เครื่องคำนวณการกระจายแบบแกมมา - เครื่องมือวิเคราะห์ทางสถิติ

เครื่องคำนวณการแจกแจงแกมมาคืออะไร?

เครื่องคำนวณการแจกแจงแกมมาคำนวณค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน ความเบ้ ความโด่ง และฐานนิยมของการแจกแจงแกมมาจากข้อมูลนำเข้าสองค่า ได้แก่ พารามิเตอร์รูปร่างและพารามิเตอร์มาตราส่วน นอกจากนี้ยังวาดฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการแจกแจงเป็นเส้นโค้งด้วย

การแจกแจงแกมมาคืออะไร?

การแจกแจงแกมมาเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องสำหรับค่าบวก กำหนดด้วยพารามิเตอร์สองตัว ได้แก่ พารามิเตอร์รูปร่าง ซึ่งมักเขียนเป็น k และพารามิเตอร์มาตราส่วน ซึ่งมักเขียนเป็น θ (ทีตา) ทั้งสองค่าต้องมากกว่าศูนย์ การแจกแจงแกมมาใช้จำลองปริมาณที่ไม่สามารถเป็นลบได้ เช่น ปริมาณฝนสะสม จำนวนเงินค่าสินไหมทดแทน และเวลาจนกว่าชิ้นส่วนเครื่องจักรจะชำรุด

สูตรการแจกแจงแกมมา

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ของการแจกแจงแกมมาคือ:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

ในที่นี้ x คือค่าที่วัดความหนาแน่น และ Γ(k) คือฟังก์ชันแกมมา ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของแฟกทอเรียลไปยังจำนวนที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อ x > 0 เท่านั้น ส่วนที่เหลือความหนาแน่นจะเป็นศูนย์

วิธีคำนวณคุณสมบัติของการแจกแจงแกมมา

จากพารามิเตอร์รูปร่าง k และพารามิเตอร์มาตราส่วน θ เครื่องคำนวณจะหาค่า:

• ค่าเฉลี่ย: k × θ
• ความแปรปรวน: k × θ²
• ความเบ้: 2 / √k
• ความโด่ง: 3 + 6 / k
• ฐานนิยม: (k − 1) × θ เมื่อ k ≥ 1 มิฉะนั้นเป็น 0

ความเบ้วัดว่าเส้นโค้งเบี้ยวไปด้านใดมากน้อยเพียงใด ค่า k ที่เล็กลงทำให้หางด้านขวายาวขึ้น ความโด่งวัดว่าหางมีน้ำหนักมากเพียงใดเมื่อเทียบกับการแจกแจงปกติ ซึ่งมีค่าความโด่งเท่ากับ 3 ฐานนิยมคือค่าของ x ที่เส้นโค้งขึ้นถึงจุดสูงสุด เมื่อ k ต่ำกว่า 1 ความหนาแน่นจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ดังนั้นจึงไม่มีจุดสูงสุดภายในช่วง และเครื่องคำนวณจะแสดงฐานนิยมเป็น 0

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

กำหนดให้พารามิเตอร์รูปร่าง k = 2 และพารามิเตอร์มาตราส่วน θ = 3

• ค่าเฉลี่ย = 2 × 3 = 6
• ความแปรปรวน = 2 × 3² = 18
• ความเบ้ = 2 / √2 ≈ 1.4142
• ความโด่ง = 3 + 6 / 2 = 6
• ฐานนิยม = (2 − 1) × 3 = 3

ที่ฐานนิยม x = 3 ความหนาแน่นคำนวณได้เป็น f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0.3679) / 9 ≈ 0.1226 เครื่องคำนวณจะพล็อตเส้นโค้งทั้งหมดโดยอัตโนมัติเมื่อป้อนพารามิเตอร์ทั้งสองแล้ว

วิธีใช้เครื่องคำนวณการแจกแจงแกมมา

1. ป้อนพารามิเตอร์รูปร่าง (k) ซึ่งเป็นจำนวนบวก
2. ป้อนพารามิเตอร์มาตราส่วน (θ) ซึ่งเป็นจำนวนบวก
3. ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน ความเบ้ ความโด่ง และฐานนิยมจะแสดงทันทีที่ช่องข้อมูลทั้งสองมีตัวเลขที่ถูกต้อง ไม่มีปุ่มคำนวณแยกต่างหาก ผลลัพธ์จะอัปเดตขณะป้อนตัวเลข
4. กราฟใต้ผลลัพธ์แสดงฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น โดยวาดตั้งแต่ค่าที่สูงกว่า x = 0 เล็กน้อยไปจนถึงค่าที่มากกว่า ระหว่างสามเท่าของค่าเฉลี่ยกับห้าเท่าของพารามิเตอร์มาตราส่วน

