محوّل وحدات الزوايا: درجات، راديان، غراديان، دورات
حوّل الزاوية بين الدرجات والراديان والغراديان (غون) والدورات، كلها في آن واحد. الدورة الواحدة تساوي تمامًا 360 درجة و400 غون، وتساوي 2π راديان.
Angle Converter
Type an angle in one unit and read it in turns, degrees, gradians and radians at once.
Converted angle
التوثيق
محوّل وحدات الزوايا
تقيس الزاوية مقدار ابتعاد اتجاه عن اتجاه آخر بعد دورانه. يعيد محوّل وحدات الزوايا كتابة الزاوية من وحدة إلى أخرى، مثل تحويل الدرجات إلى راديان. تتيح هذه الصفحة التحويل بين الدورات والدرجات والغراد (ويُسمى أيضًا غون) والراديان، وتعرض القيم الأربع في الوقت نفسه.
ما الذي يفعله المحوّل
يكتب الزائر رقمًا واحدًا ويختار الوحدة التي كُتب بها ذلك الرقم. وتعرض الصفحة الزاوية نفسها بالوحدات الأربع كلها.
- تُعرض النتائج بثماني خانات معنوية. التقريب يخص العرض فقط؛ أما التحويل فيُجرى على الرقم كما كُتب.
- تُعرض النتيجة الأصغر من 0.0001، أو التي تبلغ مليارًا أو أكثر، بالصيغة العلمية. ويُعرض الصفر بصورته العادية 0.
- تُحوَّل الزوايا السالبة، لأن للدوران اتجاهًا.
- لا تُطوى الزوايا ضمن دورة واحدة. فـ 720 درجة تساوي 2 دورة، لا 0.
- يعطي الصندوق الفارغ مطالبة بدلًا من رقم. كما أن الرابط الذي يحمل وحدة لا توفرها هذه الصفحة يعطي رسالة بدلًا من إجراء تحويل.
الوحدات الأربع
| الوحدة | الرمز | عدد الدورات في الوحدة الواحدة | دقيق بالتعريف |
|---|---|---|---|
| دورة | دورة | 1 | نعم، دورة كاملة واحدة |
| درجة | ° | 1/360 | نعم |
| غراد (غون) | غون | 1/400 | نعم |
| راديان | راد | 1/(2π) | نعم ككسر، ولا كعدد عشري |
الدورة هي دورة كاملة واحدة، تعود إلى الاتجاه الذي بدأت منه. وتقسم الدرجة تلك الدورة إلى 360 جزءًا، وهي عادة موروثة من نظام العد البابلي القائم على الستين. أما الغراد فيقسمها إلى 400 جزء، مما يجعل الزاوية القائمة تساوي 100 بالضبط. والراديان هو الزاوية التي يساوي فيها طول القوس على دائرة نصف قطر تلك الدائرة، ويضم الدور الواحد 2π راديان.
صيغة تحويل الزوايا
كل وحدة تساوي عددًا ثابتًا من الدورات، لذلك يتألف التحويل من عملية ضرب واحدة تليها عملية قسمة واحدة. تُحوَّل الزاوية إلى دورات ثم تُعاد إلى الوحدة المطلوبة:
حيث إن هي الزاوية المُدخلة، و هو عدد الدورات في وحدة واحدة من الوحدة المختارة، و هو عدد الدورات في وحدة واحدة من الوحدة المطلوبة، و هي النتيجة.
لا يُضاف شيء ولا يُطرح شيء أثناء ذلك. تبدأ المقاييس الأربعة كلها العد من الموضع نفسه، ولذلك لا يتغير إلا حجم الخطوة. أما درجة الحرارة فحالتها مختلفة: يبدأ مقياسا سلسيوس وفهرنهايت من نقطتين مختلفتين، لذا فإن محوّلًا يكتفي بالضرب سيعرض 0 °م على أنها 0 °F بدلًا من 32 °F.
