Калкулатор Милерових индекса - Конвертовање пресека кристалних равни у (hkl)

Шта су Милерови индекси?

Милерови индекси су скуп од три цела броја, записаних као (h,k,l), који одређује раван у кристалној решетки. Кристална решетка је правилан, понављајући распоред атома у чврстом материјалу. Милерови индекси научницима тачно показују који пресек те решетке раван представља, без потребе да се њена геометрија описује речима. Увео их је британски минералог Вилијам Халоуиз Милер 1839. године и они су и данас стандардна нотација у кристалографији.

Овај калкулатор претвара одсечке равни на кристалографским x, y и z осама у њене Милерове индексе (h,k,l).

Формула за Милерове индексе

Милерови индекси се добијају као реципрочне вредности одсека равни на осама. Ако раван пресеца x, y и z осу на растојањима a, b и c од координатног почетка, индекси задовољавају:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Како израчунати Милерове индексе из одсека

1. Одредите где раван пресеца сваку осу, мерено у јединицама ивице јединичне ћелије. Те одсечке означите са a, b и c.
2. Израчунајте реципрочну вредност сваког одсека: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Помножите све три реципрочне вредности истим бројем тако да свака постане цео број.
4. Поделите сва три цела броја њиховим највећим заједничким делиоцем, тако да се више не могу скратити.

Три добијена цела броја су h, k и l. За раван која никада не пресеца неку осу сматра се да је пресеца у бесконачности, а 1 подељено са бесконачношћу је 0, па та оса добија Милеров индекс 0.

Решени пример

Раван пресеца x-осу у 2, y-осу у 3, а z-осу у 6.

1. Одсечци: (2, 3, 6)
2. Реципрочне вредности: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Помножите најмањим заједничким садржаоцем именилаца, 6: (3, 2, 1)
4. Највећи заједнички делилац бројева 3, 2 и 1 је 1, па се бројеви више не могу скратити.

Милерови индекси су (321).

Други примери

• Раван кроз (1, ∞, 2) — паралелна са y-осом — има реципрочне вредности (1, 0, 1/2). Множењем са 2 добија се (2, 0, 1). Вредност 0 показује да раван никада не пресеца y-осу.
• Раван кроз (-1, 2, 3) има реципрочне вредности (-1, 1/2, 1/3). Множењем са 6 добија се (-6, 3, 2), што се обично записује као (6̄32), са цртом изнад негативног индекса.
• Раван кроз (1, ∞, ∞) има реципрочне вредности (1, 0, 0), па даје (100). То је једна од шест страна коцке.

Посебни случајеви

Раван паралелна са неком осом никада је не пресеца, па се тај одсечак сматра бесконачним, а њен Милеров индекс је 0. Раван која пресеца осу на негативној страни координатног почетка добија негативан индекс, који се у формалном запису пише цртом изнад броја, а у обичном тексту знаком минус. Раван која пролази кроз сам координатни почетак нема дефинисане Милерове индексе, јер сваки скуп паралелних равни у решетки мора бити померен у односу на координатни почетак да би се индексирао; координатни почетак се најпре мора померити да би се таква раван могла описати. Разломљени одсеци обрађују се исто као целобројни: израчуна се реципрочна вредност сваког, а затим се уклоне разломци.

Индекси се увек своде на најмање могуће целе бројеве. (622) и (311) описују исту фамилију равни, али кристалографи увек пишу (311).

Како се користи овај калкулатор

Унесите одсечке равни на x, y и z осама.

• За одсечак на позитивној страни координатног почетка употребите позитиван број, а за одсечак на негативној страни негативан број.
• Унесите „infinity“, „inf“ или „∞“ за раван која је паралелна са неком осом.
• Нулти одсечак није прихваћен, јер се равни која пролази кроз координатни почетак овом методом не могу доделити Милерови индекси.

Калкулатор тренутно израчунава индексе и приказује дијаграм равни унутар јединичне ћелије.

Примене Милерових индекса

Дифракција X-зрака. Свака тачка или максимум на дифракционој слици X-зрака одговара скупу равни решетке са одређеним (hkl). Брагов закон повезује размак тих равни са дифракционим углом:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Овде је d_hkl размак између равни (h,k,l), λ је таласна дужина X-зрака, а θ је дифракциони угао. Упоређивање уочених максимума са вредностима (hkl), поступак који се назива индексирање, основни је корак у одређивању непознате кристалне структуре.

