Точний тест Фішера - Безкоштовний статистичний інструмент

Що таке точний критерій Фішера?

Точний критерій Фішера — це статистичний метод, який перевіряє, чи пов’язані між собою дві категоріальні змінні, використовуючи дані, упорядковані в таблицю 2×2. Він обчислює точну ймовірність, яку називають p-значенням, а не наближення. Тому цей метод корисний, коли вибірка мала.

Критерій порівнює кількості у двох рядках і двох стовпцях, наприклад кількість пацієнтів, які отримували або не отримували лікування та одужали або не одужали. Таблиця 2×2 має чотири клітинки, зазвичай позначені A, B, C і D, а також підсумки за рядками та стовпцями.

Точний критерій Фішера та критерій хі-квадрат

Критерій хі-квадрат також перевіряє наявність зв’язку між двома категоріальними змінними, але спирається на наближення, яке добре працює лише тоді, коли кількості в клітинках достатньо великі. Поширене практичне правило: якщо очікувана кількість у будь-якій клітинці таблиці менша за 5, наближення хі-квадрату стає ненадійним, і кращим вибором є точний критерій Фішера. Точний критерій Фішера працює за будь-якого розміру вибірки, але він є математично точним, а не наближеним, що і є його головною перевагою для малих вибірок.

Як обчислити точний критерій Фішера

Критерій використовує гіпергеометричний розподіл, який описує ймовірність витягнути певну кількість елементів із сукупності без повернення їх назад. Якщо відомі підсумки за рядками та стовпцями таблиці, гіпергеометричний розподіл дає ймовірність кожного конкретного розподілу чотирьох кількостей у клітинках.

Формула ймовірності

Для таблиці з клітинками A, B, C, D, підсумками за рядками r₁ = A + B і r₂ = C + D, підсумками за стовпцями c₁ = A + C і c₂ = B + D та загальним обсягом вибірки n = A + B + C + D імовірність саме такої таблиці дорівнює:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Тут «!» означає факторіал: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Одностороннє p-значення

Одностороннє p-значення — це сума ймовірності спостережуваної таблиці та всіх інших таблиць із такими самими підсумками за рядками й стовпцями, які показують такий самий або сильніший зв’язок у тому самому напрямку. «Напрямок» визначають порівнянням клітинки A зі значенням, яке вона мала б за відсутності зв’язку між двома змінними; це значення називають очікуваним: E(A) = r₁c₁ / n.

• Якщо A дорівнює E(A) або більше за нього, зв’язок має позитивний напрямок, і сумують за всіма можливими значеннями клітинки A — від спостережуваного значення до її найбільшого можливого значення.
• Якщо A менше за E(A), зв’язок має негативний напрямок, і сумують від найменшого можливого значення клітинки A до спостережуваного значення.

Двостороннє p-значення

Двостороннє p-значення — це сума ймовірностей усіх можливих таблиць із такими самими підсумками за рядками й стовпцями, імовірність яких дорівнює ймовірності спостережуваної таблиці або менша за неї. Це враховує крайні результати в обох напрямках, тому двостороннє p-значення зазвичай більше за одностороннє p-значення, обчислене для тієї самої таблиці.

Приклад обчислення

У невеликому дослідженні новий препарат отримали 10 пацієнтів, а плацебо — ще 10 пацієнтів. Результати:

Тут A = 8, B = 2, C = 3, D = 7, а n = 20. Очікуване значення A за незалежності дорівнює E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Оскільки 8 перевищує 5,5, зв’язок має позитивний напрямок, тому односторонню суму обчислюють від A = 8 до найбільшого можливого значення A, яке дорівнює 10.

Обчислення гіпергеометричних ймовірностей для A = 8, 9 і 10 дає одностороннє p-значення приблизно 0,0349. Додавання ймовірностей усіх таблиць (в обох напрямках), для яких імовірність дорівнює ймовірності спостережуваної таблиці або менша за неї, дає двостороннє p-значення приблизно 0,0698.

За поширеного порогу 0,05 односторонній результат вважається статистично значущим, а двосторонній — ні. Це показує, чому важливо правильно обирати тип критерію: односторонній критерій доречний лише тоді, коли напрямок ефекту (у цьому випадку покращення результатів під дією препарату) було передбачено до ознайомлення з даними.

Коли застосовують точний критерій Фішера

Точний критерій Фішера часто застосовують у таких випадках:

• Клінічні дослідження з невеликою кількістю пацієнтів.
• Контроль якості, під час якого порівнюють кількість дефектів у двох виробничих партіях.
• Генетичні дослідження, у яких порівнюють кількість випадків ознаки у двох невеликих групах.
• Будь-яка таблиця 2×2, у якій очікувана кількість у клітинці менша за 5.

Поширені запитання

Для чого застосовують точний критерій Фішера? Він перевіряє, чи пов’язані між собою дві категоріальні змінні, використовуючи кількості з таблиці 2×2. Його часто обирають замість критерію хі-квадрат, коли вибірка мала.

Коли слід застосовувати точний критерій Фішера замість критерію хі-квадрат? Коли очікувана кількість у будь-якій клітинці таблиці менша за 5 або коли потрібна додаткова впевненість у точності ймовірності незалежно від розміру вибірки.

У чому різниця між односторонніми та двосторонніми результатами? Одностороннє p-значення перевіряє передбачений напрямок ефекту, визначений до ознайомлення з даними. Двостороннє p-значення перевіряє, чи існує будь-який зв’язок, незалежно від його напрямку. Двостороннє p-значення для тієї самої таблиці зазвичай більше.

Чи повідомляє цей калькулятор відношення шансів? Ні. Він повідомляє лише точне p-значення. Відношення шансів для тієї самої таблиці можна окремо обчислити, поділивши A × D на B × C.

Чи можна застосовувати точний критерій Фішера до таблиць, більших за 2×2? Описаний тут варіант призначений для таблиць 2×2. Для більших таблиць потрібен споріднений метод, який називають розширенням Фрімена—Галтона; він доступний у більшості статистичних програм.

Чи можна застосовувати точний критерій Фішера до парних даних, наприклад вимірювань до та після втручання в тих самих людей? Ні. Він передбачає наявність двох незалежних груп. Для парних категоріальних даних натомість потрібен критерій Мак-Немара.

Джерела

1. Fisher, R.A. (1922). «On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.» Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G.H. & Halton, J.H. (1951). «Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.» Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3rd ed.). Wiley.