Калкулатор гама расподеле - Алат за статистичку анализу

Шта је калкулатор гама расподеле?

Калкулатор гама расподеле одређује средњу вредност, варијансу, асиметрију, куртозис и мод гама расподеле из два уноса: параметра облика и параметра скале. Такође исцртава функцију густине вероватноће расподеле као криву.

Шта је гама расподела?

Гама расподела је непрекидна расподела вероватноће за позитивне вредности. Дефинисана је помоћу два параметра: параметра облика, који се обично означава са k, и параметра скале, који се обично означава са θ (тета). Оба морају бити већа од нуле. Гама расподела се користи за моделирање величина које не могу бити негативне, као што су укупне количине падавина, износи одштетних захтева и време до отказа дела машине.

Формула гама расподеле

Функција густине вероватноће (PDF) гама расподеле је:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Овде је x вредност на којој се мери густина, а Γ(k) је гама функција, уопштење факторијела на нецелобројне бројеве. Формула важи само за x > 0; густина је свуда другде једнака нули.

Како се израчунавају својства гама расподеле

Из параметра облика k и параметра скале θ, калкулатор одређује:

• Средња вредност: k × θ
• Варијанса: k × θ²
• Асиметрија: 2 / √k
• Куртозис: 3 + 6 / k
• Мод: (k − 1) × θ када је k ≥ 1, а иначе 0

Асиметрија мери колико је крива несиметрична. Мања вредност k производи дужи десни реп. Куртозис мери колико су репови тешки у поређењу са нормалном расподелом, која има куртозис 3. Мод је вредност x на којој крива достиже максимум. Када је k мање од 1, густина наставља да расте док се x приближава вредности 0, па не постоји унутрашњи максимум, а калкулатор приказује мод 0.

Решени пример

Нека је параметар облика k = 2, а параметар размере θ = 3.

• Средња вредност = 2 × 3 = 6
• Варијанса = 2 × 3² = 18
• Асиметрија = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Куртозис = 3 + 6 / 2 = 6
• Мод = (2 − 1) × 3 = 3

У моду, x = 3, густина износи f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Калкулатор аутоматски исцртава целу криву чим се унесу оба параметра.

Како се користи калкулатор гама расподеле

1. Унесите параметар облика (k), позитиван број.
2. Унесите параметар размере (θ), позитиван број.
3. Средња вредност, варијанса, асиметрија, куртозис и мод појављују се чим оба поља садрже важеће бројеве. Не постоји посебно дугме за израчунавање; резултати се ажурирају док се бројеви уносе.
4. Графикон испод резултата приказује функцију густине вероватноће. Исцртава се одмах изнад x = 0 до веће од две вредности: три пута средња вредност или петострука вредност параметра скале.

Оба параметра морају бити коначни бројеви већи од 0, а ниједан не сме бити већи од 1000. Одбацују се и вредности мање од приближно 2 × 10⁻¹⁶, јер збирне вредности на тој величини више нису смислене. Вредност изван прихваћеног опсега производи поруку о грешци уместо резултата.

Где се користи гама расподела

Гама расподела моделира многе стварне величине које су увек позитивне и често асиметричне удесно:

• Осигурање: износи одштетних захтева и исплата
• Метеорологија: укупне количине падавина током утврђеног периода
• Инжењерство: време до отказа компоненте
• Теорија редова чекања: времена чекања састављена од неколико експоненцијалних корака
• Биологија: нивои експресије гена и подаци о броју врста

Сродне расподеле

Две познате расподеле су посебни случајеви гама расподеле:

• Експоненцијална расподела: гама расподела са k = 1
• Хи-квадрат расподела: гама расподела са k = n/2 и θ = 2, где је n број степени слободе

Вајбулова и логнормална расподела уобичајене су алтернативе за моделирање позитивних, асиметричних података.

Најчешће постављана питања

За шта се користи гама расподела? Она моделира непрекидне, позитивне величине као што су времена чекања, количине падавина и одштетни захтеви, нарочито када подаци нагињу ка великим вредностима.

Како се одређује средња вредност гама расподеле? Параметар облика се множи параметром размере: средња вредност = k × θ. За k = 2 и θ = 3, средња вредност је 6.

Која је разлика између параметра облика и параметра размере? Параметар облика (k) одређује облик криве, укључујући њену асиметрију. Параметар размере (θ) растеже или сажима криву дуж x-осе без промене њеног основног облика.

Како је гама расподела повезана са експоненцијалном расподелом? Експоненцијална расподела је гама расподела са параметром облика k = 1.

Може ли гама расподела имати негативне вредности? Не. Дефинисана је само за x > 0. За податке који могу бити негативни потребна је друга расподела, као што је нормална расподела.

Да ли овај калкулатор израчунава функцију кумулативне расподеле? Не. Он израчунава средњу вредност, варијансу, асиметрију, куртозис и мод и исцртава функцију густине вероватноће. Не приказује кумулативне вредности вероватноће.

Референце

1. "Gamma distribution." Википедија, Фондација Викимедија. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Џонсон, Н. Л., Коц, С. и Балакришнан, Н. (1994). Непрекидне једнодимензионалне расподеле, том 1. John Wiley & Sons.