Калькулятор біноміального розподілу

Що таке калькулятор біноміального розподілу?

Калькулятор біноміального розподілу визначає ймовірність отримання точної кількості успішних результатів у фіксованій кількості незалежних випробувань, якщо кожне випробування має однакову ймовірність успіху. Його використовують у статистиці, контролі якості, медицині та будь-якій галузі, що вивчає повторювані події з відповідями «так» або «ні».

Основна ідея — біноміальний розподіл, імовірнісна модель для підрахунку успіхів у повторюваних випробуваннях, кожне з яких має лише два результати, зазвичай називані успіхом і невдачею.

Формула біноміального розподілу

Ймовірність отримати рівно k успіхів у n випробуваннях дорівнює:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Кожен символ означає:

n — кількість випробувань.
k — кількість успіхів, для якої потрібно визначити ймовірність.
p — ймовірність успіху в одному випробуванні, число від 0 до 1.
$\binom{n}{k}$ — біноміальний коефіцієнт, тобто кількість різних способів вибрати k успіхів із n випробувань. Він дорівнює $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

Усі випробування мають бути незалежними, тобто результат одного випробування не змінює ймовірність результату іншого, а ймовірність успіху p має залишатися однаковою в усіх випробуваннях. Одне випробування з двома можливими результатами, наприклад одне підкидання монети, називається випробуванням Бернуллі. Біноміальний розподіл отримують, підсумовуючи n випробувань Бернуллі.

Як обчислити біноміальну ймовірність

Запишіть n, k і p.
Обчисліть біноміальний коефіцієнт $\binom{n}{k}$ — кількість способів розташувати k успіхів серед n випробувань.
Піднесіть p до степеня k.
Піднесіть (1 − p) до степеня (n − k).
Перемножте три числа.

Калькулятор на цій сторінці автоматично виконує ці кроки. Введіть n, p і k, і він поверне P(X = k), а також стовпчикову діаграму, що показує ймовірність кожного можливого результату — від 0 до n успіхів.

Приклад обчислення

Приклад 1: підкидання монети

Чесну монету підкидають 10 разів. Яка ймовірність отримати рівно 3 орли?

n = 10, p = 0,5, k = 3
$\binom{10}{3} = 120$
$0.5^3 = 0.125$
$0.5^{7} = 0.0078125$
Результат: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, або приблизно 11,72%

Приклад 2: контроль якості

Фабрика перевіряє 100 виробів. Імовірність дефекту кожного виробу становить 2%. Яка ймовірність, що жоден із 100 виробів не буде дефектним?

n = 100, p = 0,02, k = 0
Оскільки k = 0, формула спрощується до $(1-p)^n = 0.98^{100}$
Результат: ≈ 0,1326, або приблизно 13,26%

Приклад 3: тестування на захворювання

У місті перевіряють 1 000 людей на захворювання, яке уражає 0,1% населення (p = 0,001). Яка ймовірність, що рівно 5 із 1 000 людей будуть інфіковані?

n = 1000, p = 0,001, k = 5
$\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
$0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
$0.999^{995} \approx 0.3695$
Результат: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, або приблизно 0,30% (точне значення 0,0030488, тобто 0,30488%)

Середнє значення та дисперсія

Для біноміального розподілу з параметрами n і p:

Середнє значення (математичне сподівання): E(X) = np
Дисперсія: Var(X) = np(1 − p)
Стандартне відхилення: σ = √[np(1 − p)]

Середнє значення показує середню кількість очікуваних успіхів у разі багаторазового повторення. У прикладі 1 середнє значення дорівнює 10 × 0,5 = 5 орлів.

Які значення приймає калькулятор

n має бути цілим числом 1 або більшим. Десяткове значення округлюється до найближчої цілої кількості випробувань, тому 10,9 вважається значенням 11.
p має бути в межах від 0 до 1 включно.
k має бути цілим числом 0 або більшим і не може перевищувати n. Отримати 8 успіхів у 5 випробуваннях неможливо, тому калькулятор повідомляє про помилку, а не повертає число.

Якщо будь-яке поле залишити порожнім, калькулятор не показує ні результату, ні діаграми, замість того щоб вгадувати значення.

Коли застосовується біноміальний розподіл

Біноміальний розподіл підходить лише тоді, коли виконуються всі чотири умови:

Кількість випробувань n заздалегідь фіксована.
Кожне випробування має лише два результати: успіх або невдача.
Імовірність успіху p однакова в кожному випробуванні.
Випробування є незалежними одне від одного.

Витягування карт із колоди без повернення порушує умову незалежності, оскільки вилучення карти змінює ймовірність для наступного витягування. У такій ситуації слід застосовувати гіпергеометричний розподіл.

Пов’язані розподіли

Розподіл Пуассона: використовується для наближення біноміального розподілу, коли n велике, а p мале, тому середня кількість успіхів (np) залишається помірною. Його часто застосовують для моделювання рідкісних подій, як-от випадку захворювання у прикладі 3.
Нормальний розподіл: за великого n і коли p не надто близька до 0 або 1 біноміальний розподіл має приблизно дзвоноподібну форму, тому його можна наближено описати нормальним розподілом із середнім значенням np і дисперсією np(1 − p).
Гіпергеометричний розподіл: використовується замість біноміального розподілу, коли вибірку формують без повернення з кінцевої сукупності.

Поширені запитання

Що робить калькулятор біноміального розподілу?

Він обчислює ймовірність отримати рівно k успіхів у n незалежних випробуваннях, кожне з імовірністю успіху p, використовуючи формулу P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

У чому різниця між біноміальним і нормальним розподілами?

Біноміальний розподіл є дискретним, тобто він дає лише цілочислові значення кількості успіхів. Нормальний розподіл є неперервним. За великого n біноміальний розподіл можна наближено описати нормальною кривою із середнім значенням np і дисперсією np(1 − p).

Чи може p дорівнювати 0 або 1?

Так. Якщо p = 0, жодне випробування не може завершитися успіхом, тому P(X = 0) = 1. Якщо p = 1, кожне випробування завершується успіхом, тому P(X = n) = 1. У цих випадках усі інші значення k мають імовірність 0.

Який зв’язок між біноміальним розподілом і розподілом Бернуллі?

Розподіл Бернуллі описує одне випробування з двома результатами (n = 1). Біноміальний розподіл є сумою n незалежних випробувань Бернуллі, тому розподіл Бернуллі — це просто біноміальний розподіл із n = 1.

Наскільки великим може бути n, перш ніж калькулятор стане неточним?

Калькулятор працює зі стандартною арифметикою подвійної точності. Він безпосередньо перемножує три частини формули, а коли біноміальний коефіцієнт перевищує найбільше число, яке може зберігати тип double, переходить до логарифмів; це відбувається приблизно за n = 1 000, коли k близьке до n/2. Результати залишаються правильними й після цієї межі. Імовірність, менша приблизно за 1e-308, виводиться як 0, оскільки тип double не може зберігати такі малі значення.

Як обчислюється біноміальний коефіцієнт?

Біноміальний коефіцієнт C(n, k) визначає кількість способів вибрати k елементів із n елементів незалежно від порядку. Він дорівнює n! / (k! × (n − k)!). Калькулятор обчислює його поетапно: множить на один множник і ділить на наступний, тому йому не потрібно зберігати повний факторіал. Для дуже великих n він натомість підсумовує логарифми цих множників.

Джерела

"Binomial Distribution." Wikipedia, Фонд Вікімедіа. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
Росс, Шелдон М. Вступ до ймовірнісних моделей. Academic Press, 2014.
Джонсон, Норман Л. та ін. Дискретні розподіли. Серія Wiley з теорії ймовірностей і статистики, 2005.

Калькулятор біноміального розподілу - Безкоштовний інструмент для ймовірностей

Візуалізація біноміального розподілу

Документація