Калькулятор індексів Міллера - Перетворення перетинів кристалічної площини на (hkl)

Що таке індекси Міллера?

Індекси Міллера — це набір із трьох цілих чисел, записаних як (h,k,l), які визначають площину в кристалічній ґратці. Кристалічна ґратка — це повторюване впорядковане розташування атомів у твердому матеріалі. Індекси Міллера точно показують, який переріз цієї ґратки представляє площина, без потреби описувати її геометрію словами. Їх запровадив британський мінералог Вільям Галлоуз Міллер у 1839 році, і сьогодні вони залишаються стандартним позначенням у кристалографії.

Цей калькулятор перетворює перетини площини з кристалографічними осями x, y та z на її індекси Міллера (h,k,l).

Формула індексів Міллера

Індекси Міллера отримують як обернені величини відтинків площини на осях. Якщо площина перетинає осі x, y та z на відстанях a, b та c від початку координат, індекси задовольняють умову:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Як обчислити індекси Міллера за відтинками

1. Визначте, де площина перетинає кожну вісь, вимірюючи відстань у одиницях довжини ребра елементарної комірки. Позначте ці відтинки як a, b та c.
2. Візьміть обернену величину кожного відтинка: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Помножте всі три обернені величини на одне й те саме число, щоб кожна з них стала цілим числом.
4. Поділіть три цілі числа на їхній найбільший спільний дільник, щоб їх більше не можна було скоротити.

Три отримані цілі числа — це h, k та l. Якщо площина ніколи не перетинає вісь, вважають, що вона перетинає її на нескінченності, а 1, поділене на нескінченність, дорівнює 0, тому індекс Міллера для цієї осі дорівнює 0.

Приклад обчислення

Площина перетинає вісь x у точці 2, вісь y — у точці 3, а вісь z — у точці 6.

1. Відтинки: (2, 3, 6)
2. Обернені величини: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Помножте на найменше спільне кратне знаменників, 6: (3, 2, 1)
4. Найбільший спільний дільник чисел 3, 2 та 1 дорівнює 1, тому числа більше не можна скоротити.

Індекси Міллера дорівнюють (321).

Інші приклади

• Площина, що проходить через (1, ∞, 2), — паралельна до осі y — має обернені величини (1, 0, 1/2). Множення на 2 дає (2, 0, 1). Значення 0 показує, що площина ніколи не перетинає вісь y.
• Площина, що проходить через (-1, 2, 3), має обернені величини (-1, 1/2, 1/3). Множення на 6 дає (-6, 3, 2), що зазвичай записують як (6̄32) із рискою над від’ємним індексом.
• Площина, що проходить через (1, ∞, ∞), має обернені величини (1, 0, 0), що дає (100). Це одна з шести граней куба.

Особливі випадки

Площина, паралельна до осі, ніколи не перетинає її, тому відповідний відтинок вважають нескінченним, а індекс Міллера дорівнює 0. Площина, що перетинає вісь з від’ємного боку від початку координат, має від’ємний індекс, який у формальному позначенні записують із рискою над числом, а в звичайному тексті — зі знаком мінус. Для площини, що проходить через сам початок координат, індекси Міллера не визначені, оскільки кожна система паралельних площин у ґратці має бути зміщена від початку координат, щоб її можна було індексувати; перед описом такої площини початок координат потрібно змістити. Дробові відтинки обробляють так само, як цілі: беруть обернену величину кожного, а потім позбуваються дробів.

Індекси завжди зводять до найменших можливих цілих чисел. (622) і (311) описують те саме сімейство площин, але кристалографи завжди записують (311).

Як користуватися цим калькулятором

Введіть відтинки площини на осях x, y та z.

• Для відтинка з додатного боку від початку координат використовуйте додатне число, а для відтинка з від’ємного боку — від’ємне.
• Для площини, паралельної до осі, введіть «infinity», «inf» або «∞».
• Нульовий відтинок не приймається, оскільки площині, що проходить через початок координат, не можна призначити індекси Міллера цим методом.

Калькулятор миттєво обчислює індекси й показує схему площини всередині елементарної комірки.

Застосування індексів Міллера

Рентгенівська дифракція. Кожна пляма або вершина на дифрактограмі рентгенівського випромінювання відповідає набору площин ґратки з певними (hkl). Закон Брегга пов’язує відстань між цими площинами з кутом дифракції:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Тут d_hkl — відстань між площинами (h,k,l), λ — довжина хвилі рентгенівського випромінювання, а θ — кут дифракції. Відповідність спостережуваних піків значенням (hkl), процес, який називають індексуванням, є основним етапом визначення невідомої кристалічної структури.

