เครื่องคำนวณสมการอาร์เรเนียส - ทำนายอัตราปฏิกิริยาอย่างรวดเร็ว

สมการอาร์เรเนียสคืออะไร?

สมการอาร์เรเนียสอธิบายว่าอัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมีเปลี่ยนแปลงตามอุณหภูมิอย่างไร นักวิทยาศาสตร์ชาวสวีเดน สวันเต อาร์เรเนียส เสนอสมการนี้ในปี 1889 นักเคมีใช้สมการนี้เพื่อทำนายว่าปฏิกิริยาจะเกิดเร็วขึ้นเพียงใดเมื่อให้ความร้อน หรือจะช้าลงเพียงใดเมื่อทำให้เย็นลง

สูตรสมการอาร์เรเนียส

$k = A \times e^{-E_a/RT}$

โดยที่:

• $k$ คือค่าคงที่อัตรา ซึ่งเป็นค่าที่ใช้วัดว่าปฏิกิริยาดำเนินไปเร็วเพียงใด
• $A$ คือแฟกเตอร์ก่อนเอ็กซ์โพเนนเชียล หรือเรียกอีกอย่างว่าแฟกเตอร์ความถี่ ค่านี้สะท้อนว่ามีการชนกันของโมเลกุลในลักษณะที่สามารถเกิดปฏิกิริยาได้บ่อยเพียงใด
• $E_a$ คือพลังงานก่อกัมมันต์ ซึ่งเป็นพลังงานขั้นต่ำที่โมเลกุลต้องมีเพื่อให้เกิดปฏิกิริยา โดยปกติระบุเป็นกิโลจูลต่อโมล (kJ/mol)
• $R$ คือค่าคงที่แก๊สสากล มีค่า 8.31446261815324 J/(mol·K) นับตั้งแต่การปรับปรุงระบบ SI ในปี 2019 ค่านี้เป็นค่าที่แน่นอน เพราะเป็นผลคูณของค่าคงที่ที่กำหนดไว้สองค่า
• $T$ คืออุณหภูมิสัมบูรณ์ในหน่วยเคลวิน

นักเคมีมักใช้สมการรูปแบบลอการิทึมเพื่อหาพลังงานก่อกัมมันต์จากข้อมูลในห้องปฏิบัติการ:

$\ln(k) = \ln(A) - \frac{E_a}{R} \times \frac{1}{T}$

เมื่อพล็อต ln(k) เทียบกับ 1/T จะได้เส้นตรง ความชันของเส้นดังกล่าวเท่ากับ $-E_a/R$ กราฟนี้เรียกว่ากราฟอาร์เรเนียส

วิธีคำนวณค่าคงที่อัตราการเกิดปฏิกิริยา

1. หาพลังงานก่อกัมมันต์ในหน่วย kJ/mol จากตารางอ้างอิงหรือจากการวัดในห้องปฏิบัติการที่อุณหภูมิหลายค่า
2. แปลงอุณหภูมิเป็นเคลวิน โดยบวก 273.15 กับค่าอุณหภูมิในหน่วยเซลเซียส
3. หาแฟกเตอร์ก่อนเอ็กซ์โพเนนเชียล ค่านี้มักเขียนในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เช่น 1.0 × 10¹³ s⁻¹
4. แปลงพลังงานก่อกัมมันต์เป็นจูลต่อโมลโดยคูณด้วย 1000 เพื่อให้หน่วยสอดคล้องกับค่าคงที่แก๊ส R
5. นำพลังงานก่อกัมมันต์ในหน่วย J/mol หารด้วยผลคูณของ R กับ T
6. ยก e กำลังค่าลบของผลลัพธ์นั้น แล้วคูณด้วย A

เครื่องคำนวณนี้ดำเนินการขั้นตอนที่ 4 ถึง 6 โดยอัตโนมัติ ป้อนพลังงานก่อกัมมันต์ อุณหภูมิ และแฟกเตอร์ก่อนเอ็กซ์โพเนนเชียล แล้วเครื่องจะแสดงค่าคงที่อัตรา k

ค่าป้อนเข้าทั้งสามค่าต้องมากกว่าศูนย์ ดังนั้นเครื่องคำนวณจะไม่แสดงคำตอบเมื่อป้อนค่าเป็นศูนย์หรือติดลบ คำตอบจะแสดงในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ที่มีเลขนัยสำคัญห้าหลัก เมื่อใช้ค่าเริ่มต้น 50 kJ/mol, 298 K และ 1.0 × 10¹³ s⁻¹ ผลลัพธ์คือ 1.7217 × 10⁴ s⁻¹

ตัวอย่างการคำนวณ

พิจารณาปฏิกิริยาที่มีพลังงานก่อกัมมันต์ 75 kJ/mol เกิดขึ้นที่ 350 K และมีแฟกเตอร์ก่อนเอ็กซ์โพเนนเชียลเท่ากับ 5.0 × 10¹² s⁻¹

