Розрахуйте та візуалізуйте гамма-розподіл на основі параметрів форми та масштабу, наданих користувачем. Необхідний для статистичного аналізу, теорії ймовірностей та різних наукових застосувань.
Гамма-розподіл — це неперервний розподіл ймовірностей, який широко використовується в різних сферах науки, інженерії та фінансів. Він характеризується двома параметрами: параметром форми (k або α) та параметром масштабу (θ або β). Цей калькулятор дозволяє вам обчислювати різні властивості гамма-розподілу на основі цих вхідних параметрів.
Функція щільності ймовірності (PDF) гамма-розподілу задається формулою:
Де:
Функція кумулятивного розподілу (CDF) виглядає так:
Де γ(k, x/θ) — це нижня неповна гамма-функція.
Ключові властивості гамма-розподілу включають:
Калькулятор використовує вищезазначені формули для обчислення різних властивостей гамма-розподілу. Ось покрокове пояснення:
При реалізації обчислень гамма-розподілу слід врахувати кілька числових міркувань:
Гамма-розподіл має численні застосування в різних сферах:
Хоча гамма-розподіл є універсальним, існують пов'язані розподіли, які можуть бути більш доречними в певних ситуаціях:
При роботі з реальними даними часто необхідно оцінити параметри гамма-розподілу. Загальні методи включають:
Гамма-розподіл можна використовувати в різних тестах гіпотез, включаючи:
Гамма-розподіл має багатий історичний контекст у математиці та статистиці:
Ось кілька прикладів коду для обчислення властивостей гамма-розподілу:
1' Excel VBA Функція для PDF Гамма-Розподілу
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3 If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4 GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5 Else
6 GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7 End If
8End Function
9' Використання:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
111import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6 x = np.linspace(0, 20, 1000)
7 y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8
9 plt.figure(figsize=(10, 6))
10 plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11 plt.title(f'Гамма-Розподіл (k={k}, θ={theta})')
12 plt.xlabel('x')
13 plt.ylabel('Ймовірність Щільності')
14 plt.legend()
15 plt.grid(True)
16 plt.show()
17
18## Приклад використання:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Обчислення властивостей
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Середнє: {mean}")
29print(f"Дисперсія: {variance}")
30print(f"Асиметрія: {skewness}")
31print(f"Куртоз: {kurtosis}")
321function gammaFunction(n) {
2 if (n === 1) return 1;
3 if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4 return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8 if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9 return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13 const mean = k * theta;
14 const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15 const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16 const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18 console.log(`Середнє: ${mean}`);
19 console.log(`Дисперсія: ${variance}`);
20 console.log(`Асиметрія: ${skewness}`);
21 console.log(`Куртоз: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Приклад використання:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Побудова PDF (використовуючи гіпотетичну бібліотеку для побудови графіків)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32Ці приклади демонструють, як обчислити властивості гамма-розподілу та візуалізувати його функцію щільності ймовірності за допомогою різних мов програмування. Ви можете адаптувати ці функції до своїх конкретних потреб або інтегрувати їх у більші системи статистичного аналізу.
Відкрийте більше інструментів, які можуть бути корисними для вашого робочого процесу