Калькулатор Гама Дистрибуције

Увод

Гама дистрибуција је континуирана вероватноћна дистрибуција која се широко користи у различитим областима науке, инжењерства и финансија. Карактерише је два параметра: параметар облика (k или α) и параметар скале (θ или β). Овај калкулатор вам омогућава да израчунате различите особине гама дистрибуције на основу ових улазних параметара.

Формула

Функција густине вероватноће (PDF) гама дистрибуције дата је формулом:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Где:

• x > 0 је случајна променљива
• k > 0 је параметар облика
• θ > 0 је параметар скале
• Γ(k) је гама функција

Функција кумулативне дистрибуције (CDF) је:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Где је γ(k, x/θ) долња непотпуна гама функција.

Кључне особине гама дистрибуције укључују:

1. Средња вредност: $E[X] = k\theta$
2. Варјанса: $Var[X] = k\theta^2$
3. Асиметрија: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Куртоза: $3 + \frac{6}{k}$

Како користити овај калкулатор

1. Унесите параметар облика (k или α)
2. Унесите параметар скале (θ или β)
3. Кликните на "Израчунај" да бисте израчунали различите особине гама дистрибуције
4. Резултати ће приказати средњу вредност, варјансу, асиметрију, куртозу и друге релевантне информације
5. Биће приказана визуализација функције густине вероватноће

Израчунавање

Калкулатор користи горе наведене формуле за израчунавање различитих особина гама дистрибуције. Ево корак-по-корак објашњења:

1. Верификујте улазне параметре (и k и θ морају бити позитивни)
2. Израчунати средњу вредност: $k\theta$
3. Израчунати варјансу: $k\theta^2$
4. Израчунати асиметрију: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Израчунати куртозу: $3 + \frac{6}{k}$
6. Израчунати мод: $(k-1)\theta$ за k ≥ 1, иначе 0
7. Генерисати тачке за криву PDF користећи горе дату формулу
8. Планирати криву PDF

Нумеричке разматрања

Када имплементирате израчунавање гама дистрибуције, неколико нумеричких разматрања треба узети у обзир:

1. За веома мале параметре облика (k < 1), PDF може приближити бесконачност док x приближава 0, што може узроковати нумеричку нестабилност.
2. За велике параметре облика, гама функција Γ(k) може постати веома велика, потенцијално узрокујући прелив. У таквим случајевима, препоручљиво је радити са логаритмом гама функције.
3. При израчунавању CDF, често је нумерички стабилније користити специјализоване алгоритме за непотпуну гама функцију него директну интеграцију PDF-а.
4. За екстремне вредности параметара, можда ће бити потребно користити проширену прецизну аритметику да би се одржала тачност.

Употреба

Гама дистрибуција има бројне примене у различитим областима:

1. Финансије: Моделовање расподела прихода, износа осигуравајућих потраживања и приноса на активу
2. Метеорологија: Анализа образаца падавина и других метеоролошких феномена
3. Инжењерство: Анализа поузданости и моделирање времена квара
4. Физика: Описивање времена чекања између радиоактивних распада
5. Биологија: Моделовање обиља врста и нивоа експресије гена
6. Оперативно истраживање: Теорија редова и управљање залихама

Алтернативе

Док је гама дистрибуција свестрана, постоје сродне дистрибуције које могу бити прикладније у одређеним ситуацијама:

1. Експоненцијална дистрибуција: Специјални случај гама дистрибуције када је k = 1
2. Хи-квадрат дистрибуција: Специјални случај гама дистрибуције са k = n/2 и θ = 2
3. Веибулова дистрибуција: Често коришћена као алтернатива у анализи поузданости
4. Лог-нормална дистрибуција: Још један уобичајени избор за моделирање асиметричних, позитивних података

Процењивање параметара

Када радите са подацима из стварног света, често је неопходно проценити параметре гама дистрибуције. Уобичајене методе укључују:

1. Метод тренутака: Изједначавање узорних тренутака са теоријским тренуцима
2. Процена максималне вероватноће (MLE): Налажење параметара који максимизују вероватноћу посматрања података
3. Бајесова процена: Укључивање претходног знања о параметрима

Тестирање хипотеза

Гама дистрибуција може се користити у различитим тестовима хипотеза, укључујући:

1. Тестове доброте уклапања за утврђивање да ли подаци следе гама дистрибуцију
2. Тестове за једнакост параметара скале између две гама дистрибуције
3. Тестове за једнакост параметара облика између две гама дистрибуције

Историја

Гама дистрибуција има богату историју у математици и статистици:

• 18. век: Леонхард Еuler је увео гама функцију, која је блиско повезана са гама дистрибуцијом
• 1836: Симон Дени Поасон је користио специјални случај гама дистрибуције у свом раду о теорији вероватноће
• 1920-их: Роналд Фишер је популаризовао употребу гама дистрибуције у статистичкој анализи
• Средином 20. века: Гама дистрибуција постала је широко коришћена у инжењерству поузданости и тестирању живота
• Крајем 20. века до данас: Напредак у рачунарској моћи олакшао је рад са гама дистрибуцијама у различитим применама

Примери

Ево неколико примера кода за израчунавање особина гама дистрибуције:

1' Excel VBA Функција за Гама Дистрибуцију PDF
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Употреба:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Гама Дистрибуција (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Густина Вероватноће')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Пример употребе:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Израчунати особине
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Средња вредност: {mean}")
29print(f"Варјанса: {variance}")
30print(f"Асиметрија: {skewness}")
31print(f"Куртоза: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Средња вредност: ${mean}`);
19    console.log(`Варјанса: ${variance}`);
20    console.log(`Асиметрија: ${skewness}`);
21    console.log(`Куртоза: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Пример употребе:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Планирајте PDF (користећи хипотетичку библиотеку за планирање)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Ови примери демонстрирају како израчунати особине гама дистрибуције и визуализовати њену функцију густине вероватноће користећи различите програмске језике. Можете прилагодити ове функције вашим специфичним потребама или их интегрисати у веће системе статистичке анализе.

Референце

1. "Гама Дистрибуција." Википедија, Фондација Викимедија, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Приступљено 2. августа 2024.
2. Џонсон, Н. Л., Котз, С., & Балакришнан, Н. (1994). Континуиране униваријантне дистрибуције, том 1 (Том 1). Џон Вајли & Синови.
3. Форбс, Ц., Еванс, М., Хејстингс, Н., & Пикок, Б. (2011). Статистичке дистрибуције. Џон Вајли & Синови.
4. Том, Х. Ц. С. (1958). Белешка о гама дистрибуцији. Месечни преглед времена, 86(4), 117-122.
5. Стејси, Е. В. (1962). Генерализација гама дистрибуције. Анали математичке статистике, 33(3), 1187-1192.