พารามิเตอร์ทั้งสองต้องเป็นจำนวนจำกัดที่มากกว่า 0 และต้องไม่มีค่าใดมากกว่า 1000 ค่าที่เล็กกว่าประมาณ 2 × 10⁻¹⁶ จะถูกปฏิเสธเช่นกัน เนื่องจากตัวเลขสรุปจะไม่มีความหมายเมื่อมีขนาดเท่านี้ ค่าที่อยู่นอกช่วงที่ยอมรับจะแสดงข้อความแสดงข้อผิดพลาดแทนผลลัพธ์

การแจกแจงแกมมาใช้ที่ใด

การแจกแจงแกมมาใช้จำลองปริมาณจริงหลายชนิดที่เป็นบวกเสมอและมักมีความเบ้ไปทางขวา:

• การประกันภัย: จำนวนเงินค่าสินไหมทดแทนและจำนวนเงินที่จ่าย
• อุตุนิยมวิทยา: ปริมาณฝนสะสมในช่วงเวลาที่กำหนด
• วิศวกรรม: เวลาจนกว่าชิ้นส่วนจะชำรุด
• ทฤษฎีแถวคอย: เวลารอที่เกิดจากขั้นตอนแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลหลายขั้น
• ชีววิทยา: ระดับการแสดงออกของยีนและข้อมูลจำนวนชนิดพันธุ์

การแจกแจงที่เกี่ยวข้อง

การแจกแจงที่รู้จักกันดีสองชนิดเป็นกรณีเฉพาะของการแจกแจงแกมมา:

• การแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียล: การแจกแจงแกมมาที่มี k = 1
• การแจกแจงไคกำลังสอง: การแจกแจงแกมมาที่มี k = n/2 และ θ = 2 โดย n คือองศาอิสระ

การแจกแจงไวบูลและการแจกแจงล็อกนอร์มัลเป็นทางเลือกที่ใช้กันทั่วไปสำหรับจำลองข้อมูลที่เป็นบวกและมีความเบ้

คำถามที่พบบ่อย

การแจกแจงแกมมาใช้ทำอะไร ใช้จำลองปริมาณแบบต่อเนื่องที่เป็นบวก เช่น เวลารอ ปริมาณฝน และค่าสินไหมทดแทน โดยเฉพาะเมื่อข้อมูลเอนเอียงไปทางค่าขนาดใหญ่

หาค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแกมมาได้อย่างไร คูณพารามิเตอร์รูปร่างด้วยพารามิเตอร์มาตราส่วน: ค่าเฉลี่ย = k × θ สำหรับ k = 2 และ θ = 3 ค่าเฉลี่ยเท่ากับ 6

พารามิเตอร์รูปร่างกับพารามิเตอร์มาตราส่วนแตกต่างกันอย่างไร พารามิเตอร์รูปร่าง (k) ควบคุมรูปทรงของเส้นโค้ง รวมถึงความเบ้ ส่วนพารามิเตอร์มาตราส่วน (θ) จะยืดหรือบีบเส้นโค้งตามแกน x โดยไม่เปลี่ยนรูปทรงพื้นฐาน

การแจกแจงแกมมาเกี่ยวข้องกับการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลอย่างไร การแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลคือการแจกแจงแกมมาที่มีพารามิเตอร์รูปร่าง k = 1

การแจกแจงแกมมารับค่าลบได้หรือไม่ ไม่ได้ การแจกแจงนี้กำหนดไว้เฉพาะสำหรับ x > 0 เท่านั้น ข้อมูลที่อาจเป็นค่าลบได้ต้องใช้การแจกแจงอื่น เช่น การแจกแจงปกติ

เครื่องคำนวณนี้คำนวณฟังก์ชันการแจกแจงสะสมหรือไม่ ไม่ เครื่องคำนวณหาค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน ความเบ้ ความโด่ง และฐานนิยม และพล็อตฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น แต่ไม่แสดงค่าความน่าจะเป็นสะสม

เอกสารอ้างอิง

1. "Gamma distribution." Wikipedia, มูลนิธิวิกิมีเดีย https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, เล่ม 1. John Wiley & Sons.