Калькулятор гамма-розподілу - Інструмент статистичного аналізу

Що таке калькулятор гамма-розподілу?

Калькулятор гамма-розподілу обчислює середнє значення, дисперсію, асиметрію, ексцес і моду гамма-розподілу за двома вхідними даними: параметром форми та параметром масштабу. Він також будує криву функції щільності ймовірності розподілу.

Що таке гамма-розподіл?

Гамма-розподіл — це неперервний розподіл імовірностей для додатних значень. Він визначається двома параметрами: параметром форми, який зазвичай позначають як k, і параметром масштабу, який зазвичай позначають як θ (тета). Обидва параметри мають бути більшими за нуль. Гамма-розподіл використовують для моделювання величин, які не можуть бути від’ємними, наприклад сум опадів, розмірів страхових вимог і часу до відмови деталі машини.

Формула гамма-розподілу

Функція щільності ймовірності (PDF) гамма-розподілу має вигляд:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Тут x — це значення, у якому вимірюють щільність, а Γ(k) — гамма-функція, узагальнення факторіала для нецілих чисел. Формула справджується лише для x > 0; всюди в інших точках щільність дорівнює нулю.

Як обчислюють характеристики гамма-розподілу

За параметром форми k і параметром масштабу θ калькулятор обчислює:

• Середнє значення: k × θ
• Дисперсія: k × θ²
• Асиметрія: 2 / √k
• Ексцес: 3 + 6 / k
• Мода: (k − 1) × θ, якщо k ≥ 1, інакше 0

Асиметрія показує, наскільки крива зміщена в один бік. Менше значення k утворює довший правий хвіст. Ексцес показує, наскільки важчими є хвости порівняно з нормальним розподілом, ексцес якого дорівнює 3. Мода — це значення x, у якому крива досягає максимуму. Коли k менше за 1, щільність постійно зростає, коли x наближається до 0, тому внутрішнього максимуму немає, і калькулятор повертає для моди значення 0.

Приклад обчислення

Візьмімо параметр форми k = 2 і параметр масштабу θ = 3.

• Середнє значення = 2 × 3 = 6
• Дисперсія = 2 × 3² = 18
• Асиметрія = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Ексцес = 3 + 6 / 2 = 6
• Мода = (2 − 1) × 3 = 3

У точці моди, x = 3, щільність дорівнює f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Калькулятор автоматично будує всю криву, щойно введено обидва параметри.

Як користуватися калькулятором гамма-розподілу

1. Введіть параметр форми (k), додатне число.
2. Введіть параметр масштабу (θ), додатне число.
3. Середнє значення, дисперсія, асиметрія, ексцес і мода з’являються, щойно в обох полях буде введено допустимі числа. Окремої кнопки обчислення немає: результати оновлюються під час введення чисел.
4. На діаграмі під результатами показано функцію щільності ймовірності. Її будують від значень, що трохи перевищують x = 0, до більшого з двох значень: трьох середніх значень або п’яти параметрів масштабу.

Обидва параметри мають бути скінченними числами, більшими за 0, і жоден із них не може перевищувати 1000. Значення, менші приблизно за 2 × 10⁻¹⁶, також відхиляються, оскільки за такого розміру підсумкові числа втрачають зміст. Значення поза допустимим діапазоном спричиняє появу повідомлення про помилку замість результатів.

Де використовують гамма-розподіл

Гамма-розподіл моделює багато реальних величин, які завжди є додатними й часто мають правосторонню асиметрію:

• Страхування: розміри страхових вимог і суми виплат
• Метеорологія: суми опадів за фіксований період
• Інженерія: час до відмови компонента
• Теорія масового обслуговування: час очікування, сформований кількома експоненційними етапами
• Біологія: рівні експресії генів і дані про кількість видів

Споріднені розподіли

Два відомі розподіли є окремими випадками гамма-розподілу:

• Експоненційний розподіл: гамма-розподіл із k = 1
• Розподіл хі-квадрат: гамма-розподіл із k = n/2 і θ = 2, де n — кількість ступенів свободи

Розподіли Вейбулла та логнормальний розподіл є поширеними альтернативами для моделювання додатних асиметричних даних.

Поширені запитання

Для чого використовують гамма-розподіл? Він моделює неперервні додатні величини, як-от час очікування, кількість опадів і страхові вимоги, особливо коли дані тяжіють до великих значень.

Як знайти середнє значення гамма-розподілу? Помножте параметр форми на параметр масштабу: середнє значення = k × θ. Для k = 2 і θ = 3 середнє значення дорівнює 6.

У чому різниця між параметрами форми та масштабу? Параметр форми (k) визначає вигляд кривої, зокрема її асиметрію. Параметр масштабу (θ) розтягує або стискає криву вздовж осі x, не змінюючи її основної форми.

Як гамма-розподіл пов’язаний з експоненційним розподілом? Експоненційний розподіл — це гамма-розподіл із параметром форми k = 1.

Чи може гамма-розподіл набувати від’ємних значень? Ні. Він визначений лише для x > 0. Для даних, які можуть бути від’ємними, потрібен інший розподіл, наприклад нормальний.

Чи обчислює цей калькулятор функцію розподілу? Ні. Він обчислює середнє значення, дисперсію, асиметрію, ексцес і моду, а також будує графік функції щільності ймовірності. Значення кумулятивної ймовірності він не виводить.

Джерела

1. "Gamma distribution." Вікіпедія, Фонд Вікімедіа. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. John Wiley & Sons.