Калкулатор биномне расподеле - Бесплатни алат за вероватноћу

Шта је калкулатор биномијалне расподеле?

Калкулатор биномијалне расподеле израчунава вероватноћу добијања тачно одређеног броја успеха у фиксном броју независних покушаја, када сваки покушај има исту вероватноћу успеха. Користи се у статистици, контроли квалитета, медицини и свим областима које проучавају поновљене догађаје са одговором „да“ или „не“.

Основна идеја је биномијална расподела, модел вероватноће за бројање успеха у поновљеним покушајима који имају само два исхода, обично названа успех и неуспех.

Формула биномијалне расподеле

Вероватноћа добијања тачно k успеха у n покушаја је:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Сваки симбол означава:

• n — број покушаја.
• k — број успеха за који се израчунава вероватноћа.
• p — вероватноћу успеха у једном покушају, број између 0 и 1.
• $\binom{n}{k}$ — биномијални коефицијент, односно број различитих начина да се изабере k успеха од n покушаја. Једнак је $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Сваки покушај мора бити независан, што значи да исход једног покушаја не мења вероватноћу исхода другог, а вероватноћа успеха p мора остати иста у свим покушајима. Један покушај са два могућа исхода, као што је једно бацање новчића, назива се Бернулијев покушај. Биномијална расподела настаје сабирањем n Бернулијевих покушаја.

Како се израчунава биномијална вероватноћа

1. Запишите n, k и p.
2. Израчунајте биномијални коефицијент $\binom{n}{k}$, односно број начина да се распореди k успеха у n покушаја.
3. Подигните p на степен k.
4. Подигните (1 − p) на степен (n − k).
5. Помножите та три броја.

Калкулатор на овој страници аутоматски обавља ове кораке. Унесите n, p и k, а он приказује P(X = k), заједно са стубичастим дијаграмом који приказује вероватноћу сваког могућег исхода од 0 до n успеха.

Решени пример

Пример 1: бацање новчића

Поштен новчић се баца 10 пута. Колика је вероватноћа да ће се глава појавити тачно 3 пута?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Резултат: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, односно око 11,72%

Пример 2: контрола квалитета

Фабрика прегледа 100 производа. Сваки производ има 2% вероватноће да буде неисправан. Колика је вероватноћа да ниједан од 100 производа није неисправан?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Пошто је k = 0, формула се своди на $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Резултат: ≈ 0,1326, односно око 13,26%

Пример 3: тестирање на болест

У једном граду се на болест тестира 1.000 људи, а болест инфицира 0,1% становништва (p = 0,001). Колика је вероватноћа да је тачно 5 од 1.000 људи инфицирано?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Резултат: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, односно око 0,30% (тачна вредност 0,0030488, односно 0,30488%)

Средња вредност и варијанса

За биномијалну расподелу са параметрима n и p:

• Средња вредност (очекивана вредност): E(X) = np
• Варијанса: Var(X) = np(1 − p)
• Стандардна девијација: σ = √[np(1 − p)]

Средња вредност показује просечан број успеха који се очекује током великог броја понављања. У примеру 1, средња вредност је 10 × 0,5 = 5 појављивања главе.

Шта калкулатор прихвата

• n мора бити цео број од 1 навише. Децимални унос се заокружује на најближи цео број покушаја, па се 10,9 тумачи као 11.
• p мора бити између 0 и 1, укључујући обе граничне вредности.
• k мора бити цео број од 0 навише и не може бити већи од n. Добијање 8 успеха у 5 покушаја је немогуће, па калкулатор приказује грешку уместо броја.

Ако је било које поље празно, калкулатор не приказује ни резултат ни графикон, уместо да погађа вредност.

Када се примењује биномијална расподела

Биномијална расподела одговара ситуацији само када су испуњена сва четири услова:

1. Број покушаја, n, унапред је фиксиран.
2. Сваки покушај има само два исхода: успех или неуспех.
3. Вероватноћа успеха, p, иста је у сваком покушају.
4. Покушаји су међусобно независни.

Извлачење карата из шпила без враћања нарушава услов независности, јер уклањање карте мења вероватноћу за следеће извлачење. Уместо тога, за такву ситуацију користи се хипергеометријска расподела.

Сродне расподеле

• Поасонова расподела: користи се за приближно представљање биномијалне расподеле када је n велико, а p мало, тако да просечан број успеха (np) остане умерен. Често се користи за моделовање ретких догађаја, као што је случај болести у примеру 3.
• Нормална расподела: за велико n и када p није сувише близу 0 или 1, биномијална расподела приближно има облик звона и може се апроксимирати нормалном расподелом са средњом вредношћу np и варијансом np(1 − p).
• Хипергеометријска расподела: користи се уместо биномијалне расподеле када се узорковање из коначне популације обавља без враћања.

Најчешће постављана питања

Чему служи калкулатор биномијалне расподеле?

Он израчунава вероватноћу добијања тачно k успеха у n независних покушаја, од којих сваки има вероватноћу успеха p, користећи формулу P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Која је разлика између биномијалне и нормалне расподеле?

Биномијална расподела је дискретна, што значи да даје само целобројне бројеве успеха. Нормална расподела је непрекидна. За велико n, биномијална расподела може се апроксимирати нормалном кривом са средњом вредношћу np и варијансом np(1 − p).

Може ли p бити 0 или 1?

Да. Ако је p = 0, ниједан покушај не може бити успешан, па је P(X = 0) = 1. Ако је p = 1, сваки покушај је успешан, па је P(X = n) = 1. Све остале вредности k у тим случајевима имају вероватноћу 0.

Какав је однос између биномијалне и Бернулијеве расподеле?

Бернулијева расподела описује један покушај са два исхода (n = 1). Биномијална расподела је збир n независних Бернулијевих покушаја, па је Бернулијева расподела заправо биномијална расподела са n = 1.

Колико велико може бити n пре него што калкулатор постане непрецизан?

Калкулатор ради у стандардној аритметици двоструке прецизности. Он директно множи три дела формуле и прелази на логаритме када биномијални коефицијент порасте изнад највећег броја који тип double може да садржи, што се дешава близу n = 1.000 када је k близу n/2. Резултати остају тачни и изнад те границе. Вероватноћа мања од приближно 1e-308 приказује се као 0, јер ниједан тип double не може да је садржи.

Како се израчунава биномијални коефицијент?

Биномијални коефицијент C(n, k) броји број начина да се изабере k елемената од n елемената, без обзира на редослед. Једнак је n! / (k! × (n − k)!). Калкулатор га израчунава корак по корак, множењем једним чиниоцем и дељењем следећим, тако да никада не мора да чува целу факторијелну вредност. За веома велико n, уместо тога сабира логаритме тих чинилаца.

Литература

1. "Binomial Distribution." Википедија, Фондација Викимедија. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Рос, Шелдон М. Увод у моделе вероватноће. Academic Press, 2014.
3. Џонсон, Норман Л. и др. Дискретне расподеле. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.