ขั้นแรก แปลงพลังงานก่อกัมมันต์เป็นจูลต่อโมล: 75 kJ/mol เท่ากับ 75,000 J/mol

$k = 5.0 \times 10^{12} \times e^{-75{,}000/(8.31446261815324 \times 350)}$

ผลคูณของ R กับ T เท่ากับ 2910.06 J/mol ดังนั้นเลขชี้กำลังจึงมีค่า -25.7726

$k = 5.0 \times 10^{12} \times e^{-25.7726}$

$k = 5.0 \times 10^{12} \times 6.4133 \times 10^{-12}$

$k \approx 32.07 \text{ s}^{-1}$

ค่าคงที่อัตรามีค่าประมาณ 32.07 s⁻¹ ที่ 350 K เครื่องคำนวณจะแสดงค่าเป็น 3.2066 × 10¹

การปัดเศษเลขชี้กำลังเร็วเกินไปทำให้คำตอบเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลมีความชันสูง ดังนั้นการลดค่า -25.7726 เหลือ -25.77 ก็ทำให้ k เปลี่ยนไปประมาณ 0.3% แล้ว

เหตุใดอุณหภูมิจึงเปลี่ยนอัตราการเกิดปฏิกิริยา

โมเลกุลต้องชนกันด้วยพลังงานที่เพียงพอจึงจะเกิดปฏิกิริยาได้ ที่อุณหภูมิใดก็ตาม จะมีโมเลกุลเพียงบางส่วนที่มีพลังงานมากพอ พจน์เอ็กซ์โพเนนเชียล $e^{-E_a/RT}$ ในสมการแทนสัดส่วนดังกล่าว

การเพิ่มอุณหภูมิทำให้มีโมเลกุลจำนวนมากขึ้นที่มีพลังงานเพียงพอจะเกิดปฏิกิริยา สัดส่วนดังกล่าวจึงเพิ่มขึ้นและปฏิกิริยาเกิดเร็วขึ้น เนื่องจากความสัมพันธ์นี้เป็นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ไม่ใช่เส้นตรง แม้อุณหภูมิจะเพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อยก็อาจทำให้อัตราเพิ่มขึ้นอย่างเห็นได้ชัด โดยเฉพาะปฏิกิริยาที่มีพลังงานก่อกัมมันต์สูง ผลเช่นเดียวกันนี้อธิบายว่าเหตุใดการแช่เย็นอาหาร เช่น ในตู้เย็น จึงทำให้ปฏิกิริยาที่ก่อให้เกิดการเน่าเสียช้าลง

การใช้สมการอาร์เรเนียส

• วิศวกรรมเคมี วิศวกรใช้สมการนี้เพื่อเลือกอุณหภูมิใช้งานสำหรับเครื่องปฏิกรณ์อุตสาหกรรม
• เภสัชภัณฑ์ ผู้ผลิตยาจะเก็บตัวอย่างไว้ที่อุณหภูมิสูงเป็นเวลาสั้น ๆ วัดความเร็วในการสลายตัว แล้วใช้สมการนี้ประมาณอายุการเก็บรักษาที่อุณหภูมิปกติ
• วิทยาศาสตร์การอาหาร สมการนี้อธิบายว่าเหตุใดอาหารอุ่นจึงเน่าเสียเร็วกว่าอาหารแช่เย็น และใช้กำหนดเวลาและอุณหภูมิในการพาสเจอไรซ์
• วัสดุศาสตร์ สมการนี้ช่วยทำนายว่าพลาสติก สารเคลือบ และชิ้นส่วนอิเล็กทรอนิกส์จะเสื่อมสภาพเร็วเพียงใดที่อุณหภูมิใช้งาน
• วิทยาศาสตร์โลก นักวิทยาศาสตร์ด้านดินใช้สมการนี้สร้างแบบจำลองว่าภาวะโลกร้อนเปลี่ยนอัตราที่จุลินทรีย์ปล่อยคาร์บอนไดออกไซด์จากดินอย่างไร

ประวัติ

สวันเต อาร์เรเนียส (1859–1927) เสนอสมการนี้ในปี 1889 ขณะศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างอัตราการเกิดปฏิกิริยากับอุณหภูมิ เขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาเคมีในปี 1903 โดยส่วนใหญ่จากทฤษฎีการแตกตัวด้วยไฟฟ้า ในช่วงทศวรรษ 1930 เฮนรี ไอริง และไมเคิล โพลานีได้พัฒนาทฤษฎีสถานะทรานซิชัน ซึ่งให้พื้นฐานทางทฤษฎีที่ชัดเจนยิ่งขึ้นแก่พจน์เอ็กซ์โพเนนเชียลในสมการของอาร์เรเนียส

ข้อจำกัดของสมการอาร์เรเนียส

สมการนี้สอดคล้องกับปฏิกิริยาอย่างง่ายหลายชนิดในช่วงอุณหภูมิปานกลางได้ดี แต่ไม่ได้ใช้ได้กับทุกกรณี:

