İçeriğe geç
🛠️
Whiz Tools

Birim Çember Hesaplayıcı: Tam Sinüs, Kosinüs ve Tanjant

Derece veya radyan cinsinden bir açı girerek birim çember üzerindeki noktasını, sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını, referans açısını ve bulunduğu bölgeyi bulun. Standart açıların tam değerleri.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Yükleme hesaplayıcısı...
📚

Belgeler

Birim Çember Hesaplayıcısı

Birim çember, bir grafiğin orijini etrafına çizilen, yarıçapı 1 olan çemberdir. Birim çember hesaplayıcısı bir açı girer ve bu açının çember üzerindeki karşılığını bildirir: (x, y) noktası, sinüs, kosinüs ve tanjant, referans açı ve bölge. Bu sayfa açıyı derece veya radyan cinsinden okur ve on altı standart açıda √3/2 gibi kesin değerler verir.

Hesap makinesi ne yapar

Kullanıcı bir açı yazar ve derece veya radyan seçer. Sayfa şunları verir:

  • açının çemberi kestiği (x, y) noktası
  • cos θ, sin θ ve tan θ
  • derece ve radyan cinsinden referans açı
  • bölge veya açı bir eksen üzerine denk geliyorsa eksen
  • açının her iki birimdeki değeri ve tek dönüş içine katlanmış aynı açı

On altı standart açıda yanıtlar, altlarında ondalık gösterimleriyle birlikte kesin kapalı biçimler olarak yazdırılır. Diğer açılar sekiz anlamlı basamağa kadar gösterilir. Yalnızca görüntü yuvarlanır.

Birim çember formülü

Açılar, pozitif x ekseninden saat yönünün tersine doğru ölçülür. θ açısında çizilen ışın çemberi bir noktada keser ve bu noktanın iki koordinatı kosinüs ile sinüstür:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

burada xx yatay koordinat, yy dikey koordinat ve θ\theta açıdır.

Yarıçap 1 olduğundan koordinatlar ile iki fonksiyon değeri, iki farklı ad altında aynı sayı çiftidir. Çemberin başka bir boyut yerine yarıçapı 1 olacak şekilde çizilmesinin nedeni budur. Tanjant da aynı sayı çifti kullanılarak oluşturulur:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Çember üzerindeki her nokta, xx ve yy kenarları ile 1 hipotenüsünden oluşan dik üçgene Pisagor teoremi uygulandığında bu teoremi de sağlar:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Derece ve radyan

