Miller-indexkalkylator - Konvertera kristallplanintercept till (hkl)

Vad är Millerindex?

Millerindex är en uppsättning av tre heltal, skrivna (h,k,l), som identifierar ett plan i ett kristallgitter. Ett kristallgitter är den upprepade, regelbundna ordningen av atomer i ett fast material. Millerindex anger exakt vilket snitt genom gittret ett plan representerar, utan att dess geometri behöver beskrivas med ord. De introducerades av den brittiske mineralogen William Hallowes Miller år 1839 och är fortfarande standardnotationen inom kristallografi.

Den här kalkylatorn omvandlar ett plans skärningar med de kristallografiska x-, y- och z-axlarna till dess Millerindex (h,k,l).

Formel för Millerindex

Millerindex erhålls från de reciproka värdena av ett plans skärningar med axlarna. Om ett plan skär x-, y- och z-axlarna på avstånden a, b respektive c från origo, uppfyller indexen följande:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Så beräknas Millerindex från skärningar

1. Bestäm var planet skär varje axel, räknat i enhetscellens kantlängder. Kalla dessa skärningar a, b och c.
2. Ta det reciproka värdet av varje skärning: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Multiplicera alla tre reciproka värden med samma tal så att varje resultat blir ett heltal.
4. Dividera de tre heltalen med deras största gemensamma delare, så att de inte kan förenklas ytterligare.

De tre resulterande heltalen är h, k och l. Ett plan som aldrig skär en axel behandlas som om det skär den vid oändligheten, och 1 dividerat med oändligheten är 0, så den axeln får Millerindex 0.

Räkneexempel

Ett plan skär x-axeln vid 2, y-axeln vid 3 och z-axeln vid 6.

1. Skärningar: (2, 3, 6)
2. Reciproka värden: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Multiplicera med nämndarnas minsta gemensamma multipel, 6: (3, 2, 1)
4. Den största gemensamma delaren för 3, 2 och 1 är 1, så talen kan inte förenklas ytterligare.

Millerindex är (321).

Andra exempel

• Ett plan genom (1, ∞, 2) — parallellt med y-axeln — har de reciproka värdena (1, 0, 1/2). Multiplikation med 2 ger (2, 0, 1). 0 visar att planet aldrig skär y-axeln.
• Ett plan genom (-1, 2, 3) har de reciproka värdena (-1, 1/2, 1/3). Multiplikation med 6 ger (-6, 3, 2), vilket vanligtvis skrivs (6̄32) med ett streck över det negativa indexet.
• Ett plan genom (1, ∞, ∞) har de reciproka värdena (1, 0, 0), vilket ger (100). Detta är en av kubens sex ytor.

Specialfall

Ett plan som är parallellt med en axel skär den aldrig, så skärningen behandlas som oändlig och dess Millerindex är 0. Ett plan som skär en axel på origos negativa sida får ett negativt index, vilket i formell notation skrivs med ett streck över talet eller med ett minustecken i löptext. Ett plan som går genom själva origo har inga definierade Millerindex, eftersom varje uppsättning parallella plan i ett gitter måste vara förskjutna från origo för att kunna indexeras; origo måste flyttas innan ett sådant plan kan beskrivas. Bråkformiga skärningar hanteras på samma sätt som heltalsskärningar: ta det reciproka värdet av varje skärning och eliminera sedan bråken.

Index reduceras alltid till de minsta möjliga heltalen. (622) och (311) beskriver samma familj av plan, men kristallografer skriver alltid (311).

Så använder du denna kalkylator

Ange planets skärningar med x-, y- och z-axlarna.

• Använd ett positivt tal för en skärning på origos positiva sida och ett negativt tal för den negativa sidan.
• Skriv "infinity", "inf" eller "∞" för ett plan som löper parallellt med en axel.
• En skärning vid noll accepteras inte, eftersom ett plan genom origo inte kan tilldelas Millerindex med den här metoden.

Kalkylatorn beräknar indexen direkt och visar ett diagram över planet inuti enhetscellen.

