Kritiskt värde-kalkylator | Z-test, t-test, Chi-Square

Ett kritiskt värde är gränspunkten i en sannolikhetsfördelning som markerar kanten av ”förkastelseregionen” i ett hypotestest. Om teststatistikan överskrider det kritiska värdet anses resultatet vara statistiskt signifikant och nollhypotesen förkastas. Den här kalkylatorn beräknar kritiska värden för de tre vanligaste testen: Z-testet, t-testet och chi-två-testet.

Vad är ett kritiskt värde?

Inom statistik börjar forskare ofta med en nollhypotes, ett enkelt antagande om att inget ovanligt händer (till exempel att ett nytt läkemedel inte har någon effekt). En teststatistik beräknas utifrån stickprovsdata och jämförs med ett kritiskt värde för att avgöra om data ger tillräckliga belägg mot nollhypotesen.

Det kritiska värdet beror på tre saker: valet av test, signifikansnivån (skriven som α, den grekiska bokstaven alfa) och om testet är ensidigt eller tvåsidigt. Signifikansnivån är sannolikheten att felaktigt förkasta en sann nollhypotes och sätts ofta till 0,05 (5 %) eller 0,01 (1 %).

Ett ensidigt test undersöker en effekt i en enda riktning, till exempel ”större än”. Det har ett kritiskt värde. Ett tvåsidigt test undersöker en effekt i endera riktningen och har två kritiska värden, ett på vardera sidan av fördelningen.

Så beräknas ett kritiskt värde

1. Välj test: Z-test (stora stickprov eller känd populationsvarians), t-test (små stickprov med okänd varians) eller chi-två-test (kategoriska data eller anpassningstest).
2. Välj typ av test: ensidigt eller tvåsidigt.
3. Välj signifikansnivån α, ett tal mellan 0 och 1. Vanliga val är 0,10, 0,05 och 0,01.
4. För ett t-test eller chi-två-test anger du frihetsgraderna (df). För ett t-test är df lika med stickprovsstorleken minus 1. För ett chi-två-anpassningstest är df lika med antalet kategorier minus 1.
5. Slå upp (eller beräkna) det värde som avgränsar den valda svansarean under fördelningskurvan. Detta är det kritiska värdet.

Formler för kritiska värden

Varje formel använder inversen av en kumulativ fördelningsfunktion: det x-värde för vilket arean under kurvan fram till x är lika med en målsannolikhet p.

Formel för Z-test

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(ensidigt)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(tvåsidigt)}$

Φ⁻¹ är inversen av den kumulativa fördelningsfunktionen för standardnormalfördelningen.

Formel för t-test

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(ensidigt)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(tvåsidigt)}$

t⁻¹(p, df) är inversen av den kumulativa fördelningsfunktionen för t-fördelningen med df frihetsgrader.

Formel för chi-två-test

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(ensidigt)}$ $\chi^2_{\text{nedre}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{övre}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(tvåsidigt)}$

Chi-två-fördelningen antar endast positiva värden, så båda kritiska värdena är positiva och det nedre värdet är mindre än det övre.

Exempel: kritiskt värde för Z-test

Ett kvalitetskontrollteam vill ha ett ensidigt kritiskt värde för Z-testet vid α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Varje teststatistik som överstiger 1,6449 hamnar i förkastelseregionen.

Exempel: kritiskt värde för t-test

En forskare genomför ett experiment med 20 deltagare, så df = 19. Forskaren vill ha ett tvåsidigt kritiskt värde vid α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Förkastelseregionerna är t < -2,8609 och t > 2,8609.

Exempel: kritiska värden för chi-två-test

En analytiker jämför observerade och förväntade antal i 5 kategorier, så df = 4. Analytikern vill ha tvåsidiga kritiska värden vid α = 0,05.

$\chi^2_{\text{nedre}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{övre}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

En chi-två-statistik som understiger 0,4844 eller överstiger 11,1433 skulle hamna i förkastelseregionen.

Vanliga kritiska värden

När antalet frihetsgrader ökar minskar de kritiska värdena för t-fördelningen mot motsvarande värden för Z-testet, eftersom t-fördelningen närmar sig normalfördelningen.

Vanliga frågor

Vad används ett kritiskt värde till? Det anger gränsen för att avgöra om en teststatistik är tillräckligt extrem för att nollhypotesen ska förkastas. Om teststatistiken överskrider det kritiska värdet är resultatet statistiskt signifikant vid den valda α-nivån.

Vad är skillnaden mellan ett ensidigt och ett tvåsidigt kritiskt värde? Ett ensidigt test söker efter en effekt i en riktning och har ett enda kritiskt värde. Ett tvåsidigt test söker efter en effekt i endera riktningen och har två kritiska värden, symmetriskt placerade kring mitten för Z-testet och t-testet. Vid samma α är det tvåsidiga kritiska värdet större till absolutbeloppet än det ensidiga, eftersom samma totala sannolikhet delas upp mellan två svansar i stället för en.

När bör ett Z-test användas i stället för ett t-test? Ett Z-test används när populationsvariansen är känd eller när stickprovet är stort, vanligtvis 30 eller fler observationer. Ett t-test används för mindre stickprov med okänd populationsvarians. När stickprovsstorleken ökar konvergerar de kritiska värdena för t-testet mot de kritiska värdena för Z-testet.

Kan ett kritiskt värde vara negativt? Ja. Fördelningarna för Z-test och t-test är symmetriska kring noll, så ett tvåsidigt test har ett negativt och ett positivt kritiskt värde. Kritiska värden för chi-tvåfördelningen är alltid positiva, eftersom chi-tvåfördelningen endast är definierad för värden på noll eller mer.

Hur påverkar frihetsgraderna ett kritiskt värde? Frihetsgrader mäter hur mycket oberoende information som finns i data, vanligtvis stickprovsstorleken minus antalet parametrar som redan har skattats. Färre frihetsgrader ger bredare fördelningar med tyngre svansar och större kritiska värden. Fler frihetsgrader gör att t-fördelningen och chi-två-fördelningen närmar sig normalfördelningen.

Vilket kritiskt värde motsvarar en konfidensnivå på 95 %? En konfidensnivå på 95 % använder α = 0,05. För ett tvåsidigt Z-test är de kritiska värdena ±1,9600. För ett ensidigt Z-test är det kritiska värdet 1,6449.

Historia

Karl Pearson introducerade chi-två-testet 1900. William Sealy Gosset, som publicerade under namnet ”Student”, utvecklade t-fördelningen 1908 för att hantera små stickprov vid Guinness-bryggeriet. Ronald Fisher formaliserade signifikanstestning och kritiska värden under 1920-talet i sin bok Statistical Methods for Research Workers. Före datorerna slog forskare upp kritiska värden i tryckta tabeller; kalkylatorer och programvara beräknar dem nu direkt från fördelningsformlerna.

Referenser

1. Pearson, K. (1900). ”On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.” Philosophical Magazine, serie 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). ”The probable error of a mean.” Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, ”Critical Values”.