• ปฏิกิริยาที่มีเอนไซม์เป็นตัวเร่งจะช้าลงที่อุณหภูมิสูง เพราะเอนไซม์เสียสภาพ ดังนั้นอัตราจึงไม่เพิ่มขึ้นต่อไปตามที่สมการทำนาย
• ปฏิกิริยาที่ถูกจำกัดด้วยความเร็วที่โมเลกุลแพร่เข้าหากันจะแสดงการพึ่งพาอุณหภูมิอ่อนกว่าที่สมการทำนาย
• ปฏิกิริยาที่เกี่ยวข้องกับอะตอมเบา โดยเฉพาะไฮโดรเจน อาจเกิดเร็วเกินกว่าที่ทำนายที่อุณหภูมิต่ำ เนื่องจากการลอดผ่านอุโมงค์เชิงควอนตัม

กราฟของ ln(k) เทียบกับ 1/T ที่โค้งแทนที่จะเป็นเส้นตรง เป็นสัญญาณว่าปฏิกิริยาไม่เป็นไปตามสมการอาร์เรเนียสในช่วงอุณหภูมินั้น

คำถามที่พบบ่อย

สมการอาร์เรเนียสใช้หน่วยอะไร?

พลังงานก่อกัมมันต์ป้อนเป็น kJ/mol และแปลงเป็น J/mol ภายในเครื่องคำนวณ อุณหภูมิใช้หน่วยเคลวิน และค่าคงที่แก๊สสากล R เท่ากับ 8.31446261815324 J/(mol·K) แฟกเตอร์ก่อนเอ็กซ์โพเนนเชียล A และค่าคงที่อัตรา k จะมีหน่วยเดียวกันเสมอ เครื่องคำนวณระบุหน่วยของคำตอบเป็น s⁻¹ ซึ่งถูกต้องสำหรับปฏิกิริยาอันดับหนึ่ง สำหรับปฏิกิริยาอันดับอื่น k จะมีหน่วยใดก็ตามที่กำหนดให้ A

เหตุใดอุณหภูมิต้องเป็นเคลวิน ไม่ใช่เซลเซียส?

สมการนี้มาจากการแจกแจงโบลท์ซมันน์ ซึ่งวัดพลังงานโดยอ้างอิงจากศูนย์สัมบูรณ์ เคลวินเริ่มต้นที่ศูนย์สัมบูรณ์ จึงให้สัดส่วนระหว่างพลังงานกับอุณหภูมิที่มีความหมาย การใช้เซลเซียสจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง

แฟกเตอร์ก่อนเอ็กซ์โพเนนเชียลแทนอะไร?

ค่านี้แทนค่าคงที่อัตราเชิงทฤษฎีสูงสุด หรือค่าที่ k จะมีหากการชนกันของโมเลกุลทุกครั้งมีพลังงานเพียงพอให้เกิดปฏิกิริยา นอกจากนี้ยังคำนึงถึงความถี่ที่โมเลกุลชนกันและการที่โมเลกุลเรียงตัวถูกต้องขณะชนกัน

หาพลังงานก่อกัมมันต์จากข้อมูลการทดลองได้อย่างไร?

โดยวัดค่าคงที่อัตราที่อุณหภูมิหลายค่า พล็อต ln(k) เทียบกับ 1/T แล้วอ่านค่าความชันของเส้นที่ได้ พลังงานก่อกัมมันต์เท่ากับความชันคูณด้วย −R

ค่าคงที่อัตราเหมือนกับอัตราการเกิดปฏิกิริยาหรือไม่?

ไม่เหมือนกัน ค่าคงที่อัตรา k ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิและตัวปฏิกิริยาเท่านั้น อัตราการเกิดปฏิกิริยายังขึ้นอยู่กับความเข้มข้นของสารตั้งต้นด้วย สำหรับปฏิกิริยาอันดับหนึ่ง อัตราการเกิดปฏิกิริยาเท่ากับ k คูณด้วยความเข้มข้นของสารตั้งต้น เมื่อเปรียบเทียบปฏิกิริยาอันดับเดียวกันสองปฏิกิริยาที่มีความเข้มข้นเท่ากัน ปฏิกิริยาที่มีค่า k มากกว่าจะเกิดเร็วกว่า

สมการอาร์เรเนียสทำนายอัตราการเกิดปฏิกิริยาที่อุณหภูมิใดก็ได้หรือไม่?

ได้เฉพาะในช่วงที่กลไกปฏิกิริยายังคงเหมือนเดิม การคาดคะเนนอกช่วงอุณหภูมิที่ใช้วัด Ea และ A มากเกินไปอาจให้ผลลัพธ์ไม่แม่นยำ เนื่องจากกลไกหรือขั้นตอนจำกัดอัตราอาจเปลี่ยนแปลง