Калькулятор енергії ґратки | Безкоштовний інструмент рівняння Борна-Ландé

Що таке ґраткова енергія?

Ґраткова енергія — це енергія, що вивільняється, коли окремі йони в газовій фазі об’єднуються й утворюють один моль твердої йонної сполуки. Калькулятор ґраткової енергії використовує рівняння Борна—Ланде, щоб оцінити це значення за зарядами йонів, їхніми розмірами та одним змінним параметром, який називають показником Борна.

Процес, який описує ґраткова енергія:

$M^{n+}(g) + X^{n-}(g) \rightarrow MX(s)$

Тут $M^{n+}$ — катіон металу (йон із позитивним зарядом), а $X^{n-}$ — аніон неметалу (йон із негативним зарядом). Ґраткова енергія завжди від’ємна, оскільки під час упорядкування йонів у кристал енергія виходить із системи. Хіміки називають процес, під час якого вивільняється енергія, «екзотермічним».

Величину ґраткової енергії визначають три чинники:

1. Заряд йонів. Йони з більшими зарядами сильніше притягуються один до одного.
2. Розмір йонів. Менші йони можуть наблизитися один до одного, що посилює притягання.
3. Кристалічна структура. Геометричний порядок, який утворюють йони, змінює кількість сусідів кожного йона; це враховує число, яке називають сталою Маделунга.

Формула ґраткової енергії (рівняння Борна—Ланде)

Рівняння Борна—Ланде, опубліковане фізиками Максом Борном і Альфредом Ланде в 1918 році, має вигляд:

$U = -\frac{N_0 A |z_1 z_2| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} \left(1-\frac{1}{n}\right)$

де:

• $U$ = ґраткова енергія в кілоджоулях на моль (кДж/моль)
• $N_0$ = число Авогадро, 6,022 × 10²³ на моль
• $A$ = стала Маделунга (цей калькулятор використовує 1,7476 — значення для структури кам’яної солі, спільної для NaCl, MgO та багатьох інших простих солей)
• $z_1$, $z_2$ = заряди катіона й аніона
• $e$ = заряд одного електрона, 1,602 × 10⁻¹⁹ кулона
• $\varepsilon_0$ = діелектрична проникність вакууму, 8,854 × 10⁻¹² Ф/м
• $r_0$ = міжйонна відстань, тобто відстань між центрами двох йонів
• $n$ = показник Борна — число, що враховує, наскільки сильно йони чинять опір стисканню; зазвичай він має значення між 5 і 12 та завжди більший за 1

Перша частина рівняння обчислює притягання між двома протилежними зарядами. Член $(1 - 1/n)$ віднімає відштовхування, яке виникає, коли електронні хмари йонів починають перекриватися. Цей член має сенс лише для $n$, більшого за 1. За $n = 1$ він дорівнює нулю, а за значень, менших за 1, стає від’ємним, тому калькулятор відхиляє такі значення.

Міжйонна відстань

Відстань між центрами йонів, $r_0$, просто дорівнює сумі двох йонних радіусів:

$r_0 = r_{cation} + r_{anion}$

Йонні радіуси зазвичай наводять у пікометрах (пм), де один пікометр — це одна трильйонна метра.

Як обчислити ґраткову енергію

1. Уведіть заряд катіона як додатне ціле число (1 для Na⁺, 2 для Mg²⁺).
2. Уведіть заряд аніона як від’ємне ціле число (-1 для Cl⁻, -2 для O²⁻).
3. Уведіть радіус катіона в пікометрах.
4. Уведіть радіус аніона в пікометрах.
5. Уведіть показник Борна. Значення 9 підходить для багатьох сполук. Показник має бути більшим за 1.
6. Прочитайте міжйонну відстань і ґраткову енергію на панелі результатів.

Приклад: ґраткова енергія хлориду натрію (NaCl)

Хлорид натрію, звичайна кухонна сіль, є зручним першим прикладом, оскільки його йони мають одиничні заряди.

• Заряд катіона: +1 (Na⁺)
• Заряд аніона: -1 (Cl⁻)
• Радіус катіона: 102 пм
• Радіус аніона: 181 пм
• Показник Борна: 9

Крок 1: знайдіть міжйонну відстань.

$r_0 = 102\text{ pm} + 181\text{ pm} = 283\text{ pm}$

Крок 2: застосуйте рівняння Борна—Ланде.

$U = -\frac{(6.022\times10^{23})(1.7476)(1)(1.602\times10^{-19})^2}{4\pi(8.854\times10^{-12})(2.83\times10^{-10})}\left(1-\frac{1}{9}\right)$

$U \approx -762\text{ кДж/моль}$

Це близько до значення, яке зазвичай наводять у підручниках, але не дорівнює йому: приблизно -787 кДж/моль. Воно отримане з експериментальних термодинамічних даних, виміряних за циклом Борна—Габера, а не з цього рівняння. Розбіжність виникає тому, що рівняння Борна—Ланде розглядає йони як абсолютно тверді сфери й використовує один показник відштовхування для всього кристала, тому це наближення, а не точна відповідність реальності.

