箱线图计算器 - 免费箱线图生成器

什么是箱线图？

箱线图也称为箱须图，是一种使用五个数值概括一组数据的图表：最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值。它显示大多数数据所在的范围，并标出称为离群值的异常数值，而无需列出每个数据点。

箱线图常用于统计学、科学和商业报告，因为它能让人一眼比较多个数值组。

五数概括

箱线图由五个数值构成，这些数值是在将数据从小到大排序后计算得出的。

• 最小值：不是离群值的最小数值。此计算器将其标记为“最小值（不含离群值）”。
• 第一四分位数（Q1）：约四分之一的数据低于此数值。
• 中位数（Q2）：数据集的中间值。
• 第三四分位数（Q3）：约四分之三的数据低于此数值。
• 最大值：不是离群值的最大数值。此计算器将其标记为“最大值（不含离群值）”。

当数据集没有离群值时，这两个数值就是所输入数据中的最小值和最大值。当数据集中存在离群值时，它们改为须线的端点，因此所输入数据中最小或最大的数值会单独显示在离群值列表中。

图中的箱体从 Q1 延伸到 Q3。箱体内的一条线表示中位数。称为须线的细线从箱体向最小值和最大值延伸。离群值则作为须线之外的独立点绘制。

箱线图公式

对于按升序排列且包含 n 个数值的数据集：

中位数。 当数据个数为奇数时，中位数是中间的数值：

$M = x_{(n+1)/2}$

当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数值的平均值：

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

其中，M 表示中位数，带有位置编号的 x 表示排序后数据中该位置的数值。

四分位数。 将排好序的数据分为下半部分和上半部分。如果 n 为奇数，则将中位数本身排除在两部分之外。然后：

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

其中，$M_l$ 是下半部分的中位数，$M_u$ 是上半部分的中位数。

这通常称为排除法。还存在其他方法，对于较小的数据集，它们可能得出略有不同的 Q1 和 Q3 数值，但此计算器使用的是排除法。

四分位距（IQR）

$IQR = Q_3 - Q_1$

围栏和须线。 围栏标出离群值的边界：

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

其中，$F_l$ 是下围栏，$F_u$ 是上围栏。

须线不会恰好在围栏处停止，而是在仍位于围栏以内的最极端数据点处停止：

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

其中，$W_l$ 是下须线，$W_u$ 是上须线。

离群值。 低于下围栏或高于上围栏的任何数值都是离群值，会作为独立点绘制，而不是并入须线。

如何逐步计算箱线图

1. 将数据从小到大排序。
2. 找出中位数。数据个数为奇数时，中位数是中间值；数据个数为偶数时，中位数是中间两个值的平均数。
3. 找出 Q1：数据下半部分的中位数（数据个数为奇数时，不包括中位数本身）。
4. 找出 Q3：数据上半部分的中位数，规则相同。
5. 将 Q3 减去 Q1，计算 IQR。
6. 使用 IQR 的 1.5 倍计算下围栏和上围栏。
7. 将围栏之外的任何数值标记为离群值。
8. 将仍位于围栏以内的最小值和最大值设为须线端点。

计算示例

取这组包含 11 个数值的数据：6、7、15、36、39、40、41、42、43、47、49。它已经排好序。

对于包含 11 个数值的数据集（奇数个），中位数是第 6 个数值：40。

下半部分为 6、7、15、36、39（共五个数值，不包括中位数）。其中位数是中间值：Q1 = 15。

上半部分为 41、42、43、47、49。其中位数是中间值：Q3 = 43。

IQR = 43 − 15 = 28。

下围栏 = 15 − 1.5 × 28 = −27。上围栏 = 43 + 1.5 × 28 = 85。数据集中的每个数值都位于 −27 和 85 之间，因此没有离群值，须线延伸到实际的最小值和最大值：最小值 = 6，最大值 = 49。

现在比较一组含有离群值的数据：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、50。这里 Q1 = 3.5，Q3 = 9.5，IQR = 6，因此上围栏为 9.5 + 1.5 × 6 = 18.5。数值 50 高于该围栏，因此会作为离群值绘制；上须线停止在 11，即仍位于围栏以内的最大值，而不是 50。

如何解读箱线图

箱体覆盖数据中间的 50%，因此箱体较宽表示数据中部较分散，箱体较窄表示数据中部较集中。如果中位数线更靠近箱体的一侧，数据就会向较长的一侧偏斜。某条须线明显长于另一条时，通常表示数据在该侧延伸得更多。须线之外的点是离群值，通常值得进一步检查，因为它们可能是真实的极端值，也可能是数据错误。

常见用途

箱线图用于并排比较不同数据组，例如比较多个班级的考试成绩、两个供应商的配送时间，或将实验测量结果与对照组进行比较。由于箱线图将完整分布压缩为五个数值，因此可以在一张图中排列多个箱线图，比原始数据表更容易比较各组的离散程度和典型数值。

箱线图与其他图表的比较

直方图能更详细地展示分布的完整形状，但同时比较多个数据组时较难使用。小提琴图在箱体周围增加密度曲线，更精确地显示数值聚集的位置。散点图展示两个变量之间的关系，这是箱线图无法做到的。选择哪种图表取决于目标：比较数据组使用箱线图，详细查看单个分布的形状使用直方图或小提琴图，研究变量关系则使用散点图。

历史

统计学家 John Tukey 在 1970 年代提出了箱线图，并在其 1977 年出版的著作 探索性数据分析 中对其进行了介绍。他最初的版本有时称为示意图，显示中位数、四分位数和极端值。在 1978 年，统计学家 Robert McGill、Tukey 和 Wayne Larsen 描述了一种带缺口的版本，在中位数周围增加了置信区间。不久之后，使用 IQR 的 1.5 倍标记离群值成为标准惯例。

常见问题

箱线图用于什么？ 它使用最小值、Q1、中位数、Q3 和最大值，展示一组数值的分布情况并标出可能的离群值。它尤其适合在一张图中比较多个数据组。

如何解读箱线图？ 箱体从 Q1 延伸到 Q3，覆盖数据的中间一半。箱体内的线是中位数。须线延伸到不是离群值的最极端数值，超出须线的数值则作为独立点绘制。

如何识别箱线图中的离群值？ 如果某个数值低于 Q1 − 1.5 × IQR，或高于 Q3 + 1.5 × IQR，则该数值为离群值。

箱线图和直方图有什么区别？ 箱线图将一个分布概括为五个数值和离群值，因此结构紧凑，适合比较数据组。直方图显示各个范围内数值的频数，能更详细地呈现单个分布的形状。

此计算器能处理小型数据集吗？ 此计算器至少需要五个数值，才能生成五数概括。数据集较大时，箱线图提供的信息更多，因为只有少量数值时，很难看出数据的离散程度或离群值。

计算器接受什么输入？ 接受用逗号、空格或换行分隔的数值，因此可以直接粘贴电子表格中的一列数据。任何非数值内容都会被拒绝，而不是跳过，因此输入错误不会悄悄改变结果。

箱线图看起来有偏斜意味着什么？ 如果中位数更靠近 Q1，表示数据在较大值一端有更长的尾部。如果中位数更靠近 Q3，表示数据在较小值一端有更长的尾部。