เครื่องคำนวณการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี - คำนวณครึ่งชีวิตและปริมาณคงเหลือ

เครื่องคำนวณการสลายตัวกัมมันตรังสีคืออะไร?

เครื่องคำนวณการสลายตัวกัมมันตรังสีใช้ค้นหาว่าสารกัมมันตรังสีเหลืออยู่เท่าใดหลังเวลาที่กำหนด โดยอาศัยครึ่งชีวิตของสาร ป้อนปริมาณเริ่มต้น ครึ่งชีวิต และเวลาที่ผ่านไป แล้วเครื่องคำนวณจะแสดงปริมาณที่เหลือพร้อมกราฟเส้นโค้งการสลายตัว

การสลายตัวกัมมันตรังสีเป็นกระบวนการธรรมชาติที่นิวเคลียสอะตอมไม่เสถียรปลดปล่อยพลังงานออกมาในรูปของรังสีและเปลี่ยนเป็นนิวเคลียสชนิดอื่นที่เสถียรกว่า ไอโซโทปกัมมันตรังสีแต่ละชนิดสลายตัวด้วยอัตราคงที่เฉพาะตัว ซึ่งอธิบายด้วยครึ่งชีวิต หรือเวลาที่อะตอมครึ่งหนึ่งในตัวอย่างใช้ในการสลายตัว อัตรานี้ไม่เปลี่ยนแปลงตามอุณหภูมิ ความดัน หรือรูปแบบทางเคมีของสาร จึงทำให้การคำนวณการสลายตัวมีความน่าเชื่อถือเพียงพอสำหรับการใช้งานตั้งแต่การรักษามะเร็งไปจนถึงการหาอายุวัตถุโบราณ

สูตรการสลายตัวกัมมันตรังสี

เครื่องคำนวณใช้สมการการสลายตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลมาตรฐานดังนี้:

$N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

• $N(t)$ — ปริมาณที่เหลือหลังเวลา $t$
• $N_0$ — ปริมาณเริ่มต้น
• $t$ — เวลาที่ผ่านไป
• $t_{1/2}$ — ครึ่งชีวิตของไอโซโทป

เลขชี้กำลัง $t / t_{1/2}$ แสดงจำนวนครึ่งชีวิตที่ผ่านไปแล้ว หลังผ่านหนึ่งครึ่งชีวิต จะเหลือปริมาณเดิมครึ่งหนึ่ง หลังผ่านสองครึ่งชีวิต จะเหลือหนึ่งในสี่ หลังผ่านสามครึ่งชีวิต จะเหลือหนึ่งในแปด และลดลงในลักษณะเดียวกันต่อไป

กฎเดียวกันนี้มักเขียนโดยใช้ค่าคงที่การสลายตัว $\lambda$ แทนครึ่งชีวิต:

$N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \approx \frac{0.693}{t_{1/2}}$

ทั้งสองรูปให้ผลลัพธ์เหมือนกัน รูปที่ใช้ครึ่งชีวิตทำความเข้าใจด้วยมือได้ง่ายกว่า เพราะ $(1/2)^n$ มีความหมายชัดเจนเมื่อจำนวนครึ่งชีวิตเป็นจำนวนเต็ม

ทำความเข้าใจครึ่งชีวิต

ครึ่งชีวิตแตกต่างกันอย่างมากระหว่างไอโซโทป พอโลเนียม-214 มีครึ่งชีวิตประมาณ 164 ไมโครวินาที เทลลูเรียม-128 มีครึ่งชีวิตประมาณ 2.2 เซปทิลเลียน (2.2 × 10²⁴) ปี หลังผ่านไปประมาณ 10 ครึ่งชีวิต ตัวอย่างจะเหลือน้อยกว่า 0.1% ซึ่งเป็นเหตุผลที่มักใช้ 10 ครึ่งชีวิตเป็นกฎคร่าว ๆ ว่าแหล่งกำเนิดรังสี “หมดไปในทางปฏิบัติ”

วิธีคำนวณการสลายตัวกัมมันตรังสี

1. ป้อนปริมาณเริ่มต้น โดยอาจใช้หน่วยใดก็ได้ เช่น กรัม อะตอม เบ็กเคอเรล หรือคูรี และผลลัพธ์จะแสดงเป็นหน่วยเดียวกัน
2. ป้อนครึ่งชีวิต ของไอโซโทปและหน่วยเวลา เช่น วินาที นาที ชั่วโมง วัน หรือปี
3. ป้อนเวลาที่ผ่านไป และหน่วยของเวลา หน่วยนี้ไม่จำเป็นต้องตรงกับหน่วยของครึ่งชีวิต เพราะเครื่องคำนวณจะแปลงทั้งสองค่าให้เป็นหน่วยเดียวกันก่อนคำนวณผลลัพธ์
4. อ่านปริมาณที่เหลือ และกราฟเส้นโค้งการสลายตัว ซึ่งแสดงปริมาณตลอดช่วงเวลาที่ป้อน

ตัวอย่างการคำนวณ

ไอโอดีน-131 ซึ่งใช้ในการรักษาและถ่ายภาพต่อมไทรอยด์ มีครึ่งชีวิต 8.02 วัน หากเริ่มต้นด้วย 1,000 มิลลิคูรี หลังผ่านไป 24.06 วันจะเหลือเท่าใด?