Матеріалознавство. Різні кристалічні площини демонструють різне розташування атомів, тому вони мають різні поверхневі енергії, різну швидкість хімічних реакцій і відіграють різну роль у деформації металу. У металах із гранецентрованою кубічною ґраткою, таких як алюміній, атомні площини найлегше ковзають одна відносно одної вздовж площин {111}. Кремнієві пластини для комп’ютерних мікросхем зазвичай розрізають уздовж площини (100) або (111), оскільки вибір впливає на перебіг наступних виробничих етапів.

Мінералогія. Плоскі грані природного кристала та напрями, уздовж яких мінерал легко розколюється (його спайність), відповідають певним площинам із низькими індексами. Галіт (кам’яна сіль) розколюється вздовж площин {100}, а флюорит — уздовж площин {111}.

Індекси Міллера—Браве для гексагональних кристалів

Гексагональні кристали, такі як магній, цинк і титан, зазвичай описують чотириіндексною системою (hkil), а не трьома індексами. Додатковий індекс i не є незалежним; він завжди дорівнює i = -(h+k). Така форма полегшує визначення того, що дві площини належать до одного симетрично еквівалентного сімейства, що не завжди очевидно лише з триіндексного позначення Міллера в гексагональній ґратці.

Історія

Індекси Міллера запровадив Вільям Галлоуз Міллер у своїй книзі A Treatise on Crystallography, опублікованій 1839 року. Раніше вже існували системи позначення граней кристалів, але метод Міллера, що використовує обернені величини відтинків, спростив роботу з площинами, паралельними до осі, оскільки їхній відтинок є нескінченним, а обернена величина просто дорівнює 0. Після того як Макс фон Лауе відкрив дифракцію рентгенівського випромінювання на кристалах у 1912 році, Вільям Генрі Брегг і Вільям Лоуренс Брегг показали, що індекси Міллера точно описують площини, відповідальні за дифракційні піки; за цю роботу вони спільно отримали Нобелівську премію з фізики 1915 року.

Поширені запитання

Для чого використовують індекси Міллера? Вони визначають конкретні площини в кристалічній ґратці. Їх використовують для індексування піків рентгенівської та електронної дифракції, опису площин ковзання в металах, задання орієнтації напівпровідникових пластин, а також позначення граней і площин спайності мінералів.

Що означає нуль в індексі Міллера? Це означає, що площина паралельна до відповідної осі й ніколи не перетинає її. Наприклад, (201) паралельна до осі y.

Що означають від’ємні індекси Міллера? Вони означають, що площина перетинає відповідну вісь з від’ємного боку від початку координат. Від’ємний індекс записують із рискою над числом, наприклад (2̄11), або зі знаком мінус, наприклад (-2,1,1).

Чому площина, що проходить через початок координат, не може мати індексів Міллера? Індекси Міллера отримують як обернену величину відтинка. Площина, що проходить через початок координат, перетинає кожну вісь у 0, а 1/0 не визначене, тому метод не може призначити індекси, якщо площину не змістити.

У чому різниця між індексами Міллера та Міллера—Браве? Індекси Міллера (hkl) використовують три числа й застосовні до будь-якої кристалічної системи. Індекси Міллера—Браве (hkil) додають четвертий, залежний індекс і використовуються переважно для гексагональних кристалів, де вони полегшують розпізнавання симетрично еквівалентних площин.

Як відстань між площинами пов’язана з індексами Міллера? У кубічному кристалі з довжиною ребра a відстань між сусідніми площинами (hkl) дорівнює d = a / √(h² + k² + l²). Площини з вищими індексами розташовані ближче одна до одної. Для інших кристалічних систем використовують подібну, але складнішу формулу, яка враховує неоднакові довжини осей і не-90° кути.

Джерела

1. Міллер, В. Г. (1839). A Treatise on Crystallography. Кембридж: J. & J. J. Deighton.
2. Ашкрофт, Н. В., і Мермін, Н. Д. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Гаммонд, К. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4-те видання). Oxford University Press.
4. Калліті, Б. Д., і Сток, С. Р. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3-тє видання). Pearson Education.
5. Міжнародний союз кристалографії. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.