Z-Score Kalkylator - Standardpoäng & Sannolikhetsverktyg

Vad är ett z-värde?

Ett z-värde, även kallat standardpoäng, anger hur många standardavvikelser en datapunkt ligger från medelvärdet i en datamängd. Ett z-värde på 0 betyder att värdet är lika med medelvärdet. Ett positivt z-värde betyder att värdet ligger över medelvärdet, och ett negativt z-värde betyder att det ligger under medelvärdet.

Formel för z-värde

Z-värdet för en datapunkt beräknas med följande formel:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Där:

• $z$ är z-värdet
• $x$ är datapunkten
• $\mu$ är datamängdens medelvärde
• $\sigma$ är datamängdens standardavvikelse

Standardavvikelsen kan inte vara noll, eftersom division med noll saknar ett definierat resultat. Den kan inte heller vara negativ, eftersom en standardavvikelse enligt definition alltid är noll eller positiv.

Så beräknas ett z-värde

1. Beräkna datamängdens medelvärde genom att addera alla värden och dividera med antalet värden, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Beräkna standardavvikelsen. Beräkna först variansen, det genomsnittliga värdet av de kvadrerade avvikelserna från medelvärdet, och ta sedan kvadratroten ur den.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Detta är populationens standardavvikelse, där man dividerar med $n$. När talen utgör ett stickprov från en större grupp dividerar man i stället med $n - 1$.

3. Subtrahera medelvärdet från datapunkten och dividera med standardavvikelsen.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Räkneexempel

En elev får 85 poäng på ett prov. Klassens medelvärde är 75, och standardavvikelsen för klassens resultat är 10.

• Datapunktvärde: $x = 85$
• Medelvärde: $\mu = 75$
• Standardavvikelse: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Elevens z-värde är 1,0. Resultatet ligger en standardavvikelse över klassens medelvärde.

Z-värde och kumulativ sannolikhet

Ett z-värde kan omvandlas till en kumulativ sannolikhet, alltså sannolikheten att ett slumpmässigt valt värde från en normalfördelning hamnar på eller under den punkten. Detta är arean under den standardiserade normalkurvan till vänster om $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

För elevens z-värde på 1,0 är den kumulativa sannolikheten ungefär 0,8413, eller 84,13 %. Det betyder att eleven fick ett bättre resultat än ungefär 84 % av klassen, förutsatt att resultaten följer en normalfördelning. Kalkylatorn visar z-värdet med fyra decimaler och den kumulativa sannolikheten som en procentsats med två decimaler.

Några referenspunkter:

Tolkning av ett z-värde

De flesta värden i en normalfördelning ligger inom 2 standardavvikelser från medelvärdet. Z-värden över +3 eller under -3 är sällsynta och behandlas ofta som avvikande värden, det vill säga värden som skiljer sig tydligt från resten av data.

Z-värden gör det också möjligt att jämföra värden som mäts på olika skalor. Ett provresultat och ett längdmått kan inte jämföras direkt, men deras z-värden kan jämföras eftersom båda beskriver avståndet från ett medelvärde i samma standardavvikelseenheter.

Z-värde jämfört med t-värde

Ett z-värde förutsätter att populationens standardavvikelse är känd och fungerar bäst med stora stickprov. Ett t-värde används i stället när populationens standardavvikelse är okänd och stickprovet är litet, vanligtvis under 30 observationer. Båda beskriver avståndet från ett medelvärde, men ett t-värde kommer från t-fördelningen, som har tjockare svansar för att ta hänsyn till den extra osäkerheten i ett litet stickprov.

Vanliga användningsområden för z-värden

• Standardiserade prov. Jämförelse av en elevs råpoäng med den övergripande fördelningen av poängen.
• Identifiering av avvikande värden. Markering av datapunktvärden som ligger långt från medelvärdet i en datamängd.
• Kvalitetskontroll. Kontroll av om en tillverkad produkt ligger inom ett godtagbart intervall.
• Hypotesprövning. Z-test använder z-värden för att bedöma om ett stickprovs medelvärde skiljer sig på ett meningsfullt sätt från ett känt populationsmedelvärde.

Historia

Z-värdet bygger på normalfördelningen, som beskrevs av Abraham de Moivre 1733 och vidareutvecklades av Carl Friedrich Gauss och Pierre-Simon Laplace i början av 19:e århundradet. Att standardisera värden till enheter av standardavvikelse blev vanligt inom psykologisk testning och kvalitetskontroll under 20:e århundradet.

Vanliga frågor

Vad är ett z-värde inom statistik? Ett z-värde är det antal standardavvikelser som ett datapunktvärde ligger från medelvärdet i sin datamängd. Det beräknas med formeln z = (x − μ) / σ.

Hur tolkar jag resultatet av ett z-värde? Ett z-värde på 0 betyder att värdet är lika med medelvärdet. Ett positivt värde ligger över medelvärdet, och ett negativt värde ligger under det. Värden över +3 eller under -3 är ovanliga.

Kan ett z-värde vara negativt? Ja. Ett negativt z-värde betyder helt enkelt att datapunktvärdet ligger under medelvärdet. Ett z-värde på -2 betyder att värdet ligger 2 standardavvikelser under medelvärdet.

Vad är skillnaden mellan ett z-värde och ett t-värde? Ett z-värde används med stora stickprov när populationens standardavvikelse är känd. Ett t-värde används med små stickprov, vanligtvis under 30 observationer, när den inte är känd.

Vad betyder kumulativ sannolikhet för ett z-värde? Det är sannolikheten att ett slumpmässigt valt värde från en normalfördelning är mindre än eller lika med det angivna z-värdet. Den motsvarar arean under normalkurvan till vänster om den punkten.

Vad händer om standardavvikelsen är noll? Z-värdet är odefinierat, eftersom formeln skulle kräva division med noll. En standardavvikelse på noll betyder att alla värden i datamängden är identiska.

Referenser

1. Standardiserat värde, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Normalfördelning och z-värden, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review