$t / t_{1/2} = 24.06 / 8.02 = 3$ $N(t) = 1000 \times (1/2)^3 = 1000 \times 0.125 = 125 \text{ มิลลิคูรี}$

ผ่านไปแล้วสามครึ่งชีวิต ดังนั้นตัวอย่างจึงถูกหารครึ่งสามครั้ง: 1,000 → 500 → 250 → 125 มิลลิคูรี

ไอโซโทปที่พบบ่อยและครึ่งชีวิต

การใช้งานจริงของการคำนวณการสลายตัว

การแพทย์ แหล่งกำเนิดรังสีสำหรับการฉายรังสี เช่น โคบอลต์-60 จะมีความแรงลดลงเมื่อสลายตัว ดังนั้นต้องเพิ่มเวลาการฉายตลอดอายุการใช้งานของแหล่งกำเนิดเพื่อให้ได้รับปริมาณรังสีเท่าเดิม การสแกนเวชศาสตร์นิวเคลียร์ใช้ไอโซโทปอายุสั้น เช่น เทคนีเชียม-99m โดยกำหนดเวลาให้การสแกนเกิดขึ้นขณะที่กัมมันตภาพสูงพอสำหรับสร้างภาพ แต่ต่ำพอที่จะจำกัดปริมาณรังสีของผู้ป่วย เนื่องจากมีครึ่งชีวิต 6 ชั่วโมง หลัง 24 ชั่วโมง (สี่ครึ่งชีวิต) จะเหลือกัมมันตภาพเดิมประมาณ 6% และหลังสองวัน (แปดครึ่งชีวิต) จะเหลือน้อยกว่า 1%

การหาอายุ นักโบราณคดีประเมินอายุซากอินทรียวัตถุโดยวัดปริมาณคาร์บอน-14 ที่เหลืออยู่ โดยใช้ครึ่งชีวิต 5,730 ปี วิธีนี้ใช้ได้ถึงประมาณ 50,000–60,000 ปี หลังจากนั้นจะมีคาร์บอน-14 เหลือน้อยเกินกว่าจะวัดได้ นักธรณีวิทยาหาอายุหินในช่วงเวลาที่ยาวนานกว่ามากโดยใช้การสลายตัวของยูเรเนียม-ตะกั่วและโพแทสเซียม-อาร์กอน ซึ่งเป็นวิธีที่ใช้ประเมินอายุโลกได้ประมาณ 4.54 พันล้านปี

ความปลอดภัยและอุตสาหกรรม หลังเกิดอุบัติเหตุทางนิวเคลียร์ ไอโซโทปอายุสั้น เช่น ไอโอดีน-131 จะก่ออันตรายทันทีแต่ชั่วคราว ขณะที่ไอโซโทปอายุยาว เช่น ซีเซียม-137 (ประมาณ 30 ปี) ยังคงเป็นปัญหาไปอีกหลายทศวรรษ แหล่งกำเนิดรังสีสำหรับการถ่ายภาพรังสีทางอุตสาหกรรมจะถูกปลดระวางเมื่อการสลายตัวทำให้ต้องใช้เวลาฉายยาวนานจนไม่เหมาะสม และเชื้อเพลิงนิวเคลียร์ใช้แล้วจะถูกเก็บไว้ในบ่อหล่อเย็นเป็นเวลาหลายปี เพราะยังคงสร้างความร้อนขณะสลายตัว

ข้อจำกัดของเครื่องคำนวณนี้

เครื่องคำนวณนี้รองรับการสลายตัวอย่างง่ายของไอโซโทปชนิดเดียวไปเป็นผลิตภัณฑ์ที่เสถียร ไม่ได้จำลอง:

