เครื่องคำนวณโค้งแนวดิ่ง - เครื่องมือออกแบบถนนและทางหลวง

เครื่องคำนวณโค้งดิ่งคืออะไร?

เครื่องคำนวณโค้งดิ่งใช้หาระดับ ค่าความโค้ง K และจุดสำคัญของโค้งดิ่ง ซึ่งเป็นโค้งพาราโบลาที่วิศวกรใช้เชื่อมความลาดถนนสองช่วงให้ต่อเนื่องอย่างราบรื่น แทนที่ถนนจะมาบรรจบกันเป็นมุมแหลมที่ความลาดเปลี่ยน โค้งดิ่งจะผสานความลาดทั้งสองให้เป็นโค้งต่อเนื่องเส้นเดียว ทำให้การเดินทางนุ่มนวลขึ้น ช่วยให้ผู้ขับขี่มองเห็นถนนข้างหน้าได้ไกลพอที่จะหยุดรถอย่างปลอดภัย และช่วยระบายน้ำได้อย่างเหมาะสม

วิศวกรใช้โค้งดิ่งในการออกแบบทางหลวง ถนน ทางรถไฟ ทางวิ่งสนามบิน และพื้นที่ปรับระดับ เช่น ลานจอดรถ ทุกบริเวณที่ถนนหรือทางวิ่งต้องเปลี่ยนความลาด โค้งดิ่งจะทำหน้าที่เปลี่ยนผ่านดังกล่าว

โค้งหงอนและโค้งแอ่ง

โค้งดิ่งมีสองประเภท โดยพิจารณาจากการเปรียบเทียบความลาดก่อนและหลังโค้ง ความลาดเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์: ความลาด 3% จะสูงขึ้น 3 เมตร ต่อระยะทาง 100 เมตร

• โค้งหงอน: ความลาดเริ่มต้นมากกว่าความลาดสุดท้าย (g₁ > g₂) ถนนจะไต่ขึ้น ข้ามจุดสูง แล้วลาดลง คล้ายการข้ามยอดเนิน
• โค้งแอ่ง: ความลาดเริ่มต้นน้อยกว่าความลาดสุดท้าย (g₁ < g₂) ถนนจะลาดลง ผ่านจุดต่ำ แล้วไต่ขึ้น คล้ายก้นแอ่ง
• หากความลาดทั้งสองเท่ากัน ก็ไม่จำเป็นต้องมีโค้ง ถนนเป็นเส้นตรงอยู่แล้ว

โค้งหงอนมีความสำคัญมากที่สุดต่อระยะมองเห็นเพื่อหยุดรถ เพราะผู้ขับขี่ต้องมองเห็นถนนข้างหน้าได้ไกลพอที่จะหยุดรถก่อนชนสิ่งกีดขวาง ส่วนโค้งแอ่งมีความสำคัญมากที่สุดต่อระยะมองเห็นด้วยแสงไฟหน้าในเวลากลางคืนและการระบายน้ำ เนื่องจากน้ำจะไหลมารวมกันที่จุดต่ำ

คำศัพท์สำคัญ

• PVI (จุดตัดแนวดิ่ง): จุดที่แนวเส้นตรงของความลาดทั้งสองจะมาบรรจบกัน หากไม่มีโค้ง
• PVC (จุดเริ่มโค้งดิ่ง): จุดที่โค้งเริ่มต้น
• PVT (จุดสัมผัสแนวดิ่ง): จุดที่โค้งสิ้นสุด
• ค่าความโค้ง K: ความยาวโค้งหารด้วยการเปลี่ยนแปลงความลาด ใช้วัดว่าโค้งเปลี่ยนแปลงอย่างค่อยเป็นค่อยไปเพียงใด
• สถานี: ค่าระยะทางตามแนวเส้นกึ่งกลางถนน ซึ่งใช้แทนพิกัดทั่วไป ในเครื่องคำนวณนี้ สถานีและระดับต่างป้อนเป็นหน่วยเมตร

โดยปกติโค้งจะสมมาตร: PVC อยู่ก่อน PVI เป็นระยะครึ่งหนึ่งของความยาวโค้ง และ PVT อยู่หลัง PVI เป็นระยะครึ่งหนึ่งของความยาวโค้ง

สูตรโค้งดิ่ง

ระดับที่จุดใด ๆ บนโค้งเป็นไปตามสมการกำลังสอง (พาราโบลา):

