Калькулятор розподілу Лапласа - Безкоштовний PDF і Інструмент Візуалізації

Що таке розподіл Лапласа?

Розподіл Лапласа, який також називають подвійним експоненційним розподілом, — це неперервний розподіл імовірностей, що має форму двох експоненційних кривих, з'єднаних вершинами. Він симетричний відносно центрального значення та має важчі хвости, ніж нормальний розподіл, тому призначає більшу ймовірність екстремальним значенням. Калькулятор розподілу Лапласа на цій сторінці знаходить максимальну щільність імовірності розподілу за параметром розташування та параметром масштабу й будує повну криву щільності.

Розподіл названо на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа, який уперше описав його в 1774.

Формула розподілу Лапласа

Функція щільності імовірності (PDF) розподілу Лапласа має вигляд:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x — будь-яка точка на числовій прямій.
• μ (мю) — параметр розташування, центр розподілу. Він також є середнім значенням і медіаною.
• b — параметр масштабу, який визначає міру розсіювання розподілу. Він має бути більшим за 0.
• |x − μ| — відстань між x і центром без урахування напрямку.

Крива досягає найвищої точки точно при x = μ. У цій точці формула спрощується, оскільки |μ − μ| = 0 і exp(0) = 1, тому отримуємо:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Це максимальне значення, 1/(2b), — число, яке показує калькулятор.

Як користуватися калькулятором розподілу Лапласа

1. Введіть параметр розташування (μ). Він визначає, де буде центр розподілу.
2. Введіть параметр масштабу (b). Це має бути додатне число: що більшим є значення, то пласкішою та ширшою буде крива.
3. Калькулятор показує максимальну щільність, 1/(2b), і будує криву щільності f(x) від μ − 4b до μ + 4b. Вертикальна вісь графіка показує щільність імовірності, а криву можна завантажити у вигляді таблиці значень x і f(x).

Калькулятор не приймає окремого значення x. Він завжди показує щільність у власній максимальній точці розподілу, x = μ, оскільки це єдине найбільш корисне підсумкове число для порівняння розподілів із різними масштабами. Щоб знайти щільність в іншій точці, скористайтеся наведеною вище формулою зі значенням x, яке вас цікавить, або визначте висоту за графіком.

Приклад обчислення

Нехай розташування дорівнює μ = 4, а масштаб — b = 2.

1. Перевірте, що b додатне: 2 > 0, тому введені значення коректні.
2. Максимум досягається при x = μ = 4, де |x − μ| = 0.
3. Обчисліть максимальну щільність: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Калькулятор показує 0,250000. Побудована крива має максимум у точці (4, 0,25) і симетрично спадає з обох боків, простягаючись від μ − 4b до μ + 4b, тобто в цьому випадку від −4 до 12.

Оскільки формула максимальної щільності, 1/(2b), не містить μ, зміна розташування лише зсуває криву ліворуч або праворуч. Її висота не змінюється. Висоту змінює лише параметр масштабу.

Додаткові приклади

Середнє значення, дисперсія та стандартне відхилення

Для розподілу Лапласа з розташуванням μ і масштабом b:

• Середнє значення = μ
• Медіана = μ
• Дисперсія = 2b²
• Стандартне відхилення = b√2

Розподіл Лапласа порівняно з нормальним розподілом

Обидва розподіли симетричні, мають дзвоноподібну форму й повністю описуються центральним значенням і параметром розсіювання. Відмінність полягає у хвостах. У нормальному розподілі щільність зменшується пропорційно квадрату відстані від середнього значення, тому екстремальні значення дуже швидко стають майже неможливими. У розподілі Лапласа вона зменшується пропорційно самій відстані, тому екстремальні значення залишаються порівняно ймовірнішими. Завдяки цьому розподіл Лапласа корисний у випадках, коли реальні дані містять більше викидів, ніж передбачив би нормальний розподіл.

Поширене використання

• Оброблення сигналів і зображень: моделювання шуму та стискання зображень, оскільки відмінності між пікселями або сигналами часто зосереджені поблизу нуля, але іноді трапляються великі стрибки.
• Диференційна приватність: механізм Лапласа додає до результатів запитів шум із розподілом Лапласа, щоб захистити індивідуальні дані та зберегти загальну точність.
• Робастна статистика та регресія: у Лассо-регресії використовується апріорний розподіл, подібний до розподілу Лапласа, який надає перевагу розв'язкам, де багато коефіцієнтів дорівнюють нулю.
• Фінанси: моделювання дохідності активів, яка зазвичай має важчі хвости, ніж передбачає нормальний розподіл.
• Сейсмологія: використовується в моделях закономірностей магнітуди землетрусів, пов'язаних із законом Гутенберга—Ріхтера.

Поширені запитання

Що означає результат калькулятора?

Це максимальне значення щільності імовірності, що дорівнює 1/(2b). Це висота кривої в її центрі, x = μ.

Чому калькулятор не запитує значення x?

Максимальна щільність, 1/(2b), однакова в кожній точці x, що дорівнює μ, тому для її знаходження не потрібно вводити окреме значення x. Це стандартне єдине число, яке використовують для порівняння того, наскільки високими й вузькими або низькими й широкими є два розподіли Лапласа. Повна крива, що показує щільність для кожного x, доступна на графіку.

Як знайти щільність у точці, відмінній від точки максимуму?

Використайте формулу $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ зі значенням x, яке вас цікавить, або безпосередньо визначте висоту за побудованою кривою.

Чим розподіл Лапласа відрізняється від експоненційного розподілу?

Розподіл Лапласа можна побудувати з двох експоненційних розподілів. Якщо X і Y — незалежні експоненційні випадкові величини з однаковою інтенсивністю, то X − Y має розподіл Лапласа з центром у 0.

Які типові застосування розподілу Лапласа?

Його використовують в обробленні сигналів, стисканні зображень, диференційованій приватності, робастній статистиці, Лассо-регресії, а також для моделювання фінансової дохідності й магнітуди землетрусів — усюди, де реальні дані містять більше екстремальних значень, ніж передбачає нормальний розподіл.

Чи може розподіл Лапласа мати від'ємні значення, чи він призначений лише для додатних?

Він визначений для всіх дійсних чисел — і додатних, і від'ємних, на відміну від експоненційного розподілу, який приймає лише невід'ємні значення.

Джерела

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution