Калькулятор біномального розподілу

Вступ

Біномальний розподіл — це дискретний розподіл ймовірностей, який моделює кількість успіхів у фіксованій кількості незалежних випробувань Бернуллі. Він широко використовується в різних сферах, включаючи статистику, теорію ймовірностей та аналіз даних. Цей калькулятор дозволяє обчислювати ймовірності для біномальних розподілів на основі параметрів, наданих користувачем.

Формула

Функція маси ймовірностей для біномального розподілу задається формулою:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Де:

• n — це кількість випробувань
• k — це кількість успіхів
• p — це ймовірність успіху в кожному випробуванні
• $\binom{n}{k}$ — це біномальний коефіцієнт, який обчислюється як $\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Як користуватися цим калькулятором

1. Введіть кількість випробувань (n)
2. Введіть ймовірність успіху для кожного випробування (p)
3. Введіть кількість успіхів (k)
4. Натисніть кнопку "Обчислити", щоб отримати ймовірність
5. Результат буде відображений як десяткова ймовірність

Обчислення

Калькулятор використовує формулу біномальної ймовірності для обчислення ймовірності на основі введених користувачем даних. Ось покрокове пояснення обчислення:

1. Обчисліть біномальний коефіцієнт $\binom{n}{k}$
2. Обчисліть $p^k$
3. Обчисліть $(1-p)^{n-k}$
4. Помножте результати з кроків 1, 2 і 3

Калькулятор виконує ці обчислення, використовуючи арифметику з подвійною точністю, щоб забезпечити точність.

Перевірка введення

Калькулятор виконує такі перевірки введення користувача:

• n має бути додатним цілим числом
• p має бути числом між 0 і 1 (включно)
• k має бути невід'ємним цілим числом, не більшим за n

Якщо виявлено недійсні введення, буде відображено повідомлення про помилку, і обчислення не буде продовжено, поки не буде виправлено.

Сфери застосування

Калькулятор біномального розподілу має різноманітні застосування в різних сферах:

1. Контроль якості: оцінка ймовірності дефектних товарів у виробничій партії.

2. Медицина: обчислення ймовірності успіху лікування в клінічних випробуваннях.

3. Фінанси: моделювання ймовірності змін цін на акції.

4. Спортивна аналітика: прогнозування кількості успішних спроб у серії ігор.

5. Епідеміологія: оцінка ймовірності поширення захворювання в популяції.

Альтернативи

Хоча біномальний розподіл широко використовується, є й інші пов'язані розподіли, які можуть бути більш доречними в певних ситуаціях:

1. Розподіл Пуассона: коли n дуже велике, а p дуже мале, розподіл Пуассона може бути хорошим наближенням.

2. Нормальне наближення: для великих n біномальний розподіл може бути наближений нормальним розподілом.

3. Негативний біномальний розподіл: коли вас цікавить кількість випробувань, необхідних для досягнення певної кількості успіхів.

4. Гіпергеометричний розподіл: коли вибірка проводиться без повернення з кінцевої популяції.

Історія

Біномальний розподіл має свої корені в роботах Якова Бернуллі, опублікованих посмертно в його книзі "Ars Conjectandi" в 1713 році. Бернуллі вивчав властивості біномальних випробувань і вивів закон великих чисел для біномальних розподілів.

У 18-му та 19-му століттях математики, такі як Абрахам де Мувр, П'єр-Сімон Лаплас і Симон-Дені Пуанкаре, далі розвивали теорію біномального розподілу та його застосування. Робота де Мувра з наближення біномального розподілу нормальним розподілом була особливо значущою.

Сьогодні біномальний розподіл залишається фундаментальним поняттям у теорії ймовірностей і статистики, відіграючи важливу роль у тестуванні гіпотез, довірчих інтервалах та різних застосуваннях у багатьох дисциплінах.