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = ระดับที่ระยะทาง $x$ จาก PVC
• $y_{PVC}$ = ระดับที่ PVC
• $g_1$ = ความลาดเริ่มต้นในรูปทศนิยม (ความลาด 3% เท่ากับ 0.03)
• $A$ = ผลต่างเชิงพีชคณิตของความลาด $g_2 - g_1$ (รูปทศนิยม)
• $L$ = ความยาวโค้ง

สูตรค่าความโค้ง K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

$g_1$ และ $g_2$ ในที่นี้เป็นเปอร์เซ็นต์ ค่า K ที่มากกว่าหมายถึงโค้งที่แบนและค่อย ๆ เปลี่ยนแปลงมากกว่า คู่มือการออกแบบ เช่น คู่มือ “นโยบายว่าด้วยการออกแบบเชิงเรขาคณิตของทางหลวงและถนน” ของ AASHTO กำหนดค่าความโค้ง K ขั้นต่ำสำหรับทางหลวง โดยพิจารณาจากความเร็วออกแบบและว่าเป็นโค้งหงอนหรือโค้งแอ่ง

หาก $g_1$ เท่ากับ $g_2$ การเปลี่ยนแปลงความลาดเป็นศูนย์ และค่า K ไม่ได้กำหนดไว้ เครื่องคำนวณจะแสดงขีดแทนค่าความโค้ง K ความลาดที่ต่างกันน้อยกว่า 0.0001% ให้ถือว่าเท่ากัน

PVC และ PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

($g_1$ และ $g_2$ ในที่นี้เป็นเปอร์เซ็นต์ การหารด้วย 200 จะแปลงเปอร์เซ็นต์เป็นทศนิยมและนำไปใช้กับครึ่งหนึ่งของความยาวโค้ง)

จุดสูงหรือจุดต่ำ

จุดสูง (โค้งหงอน) หรือจุดต่ำ (โค้งแอ่ง) จะอยู่บนโค้งเมื่อความลาดทั้งสองมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน หรือเมื่อความลาดหนึ่งมีค่าเป็นศูนย์พอดี ระยะจาก PVC คือ:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

บวก $x$ เข้ากับสถานี PVC เพื่อหาสถานีของจุดสูงหรือจุดต่ำ จากนั้นใช้สูตรระดับด้านบนเพื่อหาระดับของจุดนั้น หากความลาดทั้งสองมีเครื่องหมายเดียวกัน จุดนี้จะอยู่นอกช่วงจาก PVC ถึง PVT ถนนจึงยังคงสูงขึ้นหรือลดลงตลอดทั้งโค้ง และเครื่องคำนวณจะแจ้งว่าไม่มีจุดสูงหรือจุดต่ำ เมื่อความลาดหนึ่งเป็นศูนย์ จุดดังกล่าวจะอยู่ตรง PVC หรือ PVT พอดี

วิธีคำนวณโค้งดิ่ง

1. ป้อนความลาดเริ่มต้นและความลาดสุดท้าย เป็นเปอร์เซ็นต์ ใช้จำนวนบวกสำหรับความลาดขึ้น และจำนวนลบสำหรับความลาดลง
2. ป้อนความยาวโค้ง เป็นเมตร
3. ป้อนสถานี PVI และระดับ PVI โดยทั้งสองค่าเป็นเมตร
4. อ่าน ประเภทโค้ง (โค้งหงอน โค้งแอ่ง หรือไม่มีประเภทใด) ค่าความโค้ง K และสถานีรวมถึงระดับของ PVC และ PVT
5. หากความลาดมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน หรือความลาดหนึ่งมีค่าเป็นศูนย์ เครื่องคำนวณจะแจ้ง จุดสูงหรือจุดต่ำ ด้วย
6. หากต้องการหาระดับที่จุดอื่น ให้ป้อน สถานีที่ต้องการตรวจสอบ หากสถานีนั้นอยู่นอกโค้ง เครื่องคำนวณจะแจ้งให้ทราบแทนการแสดงตัวเลข เนื่องจากสูตรใช้ได้เฉพาะระหว่าง PVC กับ PVT

ตัวอย่างการคำนวณ: โค้งหงอน

ถนนไต่ขึ้นด้วยความลาด 3% แล้วลาดลงด้วยความลาด -2% PVI อยู่ที่สถานี 1000.00 ม. และมีระดับ 150.00 ม. ความยาวโค้งเท่ากับ 400 ม.

