Trình Vẽ Hàm Lượng Giác - Trực Quan Hóa Sin, Cos, Tan

Trình vẽ hàm lượng giác là gì?

Trình vẽ hàm lượng giác là công cụ vẽ đường cong của hàm sin, cos hoặc tan và cho phép người dùng thay đổi hình dạng của đường cong bằng cách điều chỉnh một vài số, gọi là tham số. Di chuyển thanh trượt sẽ lập tức vẽ lại đồ thị, giúp dễ thấy biên độ, tần số và độ dịch pha làm thay đổi dạng sóng như thế nào.

Ba hàm lượng giác cơ bản

Sin, cos và tan xuất phát từ các tỉ số giữa các cạnh của một tam giác vuông. Trên đường tròn bán kính 1, có tâm tại gốc tọa độ (đường tròn đơn vị), sin(x) là độ cao của một điểm ở góc x, còn cos(x) là vị trí theo phương ngang của điểm đó. Tan là tỉ số sin(x) / cos(x).

Sin là hàm lẻ: sin(−x) = −sin(x). Cos là hàm chẵn: cos(−x) = cos(x). Cos đơn giản là sin được dịch sang trái π/2 radian (90 độ).

Tan có các tiệm cận đứng: đó là những đường mà đường cong tiến ngày càng gần nhưng không bao giờ chạm tới. Chúng nằm tại x = π/2 + nπ, trong đó n là một số nguyên bất kỳ. Vì tan(x) = sin(x) / cos(x), và cos(x) bằng 0 tại những điểm đó, nên tỉ số này không xác định tại đó.

Công thức hàm lượng giác

Trình vẽ biểu diễn các hàm theo dạng:

f(x) = A sin(Bx + C)

Dạng tương tự được dùng cho cos và tan, với sin được thay bằng cos hoặc tan. Mỗi chữ cái là một tham số có thể điều chỉnh:

• A (biên độ) xác định độ cao của sóng, được đo từ đường trung tâm đến đỉnh sóng. Trình vẽ cho phép các giá trị từ 0,1 đến 5 đối với sin và cos, và từ 0,1 đến 2 đối với tan.
• B (tần số) xác định số chu kỳ hoàn chỉnh nằm trong một đoạn trên trục x. B càng lớn thì sóng càng bị nén. Trình vẽ cho phép các giá trị từ 0,1 đến 5.
• C (độ dịch pha) dịch toàn bộ đường cong sang trái hoặc phải mà không làm thay đổi hình dạng. Trình vẽ cho phép các giá trị từ −π đến π, tương đương khoảng từ −3,14 đến 3,14.

Độ dịch pha dương làm đồ thị dịch sang trái; độ dịch pha âm làm đồ thị dịch sang phải.

Cách sử dụng trình vẽ hàm lượng giác

1. Chọn một hàm — sin, cos hoặc tan — từ bộ chọn.
2. Di chuyển thanh trượt biên độ để thay đổi độ cao của sóng.
3. Di chuyển thanh trượt tần số để nén hoặc kéo giãn sóng.
4. Di chuyển thanh trượt độ dịch pha để dịch đường cong theo chiều ngang.
5. Đọc công thức hiển thị bên dưới các thanh trượt rồi nhấn "Copy" để sao chép công thức dưới dạng văn bản.

Đồ thị cập nhật ngay khi thanh trượt được di chuyển. Đối với tan, các khoảng hở nhỏ xuất hiện trên đường cong tại mỗi tiệm cận. Đây là điều bình thường, không phải lỗi.

Kiểm tra các giới hạn của thanh trượt

Để xem sóng có thể cao đến mức nào, đặt biên độ ở giá trị cao nhất mà công cụ cho phép: 5 đối với sin hoặc cos, 2 đối với tan. Để xem một sóng gần như phẳng, đặt tần số ở giá trị thấp nhất là 0,1. Thay đổi từng thanh trượt một giúp dễ xác định tham số nào gây ra thay đổi nào.

Cách tính giá trị bằng tay

Xét hàm sin có biên độ A = 2, tần số B = 3 và độ dịch pha C = π/4:

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

Để tìm f(π/6), trước hết tính góc bên trong hàm sin:

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

Sau đó tính sin rồi nhân với biên độ:

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414

Sóng lượng giác xuất hiện ở đâu

Nhiều hiện tượng lặp lại theo dạng trơn tru, qua lại tuân theo một đường cong gần giống sóng sin: âm thanh, dòng điện xoay chiều, thủy triều, dao động của con lắc và độ dài ban ngày trong suốt một năm. Kỹ sư sử dụng sin và cos để mô tả và dự đoán những dạng biến đổi như vậy. Họa sĩ hoạt hình máy tính cũng dùng các đường cong này để tạo chuyển động mượt mà, chẳng hạn như chu kỳ bước đi nhấp nhô hoặc chuyển động chuyển cảnh êm của máy quay.

Các câu hỏi thường gặp

Sự khác nhau giữa sin, cos và tan là gì?

Sin và cos đều dao động trong khoảng từ −1 đến 1 với chu kỳ 2π, nhưng cos đạt đến mỗi điểm trong chu kỳ sớm hơn sin một phần tư vòng (π/2). Tan bằng sin chia cho cos. Hàm này có chu kỳ π, không bị chặn và có các tiệm cận đứng tại mọi nơi cos bằng 0.

Biên độ kiểm soát điều gì?

Biên độ (A) xác định mức độ sóng vươn lên trên và xuống dưới đường trung tâm. Trong trình vẽ này, biên độ nằm trong khoảng từ 0,1 đến 5 đối với sin và cos, và từ 0,1 đến 2 đối với tan.

Tần số kiểm soát điều gì?

Tần số (B) xác định số chu kỳ sóng xuất hiện trong một đoạn cố định trên trục x. Tần số càng cao thì càng có nhiều chu kỳ được xếp trong cùng một khoảng. Trình vẽ cho phép các giá trị từ 0,1 đến 5.

Vì sao độ dịch pha dương làm đồ thị dịch sang trái thay vì sang phải?

Vì độ dịch pha C được cộng trước khi đo góc, ở bên trong hàm: f(x) = sin(Bx + C). C dương nghĩa là góc đạt đến một giá trị nhất định tại x nhỏ hơn, vì vậy cùng một điểm trên đường cong xuất hiện sớm hơn — được dịch sang trái, không phải sang phải.

Vì sao đồ thị tan có các khoảng hở?

Tan không xác định tại mọi nơi cos bằng 0, xảy ra khi x = π/2 + nπ. Trình vẽ ngắt đường cong tại những điểm đó thay vì vẽ một đoạn nối sai xuyên qua khoảng hở.

Trình vẽ sử dụng độ hay radian?

Radian. Một vòng quay đầy đủ bằng 2π radian, tương đương 360 độ. Để đổi độ sang radian, nhân với π/180.