Приклади

Ось кілька прикладів коду для обчислення біномальних ймовірностей:

1' Функція Excel VBA для біномальної ймовірності
2Function BinomialProbability(n As Integer, k As Integer, p As Double) As Double
3    BinomialProbability = Application.WorksheetFunction.Combin(n, k) * p ^ k * (1 - p) ^ (n - k)
4End Function
5' Використання:
6' =BinomialProbability(10, 3, 0.5)
7

1import math
2
3def binomial_probability(n, k, p):
4    return math.comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))
5
6## Приклад використання:
7n = 10
8k = 3
9p = 0.5
10probability = binomial_probability(n, k, p)
11print(f"Ймовірність: {probability:.6f}")
12

1function binomialProbability(n, k, p) {
2  const binomialCoefficient = (n, k) => {
3    if (k === 0 || k === n) return 1;
4    return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
5  };
6  
7  return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
8}
9
10// Приклад використання:
11const n = 10;
12const k = 3;
13const p = 0.5;
14const probability = binomialProbability(n, k, p);
15console.log(`Ймовірність: ${probability.toFixed(6)}`);
16

1public class BinomialDistributionCalculator {
2    public static double binomialProbability(int n, int k, double p) {
3        return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
4    }
5
6    private static long binomialCoefficient(int n, int k) {
7        if (k == 0 || k == n) return 1;
8        return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        int n = 10;
13        int k = 3;
14        double p = 0.5;
15
16        double probability = binomialProbability(n, k, p);
17        System.out.printf("Ймовірність: %.6f%n", probability);
18    }
19}
20

Ці приклади демонструють, як обчислювати біномальні ймовірності, використовуючи різні мови програмування. Ви можете адаптувати ці функції під свої конкретні потреби або інтегрувати їх у більші системи статистичного аналізу.

Числові приклади

1. Кидання монети:

   • n = 10 (кидань)
   • p = 0.5 (чесна монета)
   • k = 3 (орли)
   • Ймовірність ≈ 0.1172

2. Контроль якості:

   • n = 100 (перевірених товарів)
   • p = 0.02 (ймовірність дефекту)
   • k = 0 (без дефектів)
   • Ймовірність ≈ 0.1326

3. Епідеміологія:

   • n = 1000 (розмір популяції)
   • p = 0.001 (рівень інфекції)
   • k = 5 (інфікованих осіб)
   • Ймовірність ≈ 0.0003

Крайні випадки та міркування

1. Велике n: Коли n дуже велике (наприклад, n > 1000), ефективність обчислень стає проблемою. У таких випадках наближення, такі як нормальний розподіл, можуть бути більш практичними.

2. Екстремальні значення p: Коли p дуже близьке до 0 або 1, можуть виникати проблеми з числовою точністю. Може знадобитися спеціальна обробка для забезпечення точних результатів.

3. k = 0 або k = n: Ці випадки можна обчислити більш ефективно, не використовуючи повне обчислення біномального коефіцієнта.

4. Кумулятивні ймовірності: Часто користувачі зацікавлені в кумулятивних ймовірностях (P(X ≤ k) або P(X ≥ k)). Калькулятор може бути розширений, щоб надати ці обчислення.

5. Візуалізація: Додавання візуального представлення біномального розподілу (наприклад, графік функції маси ймовірностей) може допомогти користувачам інтуїтивно інтерпретувати результати.

Взаємозв'язок з іншими розподілами

1. Нормальне наближення: Для великих n біномальний розподіл може бути наближений нормальним розподілом зі середнім np та дисперсією np(1-p).

2. Наближення Пуассона: Коли n велике, а p мале, так що np помірне, розподіл Пуассона з параметром λ = np може наближати біномальний розподіл.

3. Розподіл Бернуллі: Біномальний розподіл є сумою n незалежних випробувань Бернуллі.

Припущення та обмеження

1. Фіксована кількість випробувань (n)
2. Постійна ймовірність успіху (p) для кожного випробування
3. Незалежність випробувань
4. Лише два можливих результати для кожного випробування (успіх або невдача)

Розуміння цих припущень є вирішальним для правильного застосування моделі біномального розподілу до реальних проблем.

Інтерпретація результатів

При інтерпретації результатів біномального розподілу враховуйте:

1. Очікуване значення: E(X) = np
2. Дисперсія: Var(X) = np(1-p)
3. Схил: Для p ≠ 0.5 розподіл є асиметричним; він стає більш симетричним, коли n збільшується
4. Ймовірність точних результатів проти діапазонів: Часто діапазони (наприклад, P(X ≤ k)) є більш інформативними, ніж точні ймовірності

Надаючи цю всебічну інформацію, користувачі можуть краще зрозуміти та застосувати біномальний розподіл до своїх конкретних проблем.

Посилання

1. "Біномальний розподіл." Вікіпедія, Фонд Вікіпедія, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution. Доступ 2 серпня 2024 р.
2. Росс, Шелдон М. "Вступ до моделей ймовірності." Академічний прес, 2014.
3. Джонсон, Норман Л., та ін. "Дискретні розподіли." Серія Wiley з ймовірності та статистики, 2005.