Калькулятор енергії активації (рівняння Арреніуса)

Що робить цей калькулятор

Реакції прискорюються, коли ви їх нагріваєте. Цей інструмент перетворює це повсякденне спостереження на число: виміряйте, з якою швидкістю реакція перебігає при двох температурах, і він розповість вам про енергію активації (Ea) реакції — розмір енергетичного «пагорба», який молекули повинні подолати, щоб зреагувати.

Вам потрібні чотири значення: дві константи швидкості (k₁, k₂) і дві температури, при яких вони були виміряні (T₁, T₂). Введіть температури в Кельвіні, Цельсії або Фаренгейті — калькулятор перетворить їх для вас. Результат виводиться в кДж/моль, стандартній одиниці в хімії.

Енергія активації простою мовою

Уявіть м'яч, що лежить у долині. Щоб котити його в наступну долину, ви повинні спочатку протиснути його через хребет. Енергія активації — це висота цього хребта. Навіть реакції, які загалом вивільняють енергію, потребують цього початкового поштовху, щоб розірвати вихідні зв'язки.

Нагрівання реакції не зменшує висоту хребта — воно надає більшій кількості молекул достатньо енергії, щоб його подолати, тому більше з них реагує щосекунди. Ось чому підвищення на 10 °C може помітно прискорити процес.

Формула

Рівняння Арреніуса пов'язує константу швидкості k з температурою:

$k = A \cdot e^{-E_a/RT}$

де A — це передекспоненціальний множник, R = 8.314 Дж/(моль·К) — це газова константа, а T — абсолютна температура в Кельвіні.

Виміряйте k при двох температурах, і невідомий A скасується, коли ви візьмете відношення:

$\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) \quad\Longrightarrow\quad E_a = \frac{R\,\ln(k_2/k_1)}{\dfrac{1}{T_1} - \dfrac{1}{T_2}}$

Це саме те, що обчислює калькулятор (а потім ділить на 1000, щоб звітувати в кДж/моль). Геометрично це нахил прямої лінії на графіку Арреніуса ln k проти 1/T: нахил дорівнює −Ea/R. Інструмент креслить цей графік з ваших двох точок.

Опрацьований приклад

З k₁ = 0,0025 с⁻¹ при 300 К та k₂ = 0,035 с⁻¹ при 350 К:

$E_a = \frac{8.314 \cdot \ln(0.035/0.0025)}{\tfrac{1}{300} - \tfrac{1}{350}} = \frac{8.314 \cdot 2.639}{4.76\times10^{-4}} \approx 46\,100 \text{ J/mol} = 46.1 \text{ kJ/mol}$

Отримання надійної відповіді

• Використовуйте Кельвін внутрішньо. Цельсій або Фаренгейт добре вводити — інструмент перетворює — але математика працює лише з абсолютною температурою. Забуття цього — найчастіша помилка.
• Розширте діапазон температур. Різниця 20–50 °C дає стабільні результати. Точки, занадто близькі одна до одної (відношення k₂/k₁ близько 1), збільшують помилку, оскільки ви беруть логарифм числа, близького до 1.
• Збереження послідовності одиниць. Оскільки ви використовуєте відношення k₂/k₁, одиниці k скасовуються — с⁻¹, М⁻¹с⁻¹, будь-що — якщо обидві константи використовують ту саму одиницю і походять з тієї ж самої кінетичної аналізи.

Читання результату

Каталізатори та ферменти працюють, пропонуючи шлях з меншим бар'єром. Наприклад, каталаза знижує бар'єр для розкладання перекису водню з ~75 кДж/моль до приблизно 8 кДж/моль. Енергія активації — це властивість шляху, а не температури — нагрівання змінює кількість молекул, які долають бар'єр, а не висоту самого бар'єру.

Поза методом двох точок

Формула двох точок припускає ідеальну поведінку Арреніуса між вашими точками. Коли вона не лінійна:

• Викривлення, не описуване законом Арреніуса, появляється при денатурації ферментів, квантовому тунелюванні при низькій температурі або дифузійно-обмежених реакціях. Крива графіку ln k проти 1/T - це сигнал — тоді значення двох точок є ефективним середнім, а не фіксованим бар'єром.
• Негативна Ea неможлива для елементарного кроку. Якщо ви обчислите таке значення, механізм має кілька кроків з температурно-чутливою передрівновагою.
• Для суворості теорія переходного стану використовує рівняння Айрінга $k = \frac{k_B T}{h}\,e^{-\Delta G^{\ddagger}/RT}$, розділяючи бар'єр на внески ентальпії та ентропії. Для найкращої експериментальної точності виміряйте k при 4–5 температурах і підганяйте нахил графіку Арреніуса за допомогою лінійної регресії замість використання лише двох точок.