Приклад: ґраткова енергія оксиду магнію (MgO)

Оксид магнію має йони з подвійними зарядами, тому є вдалим об’єктом для порівняння.

• Заряд катіона: +2 (Mg²⁺), радіус 72 пм
• Заряд аніона: -2 (O²⁻), радіус 140 пм
• Показник Борна: 9
• Міжйонна відстань: 72 пм + 140 пм = 212 пм

Підстановка цих чисел у те саме рівняння дає ґраткову енергію приблизно -4071 кДж/моль, більш ніж у п’ять разів від’ємнішу, ніж для NaCl. Експериментально виміряне значення становить приблизно -3795 кДж/моль. Подвоєння обох зарядів йонів приблизно учетверо збільшує електростатичне притягання, оскільки рівняння перемножує $z_1$ і $z_2$, а менша міжйонна відстань у MgO додатково посилює притягання.

Поширені йонні радіуси та показники Борна

Вибрані радіуси катіонів

Вибрані радіуси аніонів

Типові показники Борна

Це початкові орієнтири. В опублікованих джерелах іноді наведено дещо інші числа.

Що впливає на ґраткову енергію

Ґраткова енергія пов’язана з кількома властивостями, які хіміки можуть безпосередньо вимірювати.

• Температура плавлення. Сильніше йонне притягання зазвичай означає вищу температуру плавлення. Йони оксиду магнію мають удвічі більші заряди, ніж йони хлориду натрію, і розташовані ближче один до одного, тому ґраткова енергія MgO набагато від’ємніша. Частково тому MgO плавиться приблизно за температури 2852 °C, тоді як NaCl — приблизно за 801 °C.
• Твердість. Кристали з більшою ґратковою енергією зазвичай краще опираються подряпинам і деформації.
• Розчинність. Сполуки з дуже високою ґратковою енергією часто важче розчинити у воді, оскільки для руйнування кристала потрібно більше енергії, ніж молекули води можуть надати, оточуючи йони.

Ґраткова енергія також є одним із членів циклу Борна—Габера — методу обліку, який хіміки використовують для визначення змін енергії під час утворення йонної сполуки з її елементів.

Обмеження рівняння Борна—Ланде та цього калькулятора

Цей калькулятор завжди використовує сталу Маделунга для структури кам’яної солі (1,7476). Це значення правильне для сполук, що кристалізуються подібно до NaCl і MgO, але неправильне для сполук з іншими структурами, таких як хлорид цезію або фторид кальцію, які мають інші сталі Маделунга. Рівняння Борна—Ланде також припускає, що йони є ідеальними сферами, та ігнорує такі ефекти, як частка ковалентного характеру зв’язку, тому його результати є близькими оцінками, а не точними експериментальними значеннями.

Поширені запитання

Що таке ґраткова енергія простими словами? Це енергія, яка вивільняється, коли заряджені частинки, що називаються йонами, об’єднуються й утворюють міцний твердий кристал. Більш від’ємне число означає, що йони утримуються разом міцніше.

Чому ґраткова енергія завжди від’ємна? Тому що під час утворення твердого тіла енергія вивільняється, а не поглинається. У деяких підручниках натомість визначають «ґраткову ентальпію» як додатну енергію, необхідну для руйнування кристала; обидва поняття описують однакову міцність зв’язку, лише мають протилежні знаки.

Який показник Борна слід використовувати? Дев’ять — поширене значення за замовчуванням, яке досить добре підходить для багатьох йонних сполук. Для конкретної сполуки довідник із хімії або база даних із кристалографії наведе точніше значення, що ґрунтується на електронних конфігураціях її йонів.

Чому результат калькулятора не збігається точно з числом у моєму підручнику? Значення в підручниках часто отримують експериментально (за циклом Борна—Габера), тоді як цей калькулятор використовує теоретичне рівняння Борна—Ланде. Зазвичай ці два методи дають результати, що відрізняються на кілька відсотків, але рідко збігаються точно.

Чи завжди більший йон означає меншу ґраткову енергію? Зазвичай так. Більші йони збільшують міжйонну відстань $r_0$, яка стоїть у знаменнику рівняння, тому зі збільшенням розмірів йонів ґраткова енергія стає менш від’ємною за інших однакових умов.

Чи може цей калькулятор працювати з будь-якою йонною сполукою? Найкраще він працює для простих сполук зі структурою кристала кам’яної солі, таких як NaCl, MgO та CaO. Для сполук з іншими кристалічними структурами або значною часткою ковалентного зв’язку він менш надійний.

Джерела

1. Atkins, P. W., & De Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10-те видання). Oxford University Press.
2. Housecroft, C. E., & Sharpe, A. G. (2018). Inorganic Chemistry (5-те видання). Pearson.
3. Born, M., & Landé, A. (1918). Über die Berechnung der Kompressibilität regulärer Kristalle aus der Gittertheorie. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 20, 210-216.
4. Shannon, R. D. (1976). Revised effective ionic radii and systematic studies of interatomic distances in halides and chalcogenides. Acta Crystallographica Section A, 32(5), 751-767.