• ห่วงโซ่การสลายตัว ไอโซโทปหนักจำนวนมากสลายตัวผ่านผลิตภัณฑ์ลูกกัมมันตรังสีหลายชนิดเป็นลำดับก่อนจะกลายเป็นผลิตภัณฑ์ที่เสถียร ตัวอย่างเช่น ยูเรเนียม-238 ผ่านประมาณ 14 ขั้นตอนก่อนกลายเป็นตะกั่ว-206 ที่เสถียร การคำนวณปริมาณของไอโซโทประหว่างทางแต่ละชนิดต้องแก้สมการเบตแมน ซึ่งเป็นชุดสมการเชิงอนุพันธ์แบบเชื่อมโยงกัน
• ตัวอย่างขนาดเล็ก สูตรนี้อธิบายพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของอะตอมจำนวนมาก หากมีอะตอมเพียงไม่กี่โหล จำนวนการสลายตัวจริงในแต่ละช่วงเวลาจะผันผวนรอบเส้นโค้งที่คาดการณ์ไว้
• การปรับเทียบ สำหรับการใช้งานด้านการหาอายุ อายุที่คำนวณได้เบื้องต้นไม่ใช่ปีปฏิทินโดยตรง ตัวอย่างเช่น การหาอายุด้วยคาร์บอนต้องใช้เส้นโค้งการปรับเทียบเพื่อแก้ไขการเปลี่ยนแปลงของคาร์บอน-14 ในบรรยากาศในอดีต

คำถามที่พบบ่อย

ครึ่งชีวิตกำหนดอย่างไร ครึ่งชีวิตคือเวลาที่อะตอมกัมมันตรังสีครึ่งหนึ่งในตัวอย่างใช้ในการสลายตัว สำหรับไอโซโทปหนึ่งชนิด ครึ่งชีวิตจะคงที่โดยไม่ขึ้นกับขนาดตัวอย่างหรือสภาวะทางกายภาพ

การสลายตัวกัมมันตรังสีทำให้เร็วขึ้นหรือช้าลงได้หรือไม่ ภายใต้สภาวะปกติ ทำไม่ได้ อัตราการสลายตัวไม่ได้รับผลจากอุณหภูมิ ความดัน หรือพันธะเคมี ความคงที่นี้ทำให้การหาอายุด้วยรังสีและการวางแผนปริมาณรังสีมีความน่าเชื่อถือ โหมดการสลายตัวที่พบได้น้อยบางแบบ เช่น การจับอิเล็กตรอน แสดงการเปลี่ยนแปลงของอัตราเพียงเล็กน้อยภายใต้สภาวะสุดขั้ว เช่น ภายในดาวฤกษ์ ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับการใช้งานทั่วไป

จะเกิดอะไรขึ้นหลังผ่านไปหลายครึ่งชีวิต ปริมาณที่เหลือจะลดลงครึ่งหนึ่งต่อไปเรื่อย ๆ แต่ในทางคณิตศาสตร์จะไม่เท่ากับศูนย์ หลัง 10 ครึ่งชีวิต จะเหลือประมาณ 0.0977% หลัง 20 ครึ่งชีวิต จะเหลือน้อยกว่าหนึ่งในล้านของปริมาณเดิม ในด้านความปลอดภัยทางรังสี มักใช้ 10 ครึ่งชีวิตเป็นเกณฑ์ว่าควรถือว่าแหล่งกำเนิดนั้นไม่มีนัยสำคัญอีกต่อไป

แปลงระหว่างหน่วยเวลาอย่างไร 1 ปี = 365.25 วัน, 1 วัน = 24 ชั่วโมง, 1 ชั่วโมง = 60 นาที, 1 นาที = 60 วินาที เครื่องคำนวณจะแปลงหน่วยโดยอัตโนมัติ ดังนั้นจึงสามารถป้อนครึ่งชีวิตและเวลาที่ผ่านไปเป็นคนละหน่วยได้

เครื่องคำนวณนี้ใช้หาอายุด้วยคาร์บอนได้หรือไม่ สามารถใช้ประเมินเบื้องต้นได้ โดยอาศัยครึ่งชีวิต 5,730 ปีของคาร์บอน-14 การหาอายุในระดับมืออาชีพใช้เส้นโค้งการปรับเทียบที่เผยแพร่แล้วเพื่อแปลงผลลัพธ์เบื้องต้นเป็นปีปฏิทิน เนื่องจากระดับคาร์บอน-14 ในบรรยากาศเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา

เครื่องคำนวณนี้รองรับห่วงโซ่การสลายตัวหรือไม่ ไม่รองรับ เครื่องคำนวณการสลายตัวแบบขั้นเดียวจากไอโซโทปต้นกำเนิดไปเป็นผลิตภัณฑ์ที่เสถียร ไอโซโทปที่สลายตัวผ่านลูกกัมมันตรังสีเป็นลำดับ เช่น ยูเรเนียม-238 ต้องใช้สมการเบตแมน ซึ่งเครื่องมือนี้ไม่สามารถแก้ได้