Наука о материјалима. Различите кристалне равни откривају различите распореде атома, па имају различите површинске енергије, различите брзине хемијских реакција и различите улоге у деформисању метала. Код метала са кубном површински центризираном решетком, као што је алуминијум, атомске равни најлакше клизе једна поред друге дуж равни {111}. Силицијумске плочице за рачунарске чипове обично се секу дуж равни (100) или (111), јер тај избор утиче на то како ће се одвијати каснији производни кораци.

Минералогија. Равне површине које се виде на природном кристалу, као и правци дуж којих се минерал лако цепа (његова цепљивост), одговарају одређеним равнима ниских индекса. Халит (кухињска со) цепа се дуж равни {100}, а флуорит дуж равни {111}.

Милер-Бравеови индекси за хексагоналне кристале

Хексагонални кристали, као што су магнезијум, цинк и титан, обично се описују системом са четири индекса (hkil), уместо са три. Додатни индекс i није независан; увек важи i = -(h+k). Овај облик олакшава уочавање да две равни припадају истој симетријски еквивалентној фамилији, што није увек очигледно само из Милерове нотације са три индекса у хексагоналној решетки.

Историја

Милерове индексе увео је Вилијам Халоуиз Милер у својој књизи A Treatise on Crystallography из 1839. године. Ранији системи за означавање кристалних страна већ су постојали, али Милерова метода коришћења реципрочних вредности одсека олакшала је обраду равни паралелних са осом, јер је њихов одсечак бесконачан, а његова реципрочна вредност једноставно 0. Након што је Макс фон Лауе открио дифракцију X-зрака на кристалима 1912. године, Вилијам Хенри Брег и Вилијам Лоренс Брег показали су да Милерови индекси тачно описују равни одговорне за дифракционе максимуме, за шта су поделили 1915. Нобелову награду за физику.

Најчешће постављана питања

За шта се користе Милерови индекси? Они одређују специфичне равни у кристалној решетки. Користе се за индексирање максимума дифракције X-зрака и електрона, описивање клизних равни у металима, одређивање оријентације полупроводничких плочица и означавање страна и цепљивости минерала.

Шта значи нула у Милеровом индексу? То значи да је раван паралелна са том осом и да је никада не пресеца. На пример, (201) је паралелна са y-осом.

Шта значе негативни Милерови индекси? Они значе да раван пресеца дату осу на негативној страни координатног почетка. Негативни индекс записује се цртом изнад броја, на пример (2̄11), или знаком минус, на пример (-2,1,1).

Зашто раван кроз координатни почетак не може имати Милерове индексе? Милерови индекси се добијају као реципрочна вредност одсека. Раван кроз координатни почетак пресеца сваку осу у 0, а 1/0 није дефинисано, па метода не може доделити индексе док се раван не помери.

Која је разлика између Милерових и Милер-Бравеових индекса? Милерови индекси (hkl) користе три броја и важе за сваки кристални систем. Милер-Бравеови индекси (hkil) додају четврти, зависни индекс и користе се углавном за хексагоналне кристале, у којима олакшавају препознавање симетријски еквивалентних равни.

Како је размак између равни повезан са Милеровим индексима? У кубном кристалу са дужином ивице a, размак између суседних равни (hkl) је d = a / √(h² + k² + l²). Равни са већим индексима ближе су једна другој. Други кристални системи користе сличну, али сложенију формулу која узима у обзир неједнаке дужине оса и углове који нису 90°.

Литература

1. Милер, В. Х. (1839). Расправа о кристалографији. Кембриџ: Ј. и Ј. Џ. Дејтон.
2. Ашкрофт, Н. В., и Мермин, Н. Д. (1976). Физика чврстог стања. Холт, Рајнхарт и Винстон.
3. Хамонд, К. (2015). Основе кристалографије и дифракције (4. издање). Оксфорд јуниверзити прес.
4. Калити, Б. Д., и Сток, С. Р. (2014). Елементи дифракције X-зрака (3. издање). Пирсон едукејшн.
5. Међународна унија за кристалографију. (2016). Међународне таблице за кристалографију, том А: Симетрија просторних група. Вајли.