ค่าความโค้ง K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: สถานี $= 1000 - 400/2 = 800.00$ เมตร; ระดับ $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ เมตร

PVT: สถานี $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ เมตร; ระดับ $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ เมตร

จุดสูง: เนื่องจาก 3 และ −2 มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน จึงมีจุดสูง $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ เมตรจาก PVC ดังนั้นสถานีของจุดนี้คือ $800 + 240 = 1040.00$ เมตร ระดับของจุดนี้คือ $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ เมตร

ตัวอย่างการคำนวณ: โค้งแอ่ง

ถนนลาดลงด้วยความลาด -3% แล้วไต่ขึ้นด้วยความลาด 2% PVI อยู่ที่สถานี 500.00 ม. มีระดับ 85.00 ม. ความยาวโค้งเท่ากับ 200 ม.

ค่าความโค้ง K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: สถานี $= 400.00$ เมตร; ระดับ $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ เมตร

PVT: สถานี $= 600.00$ เมตร; ระดับ $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ เมตร

จุดต่ำ: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ เมตรจาก PVC ดังนั้นสถานีของจุดนี้คือ $400 + 120 = 520.00$ เมตร ระดับของจุดนี้คือ $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ เมตร

จุดต่ำนี้เป็นบริเวณที่น้ำผิวดินไหลมารวมกัน ดังนั้นผู้ออกแบบจึงวางช่องรับน้ำไว้ที่นี่ ไม่ใช่ที่ PVI

คำถามที่พบบ่อย

ค่าความโค้ง K ในการออกแบบโค้งดิ่งคืออะไร ค่าความโค้ง K คือความยาวโค้งหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างความลาดทั้งสอง แสดงว่าต้องใช้ความยาวโค้งกี่เมตรต่อการเปลี่ยนแปลงความลาด 1% ค่า K ที่สูงกว่าหมายถึงโค้งที่แบนและค่อย ๆ เปลี่ยนแปลงมากกว่า

จะทราบได้อย่างไรว่าต้องใช้โค้งหงอนหรือโค้งแอ่ง เปรียบเทียบความลาดทั้งสอง หากความลาดเริ่มต้นมากกว่าความลาดสุดท้าย จะเป็นโค้งหงอน หากความลาดเริ่มต้นน้อยกว่าความลาดสุดท้าย จะเป็นโค้งแอ่ง หากความลาดเท่ากันก็ไม่ต้องมีโค้ง

จะเกิดอะไรขึ้นหากความลาดเริ่มต้นและความลาดสุดท้ายเท่ากัน ไม่จำเป็นต้องมีโค้งดิ่ง เนื่องจากถนนเป็นเส้นตรงอยู่แล้ว ค่า K ไม่ได้กำหนดไว้ เพราะต้องหารด้วยการเปลี่ยนแปลงความลาดที่เป็นศูนย์ ดังนั้นเครื่องคำนวณจึงแสดงขีดแทนตัวเลข

จะหาจุดสูงหรือจุดต่ำของโค้งได้อย่างไร จุดดังกล่าวจะมีอยู่เมื่อความลาดทั้งสองมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน หรือเมื่อความลาดหนึ่งมีค่าเป็นศูนย์ ระยะจาก PVC คือ $g_1 L / (g_1 - g_2)$ บวกค่านี้เข้ากับสถานี PVC เพื่อหาตำแหน่ง จากนั้นใช้สูตรระดับของโค้งเพื่อหาระดับ ความลาดที่มีเครื่องหมายเดียวกันจะทำให้จุดนี้อยู่นอกโค้ง จึงไม่มีจุดดังกล่าว

เหตุใดจุดต่ำของโค้งแอ่งจึงมีความสำคัญต่อการระบายน้ำ น้ำที่ไหลลงจากทั้งสองด้านของแอ่งจะมารวมกันที่จุดต่ำ หากวางช่องรับน้ำไว้ที่ PVI แทนจุดต่ำจริง น้ำอาจขังบนถนนได้ เนื่องจากสองจุดนี้แทบไม่เคยอยู่ตำแหน่งเดียวกัน

สถานีที่ต้องการตรวจสอบสามารถอยู่นอกโค้งได้หรือไม่ ได้ สูตรระดับใช้ได้เฉพาะระหว่าง PVC กับ PVT สถานีที่อยู่นอกช่วงดังกล่าวจึงไม่มีระดับที่กำหนดบนโค้ง และเครื่องคำนวณจะแจ้งว่าสถานีนั้นอยู่นอกโค้ง