Tillämpningar av Millerindex

Röntgendiffraktion. Varje fläck eller topp i ett röntgendiffraktionsmönster motsvarar en uppsättning gitterplan med ett specifikt (hkl). Braggs lag kopplar avståndet mellan dessa plan till diffraktionsvinkeln:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Här är d_hkl avståndet mellan plan (h,k,l), λ är röntgenstrålningens våglängd och θ är diffraktionsvinkeln. Att matcha observerade toppar mot (hkl)-värden, en process som kallas indexering, är ett grundläggande steg vid identifiering av en okänd kristallstruktur.

Materialvetenskap. Olika kristallplan blottlägger olika atomarrangemang och har därför olika ytenergier, olika reaktionshastigheter vid kemiska reaktioner och olika betydelse för hur en metall deformeras. I ytcentrerade kubiska metaller som aluminium glider atomplan lättast förbi varandra längs {111}-plan. Kiselskivor för datorchip skärs vanligtvis längs (100)- eller (111)-planet, eftersom valet påverkar hur senare tillverkningssteg fungerar.

Mineralogi. De plana ytorna på en naturlig kristall och de riktningar längs vilka ett mineral delar sig rent, det vill säga dess spaltning, är båda förknippade med specifika plan med låga index. Halit (koksalt) spaltar längs {100}-plan och fluorit spaltar längs {111}-plan.

Miller–Bravais-index för hexagonala kristaller

Hexagonala kristaller, som magnesium, zink och titan, beskrivs vanligtvis med ett system med fyra index (hkil) i stället för tre. Det extra indexet i är inte självständigt; det är alltid i = -(h+k). Denna form gör det lättare att se att två plan tillhör samma familj av symmetriekvivalenta plan, vilket inte alltid är uppenbart enbart utifrån Millers treindexnotation i ett hexagonalt gitter.

Historia

Millerindex introducerades av William Hallowes Miller i hans bok A Treatise on Crystallography från 1839. Tidigare system för att beteckna kristallytor fanns redan, men Millers metod att använda de reciproka värdena av skärningarna gjorde plan parallella med en axel lätta att hantera, eftersom deras skärning är oändlig och det reciproka värdet helt enkelt är 0. Efter att Max von Laue upptäckte röntgendiffraktion i kristaller år 1912 visade William Henry Bragg och William Lawrence Bragg att Millerindex exakt beskriver de plan som orsakar diffraktionstoppar, ett arbete för vilket de delade 1915 års Nobelpris i fysik.

Vanliga frågor

Vad används Millerindex till? De identifierar specifika plan i ett kristallgitter. De används för att indexera toppar i röntgen- och elektrondiffraktion, beskriva glidplan i metaller, ange orienteringen hos halvledarskivor samt beteckna mineralers ytor och spaltning.

Vad betyder en nolla i ett Millerindex? Det betyder att planet är parallellt med den axeln och aldrig skär den. Exempelvis är (201) parallellt med y-axeln.

Vad betyder negativa Millerindex? De betyder att planet skär axeln på origos negativa sida. Ett negativt index skrivs med ett streck över talet, till exempel (2̄11), eller med ett minustecken, till exempel (-2,1,1).

Varför kan ett plan genom origo inte ha Millerindex? Millerindex erhålls från det reciproka värdet av en skärning. Ett plan genom origo skär varje axel vid 0, och 1/0 är odefinierat, så metoden kan inte tilldela index om planet inte förskjuts.

Vad är skillnaden mellan Millerindex och Miller–Bravais-index? Millerindex (hkl) använder tre tal och fungerar för alla kristallsystem. Miller–Bravais-index (hkil) lägger till ett fjärde, beroende index och används främst för hexagonala kristaller, där de gör symmetri-ekvivalenta plan lättare att känna igen.

Hur hänger avståndet mellan plan ihop med Millerindex? I en kubisk kristall med kantlängden a är avståndet mellan intilliggande plan med Millerindexen (hkl) d = a / √(h² + k² + l²). Plan med högre index ligger tätare. Andra kristallsystem använder en liknande men mer komplex formel som tar hänsyn till olika axellängder och icke-90° vinklar.

Referenser

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4:e upplagan). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3:e upplagan). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.