Z检验计算器 - 免费统计显著性工具

什么是 z 检验？

z 检验是一种统计检验，用于在总体标准差已知时，判断样本均值是否与已知的总体均值存在显著差异。它会得出一个单独的数值，即 z 分数，表示样本均值与总体均值相差多少个标准差。研究人员、质量检验员和分析师用它来判断观察到的差异是真实的，还是仅由偶然因素造成的。

Z 检验公式

z 检验用下面的公式计算 z 分数。这是 NIST/SEMATECH 统计方法电子手册中给出的标准差已知时的检验统计量：

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ 是样本均值
• $\mu$ 是总体均值
• $\sigma$ 是总体标准差
• $n$ 是样本量

公式的下半部分 $\sigma / \sqrt{n}$ 称为标准误。它衡量仅因随机抽样而导致样本均值出现多大程度的变动。

如何逐步计算 z 检验

1. 根据收集的数据求出样本均值（$\bar{x}$）。
2. 确定已知的总体均值（$\mu$）。
3. 确定已知的总体标准差（$\sigma$）。
4. 统计样本量（$n$）。
5. 用 $\bar{x}$ 减去 $\mu$。
6. 用 $\sigma$ 除以 $n$ 的平方根，得到标准误。
7. 用第 5 步的结果除以第 6 步的结果。所得答案就是 z 分数。

算例

一家工厂称其螺栓的平均长度为 10 cm，总体标准差为 0.2 cm。一名检验员测量了 100 个螺栓，得到样本均值 10.05 cm。

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

标准误：$0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

z 分数：$(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

z 分数为 2.5。样本均值高于总体均值 2.5 个标准误。

如何解释 z 分数

接近 0 的 z 分数表示样本均值接近总体均值。较大的正或负 z 分数表示样本均值远离总体均值，这表明差异是真实的，而不是随机因素造成的。

双侧检验常用的正态分布临界值：

• α = 0.10（90% 置信度）：z = ±1.645
• α = 0.05（95% 置信度）：z = ±1.96
• α = 0.01（99% 置信度）：z = ±2.576

如果计算出的 z 分数超出所选显著性水平对应的临界值，则该结果称为具有统计显著性，并拒绝零假设（即不存在差异）。

在示例中，z = 2.5 超出 ±1.96，因此该差异在 0.05 水平上具有统计显著性。z = 2.5 的双侧 p 值约为 1.24%，这意味着如果螺栓的真实平均长度确实为 10 cm，出现如此大差异的概率约为 1/80。

何时使用 z 检验

在以下情况下适合使用 z 检验：

• 总体标准差已知。
• 样本量足够大，通常超过 30。
• 数据来自随机抽样。
• 总体服从正态分布，或者样本足够大，适用中心极限定理。

如果总体标准差未知，或样本较小，则应改用 t 检验。t 检验根据样本本身估计变异性，并将由此产生的额外不确定性纳入考虑。

z 检验与 t 检验

两种检验都衡量样本均值与期望值相差多少个标准误。z 检验假定总体标准差已知。t 检验则根据样本估计这个值，并使用一个更宽、随样本量变化的分布来反映额外的不确定性。实际中，t 检验用得更多。NIST 把必须从数据中估计标准差的情形称为更典型的情形。

z 检验的实际应用

• 质量控制：检查一批制造零件是否符合目标规格。
• 医学研究：将治疗组的平均结果与已知的总体值进行比较。
• 教育：将一个班级的考试成绩与全国平均分进行比较。
• 金融：检查某基金的回报是否不同于基准平均回报。

历史

z 检验所依据的正态分布由亚伯拉罕·棣莫弗提出，他在 1733 年把它用作二项分布的近似。卡尔·弗里德里希·高斯和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在 1800 年代初进一步发展了这一理论。正式的假设检验方法，包括用 z 分数和临界值判断统计显著性，是在 20 世纪初由罗纳德·费希尔、耶日·奈曼和埃贡·皮尔逊等统计学家发展起来的。

常见问题

z 检验和 t 检验有什么区别？

z 检验要求总体标准差已知，并且最适合大样本。总体标准差未知且必须根据样本估计时，使用 t 检验；t 检验适用于小样本和大样本。

z 检验需要多大的样本量？

样本量超过 30 是通常采用的经验法则。低于这一数量时，z 检验的结果会变得不可靠，通常 t 检验是更好的选择。

z 分数 2.5 表示什么？

z 分数为 2.5 表示样本均值高于总体均值 2.5 个标准误。这超出了 95% 置信度下双侧临界值 ±1.96，因此该差异在这一水平上具有统计显著性。z = 2.5 的双侧 p 值约为 1.24%。

z 检验中的 p 值是什么？

如果总体均值确实不存在差异，p 值表示得到至少与观察结果同样极端的结果的概率。p 值越小，反对零假设的证据越强。低于 0.05 的 p 值通常被视为具有统计显著性。

z 检验中的零假设是什么？

零假设认为样本均值与总体均值之间不存在差异。z 检验衡量样本对这一说法提供了多少反证。

z 检验可以用于小样本吗？

不建议这样做。当样本较小或总体标准差未知时，t 检验会给出更准确的结果，因为它考虑了根据有限数据估计变异性所涉及的额外不确定性。

参考文献

1. 美国国家标准与技术研究院。NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods，第 7.2.2 节 "Are the data consistent with the assumed process mean?"。NIST 电子手册 7.2.2 — 标准差已知时 z = (Ȳ − μ₀)/(σ/√N)；从数据中估计标准差是更典型的情形。
2. 美国国家标准与技术研究院。NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods，第 1.3.6.7.1 节 "Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution"。NIST 电子手册 1.3.6.7.1 — 临界值 1.282、1.645、1.960、2.326 和 2.576；从 0 到 2.5 的面积为 0.49379。
3. 圣安德鲁斯大学 MacTutor 数学史。Abraham de Moivre。MacTutor：亚伯拉罕·棣莫弗 — 棣莫弗在 1733 年推导出正态曲线，作为二项分布的近似。