费舍尔精确检验计算器 - 免费统计工具
费舍尔精确检验计算器基于超几何分布，计算2×2列联表的精确p值，用于判断两个分类变量之间是否存在统计学上的显著关联。相比卡方检验，该方法特别适合样本量较小、期望频数假设无法满足的情况，支持单尾和双尾检验，常用于医学研究、生物统计和社会科学中的分类数据分析，是一款完全免费的在线统计工具。
文档
什么是费舍尔精确检验？
费舍尔精确检验是一种统计方法，用于检验两个分类变量是否相关，数据排列在2×2列联表中。它计算称为 p 值的精确概率，而不是近似值。因此，样本较小时使用它很有帮助。
该检验比较两行两列中的计数，例如比较“接受治疗”和“未接受治疗”的患者中康复与未康复的人数。2×2列联表有四个单元格，通常标记为 A、B、C 和 D，另有行总计和列总计。
费舍尔精确检验与卡方检验
卡方检验同样用于检验两个分类变量之间是否存在关系，但它依赖于一种近似方法，只有在单元格计数足够大时才适用。一个常用的经验规则是：如果表中任何单元格的期望计数低于5，卡方近似就会变得不可靠，此时更适合使用费舍尔精确检验。费舍尔精确检验适用于任何样本量，但它在数学上是精确的而非近似的，这正是它在小样本情况下的主要优势。
| 比较方面 | 费舍尔精确检验 | 卡方检验 |
|---|---|---|
| 结果 | 精确概率 | 近似值 |
| 最适用情况 | 小样本、单元格计数较低 | 所有期望计数均 ≥5的较大样本 |
| 表的大小 | 专为2×2列联表设计（也有适用于更大表格的扩展方法） | 任意大小的列联表 |
| 速度 | 样本较大时可能较慢 | 任何样本量下都很快 |
如何计算费舍尔精确检验
该检验使用超几何分布。超几何分布描述的是从一个总体中抽取一定数量的项目且不放回时的概率。给定列联表的行总计和列总计后，超几何分布可以给出四个单元格计数某一特定排列的概率。
概率公式
对于单元格为 A、B、C、D 的列联表，行总计为 r₁ = A + B 和 r₂ = C + D，列总计为 c₁ = A + C 和 c₂ = B + D，总样本量为 n = A + B + C + D，该列联表的精确概率为：
这里的“!”表示阶乘：5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1。
单侧 p 值
单侧 p 值将观测列联表的概率，与所有具有相同行总计和列总计且显示出同方向、相同或更强关系的其他列联表的概率相加。“方向”通过将单元格 A 与两个变量互不相关时的对应值进行比较来确定，该值称为期望值：E(A) = r₁c₁ / n。
- 如果 A 大于或等于 E(A)，则关联倾向为正，求和范围是从单元格 A 的观测值到其可能达到的最大值。
- 如果 A 小于 E(A)，则关联倾向为负，求和范围是从单元格 A 的可能最小值到观测值。
双侧 p 值
双侧 p 值将所有具有相同行总计和列总计、且概率小于或等于观测列联表概率的可能列联表的概率相加。它会计入两个方向上的极端结果，因此根据同一列联表计算的双侧 p 值通常大于单侧 p 值。
计算示例
一项小型试验为10名患者使用新药，为另外10名患者使用安慰剂。结果如下：
| 改善 | 未改善 | 总计 | |
|---|---|---|---|
| 治疗组 | 8 | 2 | 10 |
| 对照组 | 3 | 7 | 10 |
| 总计 | 11 | 9 | 20 |
这里 A = 8，B = 2，C = 3，D = 7，n = 20。在相互独立的假设下，A 的期望值为 E(A) = (10 × 11) / 20 = 5.5。由于8高于5.5，关联倾向为正，因此单侧求和范围从 A = 8到 A 的最大可能值10。
对 A = 8、9和10计算超几何概率后，单侧 p 值约为0.0349。将所有列联表（两个方向）的概率相加，只要其概率小于或等于观测列联表的概率，即可得到约为0.0698的双侧 p 值。
在常用的0.05显著性水平下，单侧结果具有统计学显著性，而双侧结果不具有统计学显著性。这说明选择检验类型很重要：只有在观察数据之前就已预测效应方向（此处为药物改善结果）时，才适合使用单侧检验。
何时使用费舍尔精确检验
费舍尔精确检验常用于：
- 患者数量较少的临床试验。
- 比较两个生产批次缺陷数量的质量控制检查。
- 比较两个小群体中某种性状计数的遗传学研究。
- 任何期望单元格计数低于5的2×2列联表。
常见问题
费舍尔精确检验用于什么？ 它使用2×2列联表中的计数，检验两个分类变量是否相关。样本较小时，人们通常会优先选择它，而不是卡方检验。
何时应使用费舍尔精确检验而不是卡方检验？ 当表中任何期望单元格计数低于5时，或者无论样本量大小，都需要更准确的精确概率时。
单侧结果与双侧结果有什么区别？ 单侧 p 值检验预先设定的效应方向，该方向在观察数据之前确定。双侧 p 值检验是否存在任意方向的关联。同一列联表的双侧 p 值通常更大。
这个计算器会报告优势比吗？ 不会。它只报告精确 p 值。同一列联表的优势比可以另行计算，即用 A × D 除以 B × C。
费舍尔精确检验能用于大于2×2的列联表吗？ 这里介绍的版本适用于2×2列联表。更大的列联表需要使用一种相关方法，称为弗里曼–哈尔顿扩展，大多数统计软件都提供该方法。
费舍尔精确检验能用于配对数据吗，例如同一批人在干预前后的测量值？ 不能。它假设有两个相互独立的组。配对分类数据应改用麦克内马尔检验。
参考文献
- Fisher, R.A.（1922）。“关于列联表中 χ² 的解释及 P 的计算。”Journal of the Royal Statistical Society，85（1），87–94。
- Freeman, G.H. 和 Halton, J.H.（1951）。“关于列联、拟合优度及其他显著性问题的精确处理的注释。”Biometrika，38（1/2），141–149。
- Agresti, A.（2018）。An Introduction to Categorical Data Analysis（第3版）。Wiley。