Sayfa her iki birimi de kabul eder ve ikisini de bildirir. Bu ikisi, yarım dönüşün π radyan olmasıyla ilişkilidir:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ burada $\theta_{\mathrm{deg}}$ derece cinsinden açıyı, $\theta_{\mathrm{rad}}$ ise aynı açının radyan cinsinden değerini gösterir. ### Tek dönüş içine katlama Bir açı negatif olabilir ve tam bir dönüşü aşabilir. Çember üzerindeki nokta her 360°'de yinelenir; bu nedenle sayfa önce açıyı 0° ile 360° arasında, üst sınır dahil olmayacak şekilde katlar: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ burada $\theta$ yazılan açının derece cinsinden değeri, $\theta_0$ ise aynı yönün tek dönüş içindeki gösterimidir. 750° açısı 30°'ye, −30° açısı 330°'ye katlanır. Katlama derece cinsinden yapılır; kalan işleminde yuvarlama yapılmaz. ### Referans açı ve bölge Referans açı, ışın ile x ekseni arasında kalan dar açıdır. Hiçbir zaman 90°'den büyük değildir: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{aksi durumda} \end{cases}$$ burada $\theta_0$ derece cinsinden katlanmış açıdır. Sinüs, kosinüs ve tanjantın büyüklüğü yalnızca referans açıya bağlıdır. İşaretleri bölge belirler. | Bölge | Katlanmış açı | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° ile 90° arası | + | + | + | | II | 90° ile 180° arası | − | + | − | | III | 180° ile 270° arası | − | − | + | | IV | 270° ile 360° arası | + | − | − | 0°, 90°, 180° ve 270° açıları bir eksen üzerinde bulunur. Bölge, iki eksen arasındaki açık alandır; bu nedenle bu dört açıdan hiçbiri bir bölgenin içinde değildir ve sayfa komşu bir bölge seçmek yerine ekseni adlandırır. ### On altı standart açı Beş referans açı kesin kapalı biçimlere sahiptir. | Referans açı | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | tanımsız | Bu satırların diğer üç bölgeye yansıtılmasıyla on altı açı elde edilir: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 ve 330 derece. Sayfa bunları tabloyu dört kez yeniden yazmak yerine birinci bölgedeki noktaları her seferinde çeyrek dönüş döndürerek oluşturur; çünkü yanlış işaret genellikle yeniden yazım sırasında ortaya çıkar. 15°, 75° ve 105° açıların da kapalı biçimleri vardır, ancak 2 − √3 gibi iki terimli biçimlerdir. Bu açılar bu ailenin dışında kaldığından sonuçlar ondalık olarak verilir. 15° için cos 0,96592583, sin 0,25881905 ve tan 0,26794919 elde edilir. ### Örnek: 210 derece 210°, 180°'den büyük ve 270°'den küçük olduğundan III. bölgeye düşer. 180° çıkarıldığında geriye 30°'lik bir referans açı kalır. Referans açı 30° olduğunda üç büyüklük √3/2, 1/2 ve √3/3 olur. III. bölge her iki koordinatı da negatif yapar; dolayısıyla nokta (−√3/2, −1/2) olur. Tanjant, negatif bir sayının negatif bir sayıya bölümü olduğundan √3/3 değerinde pozitif kalır. Radyan cinsinden açı 7π/6 ve referans açı π/6 olur. Sayfa ondalık olarak cos −0,8660254, sin −0,5 ve tan 0,57735027 değerlerini gösterir. 570° ve −150° aynı sonuçları verir; çünkü ikisi de 210°'ye katlanır. ### Hangi sabitler kesindir? | Sabit | Değer | Kesin mi? | Kaynak | |---|---|---|---| | Bir dönüşteki dereceler | 360 | tanım gereği tam | ISO 80000-3 | | Bir turdaki radyan sayısı | 2π | tanım gereği tam | ISO 80000-3; SI Broşürü | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | kesin | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | kesin | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | kesin | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | tanımsız | kesin değer, bir kutup | NIST DLMF §4,15 | π irrasyoneldir; bu nedenle kesin bir ondalık veya ikili gösterimi yoktur ve saklanan her π değeri yuvarlanmıştır. Sayfa bu yuvarlamanın sonuçlara yansımasını iki şekilde önler. Katlama, 360 sayısının kalansız böldüğü derecelerle yapılır. Standart açılar da kayan noktalı bir sinüs değerinden değil, yukarıdaki kapalı biçimler tablosundan okunur. ### Radyan cinsinden yazılan bir açıyı okuma Radyan olarak girilen değer zaten yuvarlanmış bir ondalık sayıdır. π/2, 1,5707963267948966 olarak yazılır ve bunun geriye dönüştürülmesi, tam olarak 90° yerine 90°'den yaklaşık trilyonda bir derece uzaklıkta bir açı verir. Bu nedenle sayfa, standart bir açıdan derece cinsinden milyonda birden daha az uzaklıktaki her açıyı o standart açı olarak okur. Tolerans hangi tablonun kullanılacağını seçer; yanıtı hiçbir zaman genişletmez. 30,001° değeri 30° olmaz. Bir milyar derecenin üzerindeki açılar reddedilir. Bu, geometrinin değil aritmetiğin sınırıdır: bir bilgisayarın saklayabildiği sayılar arasındaki aralık, sayılar büyüdükçe artar ve yaklaşık dört buçuk milyar dereceden sonra bu aralık, derece cinsinden milyonda bir toleranstan daha geniş olur; dolayısıyla katlama, bir açıyı adlandırmak için yeterli ayrıntıyı koruyamaz. Bir milyar derece, bu noktanın altında bir pay bırakır. ### Sık sorulan sorular **Birim çember ne için kullanılır?** Sinüs ve kosinüsü koordinatlara dönüştürür. Çember üzerindeki tek bir noktayı okumak her iki değeri aynı anda verir; şekil de bunların neden her tam dönüşte yinelendiğini ve işaretlerinin neden bir bölgeden diğerine değiştiğini gösterir. **sin 30° değerinin kesin biçimi nedir?** Bir bölü iki. cos 30° değeri √3/2, yaklaşık 0,8660254; tan 30° değeri ise √3/3, yaklaşık 0,57735027'dir. **tan 90° neden tanımsızdır?** Tanjant, sinüsün kosinüse bölümüdür ve cos 90° değeri 0'dır. Sıfıra bölmenin sonucu yoktur. Sayfa kutbu, hesaplanan tanjantın büyük dönüp dönmediğini kontrol ederek değil, açıyı adlandırarak bulur; çünkü 90°'den hemen önceki dik bir tanjant sıradan bir sayıdır. **Referans açı nedir?** Işın ile x ekseni arasındaki dar açıdır; bu nedenle her zaman 0° ile 90° arasında bulunur. 150°, 210° ve 330° açılarının tümü 30° referans açısına sahiptir; bu nedenle sinüs ve kosinüsleri aynı üç büyüklüğü paylaşır, yalnızca işaretleri farklıdır. **Negatif bir açı çalışır mı?** Evet. Negatif açı saat yönünde döner. −30° ile 330° aynı yönü gösterir; bu nedenle sayfa (√3/2, −1/2) noktasını ve IV. bölgeyi verir. **Sayfa açıyı neden iki kez gösterir?** 750° ve 30° çemberi aynı noktada keser, ancak aynı dönüş değildir. Sayfa açıyı yazıldığı biçimiyle tekrar gösterir, diğer birime dönüştürür ve katlanmış açıyı yanında sunar.