у оквиру неколико процената, али се ретко потпуно поклапају.

Да ли већи јон увек значи мању енергију кристалне решетке? Обично да. Већи јони повећавају међујонско растојање $r_0$, које се налази у имениоцу једначине, па енергија кристалне решетке постаје мање негативна како јони постају већи, под условом да су остали услови једнаки.

Да ли овај калкулатор може да обради било које јонско једињење? Најбоље функционише за проста једињења која имају структуру кристала камене соли, као што су NaCl, MgO и CaO. Мање је поуздан за једињења са другачијим кристалним структурама или израженим ковалентним карактером везе.

Референце

1. Atkins, P. W., & De Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10. издање). Oxford University Press.
2. Хаускрофт, C. E., и Шарп, A. G. (2018). Неорганска хемија (5. изд.). Pearson.
3. Борн, M., и Ланде, A. (1918). Über die Berechnung der Kompressibilität regulärer Kristalle aus der Gittertheorie. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 20, 210-216.
4. Шенон, R. D. (1976). Revised effective ionic radii and systematic studies of interatomic distances in halides and chalcogenides. Acta Crystallographica Section A, 32(5), 751-767.