Реалізації коду

Ядро - це один рядок арифметики. Впорядковано Excel → Python → JavaScript → Java → C# → C++ → Go → Rust → PHP → Ruby → R.

1' Cells: A1=k1, A2=T1(K), A3=k2, A4=T2(K); result in kJ/mol
2=8.314*LN(A3/A1)/((1/A2)-(1/A4))/1000
3

1import math
2
3def activation_energy(k1, T1, k2, T2):
4    """Ea in kJ/mol from two rate constants at Kelvin temperatures T1, T2."""
5    return 8.314 * math.log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000
6
7print(f"{activation_energy(0.0025, 300, 0.035, 350):.2f} kJ/mol")
8

1function activationEnergy(k1, T1, k2, T2) {
2  // Ea in kJ/mol; T1, T2 in Kelvin
3  return (8.314 * Math.log(k2 / k1)) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000;
4}
5
6console.log(activationEnergy(0.0025, 300, 0.035, 350).toFixed(2), "kJ/mol");
7

1public class ActivationEnergy {
2    static double ea(double k1, double T1, double k2, double T2) {
3        return 8.314 * Math.log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000; // kJ/mol
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        System.out.printf("%.2f kJ/mol%n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350));
8    }
9}
10

1using System;
2
3class ActivationEnergy {
4    static double Ea(double k1, double T1, double k2, double T2) =>
5        8.314 * Math.Log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000; // kJ/mol
6
7    static void Main() =>
8        Console.WriteLine($"{Ea(0.0025, 300, 0.035, 350):F2} kJ/mol");
9}
10

1#include <cmath>
2#include <cstdio>
3
4double ea(double k1, double T1, double k2, double T2) {
5    return 8.314 * std::log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000; // kJ/mol
6}
7
8int main() {
9    std::printf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350));
10}
11

1package main
2
3import (
4	"fmt"
5	"math"
6)
7
8func ea(k1, T1, k2, T2 float64) float64 {
9	return 8.314 * math.Log(k2/k1) / (1/T1 - 1/T2) / 1000 // kJ/mol
10}
11
12func main() {
13	fmt.Printf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350))
14}
15

1fn ea(k1: f64, t1: f64, k2: f64, t2: f64) -> f64 {
2    8.314 * (k2 / k1).ln() / (1.0 / t1 - 1.0 / t2) / 1000.0 // kJ/mol
3}
4
5fn main() {
6    println!("{:.2} kJ/mol", ea(0.0025, 300.0, 0.035, 350.0));
7}
8

1<?php
2function ea($k1, $T1, $k2, $T2) {
3    return 8.314 * log($k2 / $k1) / (1 / $T1 - 1 / $T2) / 1000; // kJ/mol
4}
5
6printf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350));
7

1def ea(k1, t1, k2, t2)
2  8.314 * Math.log(k2 / k1) / (1.0 / t1 - 1.0 / t2) / 1000 # kJ/mol
3end
4
5puts format("%.2f kJ/mol", ea(0.0025, 300, 0.035, 350))
6

1ea <- function(k1, T1, k2, T2) {
2  8.314 * log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000  # kJ/mol
3}
4
5cat(sprintf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350)))
6

ЧАП

Чи змінює температура енергію активації? Ні. Ea фіксована для даного шляху. Підвищення температури збільшує частку молекул, які долають бар'єр, тому швидкість зростає.

Чим Ea відрізняється від ΔH? Ea — це висота пагорба, який ви повинні подолати, щоб зреагувати; ΔH — це чистша зміна висоти від реагентів до продуктів. Реакція може мати високий бар'єр (велика Ea), але завершитися нижче, ніж почалась (від'ємна ΔH, екзотермічна).

Чому мені потрібні дві температури? Одне вимірювання дає одне рівняння з двома невідомими (Ea та A). Друге вимірювання дозволяє A скасуватися, щоб ви могли прямо вирішити для Ea.

Наскільки точна методика двох точок? Зазвичай в межах 5–10% при помірному діапазоні температур, припускаючи лінійну поведінку Арреніуса. Для більшої точності підганяйте ln k проти 1/T для 4–5 температур.

Посилання

1. Laidler, K. J. (1984). "Розвиток рівняння Арреніуса." J. Chem. Educ. 61(6), 494. https://doi.org/10.1021/ed061p494
2. Eyring, H. (1935). "Активований комплекс у хімічних реакціях." J. Chem. Phys. 3(2), 107. https://doi.org/10.1063/1.1749604
3. Atkins, P., & de Paula, J. (2014). Фізична хімія Аткінса (10-е видання). Oxford University Press.
4. IUPAC. Збірник хімічної термінології (Золота книга), "енергія активації." https://goldbook.iupac.org/terms/view/A00102
5. NIST. Фундаментальні фізичні константи — молярна газова константа. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r