وبإدخال معاملي الدرجة والراديان في تلك الصيغة، نحصل على الزوج الأكثر شيوعًا في عمليات البحث:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ حيث إن $\theta_{\mathrm{deg}}$ هي الزاوية بالدرجات، و$\theta_{\mathrm{rad}}$ هي الزاوية نفسها بالراديان. ### لماذا تعدّ الصفحة انطلاقًا من الدورات لا من الراديان الدورة هي الوحدة التي تُقاس بالنسبة إليها الوحدات الثلاث الأخرى. وهذا الاختيار ليس شكليًا. فالدرجات والغرادات والدورات كسور صحيحة بعضها من بعض، ولذلك يستطيع الحاسوب الاحتفاظ بقيمها دون خطأ وإرجاع نتائج تقع تمامًا على العدد الصحيح الذي يتوقعه القارئ. لا يستطيع الراديان القيام بذلك، لأن π ليس له تمثيل عشري منتهٍ ودقيق. ولو كان الراديان وحدة الأساس، لاضطرت كل درجة وكل غراد إلى المرور عبر π والعودة منه. فعند إدخال زاوية قائمة مقدارها 90 درجة، ستعود حينها بقيمة 99.99999999999999 غون بدلًا من 100، كما أن 200 غون ستعود بقيمة 180.00000000000003 درجة. ويُبقي الحساب انطلاقًا من الدورة في الصف الوحيد الذي يحتاج إلى π فعلًا. ### مثال محلول: 100 درجة 100 درجة هي الزاوية التي تبدأ بها الصفحة. والدرجة الواحدة تساوي 1/360 من دورة، لذا تضرب الصفحة 100 في 1/360 فتحصل على 0.2777777777777778 دورة. وتعرضها على أنها 0.27777778. تأتي الإجابتان الأخريان من قسمة تلك القيمة على معامليهما. والقسمة على 1/400 تعادل الضرب في 400، مما يعطي 111.11111111111111 غون، وتُعرض على أنها 111.11111. أما القسمة على 1/(2π) فتعطي 1.7453292519943295 راد، وتُعرض على أنها 1.7453293. الزاوية القائمة أبسط. فـ 90 درجة تساوي ربع دورة، ولذلك تُرجع الصفحة 0.25 دورة، و100 غون بالضبط، و1.5707963 راد. ### تحويلات الزوايا الشائعة يوضح كل صف ما تنتجه قيمة واحدة بالوحدات الأربع كلها، بثماني خانات معنوية. | الإدخال | دورة | درجات | غون | راديان | |---|---|---|---|---| | 1 دورة | 1 | 360 | 400 | 6.2831853 | | 1 درجة | 0.0027777778 | 1 | 1.1111111 | 0.017453293 | | 1 غون | 0.0025 | 0.9 | 1 | 0.015707963 | | 1 راديان | 0.15915494 | 57.29578 | 63.661977 | 1 | | 90 درجة | 0.25 | 90 | 100 | 1.5707963 | | 180 درجة | 0.5 | 180 | 200 | 3.1415927 | ### أيّ القيم دقيق وأيّها مقرّب ثلاثة من المعاملات الأربعة كسور دقيقة، لذلك لا يحدّ التحويل بين الدورات والدرجات والغرادات إلا الحساب نفسه، وليس الثوابت. - دورة واحدة تساوي تمامًا 360 درجة. والدرجة ليست وحدة من النظام الدولي، لكن المكتب الدولي للأوزان والمقاييس يدرجها في كتيب النظام الدولي ضمن الوحدات غير التابعة للنظام الدولي المقبول استخدامها معه، بحيث تساوي الدرجة الواحدة π/180 راديان. - تساوي الدورة الواحدة تمامًا 400 غراد. ويحدد المعيار ISO 80000-3، الذي يغطي كميات ووحدات المكان والزمان، الغون الواحد بأنه π/200 راديان، أي جزء من أربعمائة من دورة. - تساوي الدورة الواحدة 2π راديان. والراديان هو وحدة النظام الدولي المتماسكة لزاوية المستوى، ويُعرَّف بأنه نسبة قوس إلى نصف القطر، ولذلك فإن هذه العلاقة تعريف أيضًا. لكن π عدد غير نسبي؛ فتمثيله العشري لا ينتهي ولا يتكرر، ولذلك لا يمثّل أي تمثيل عشري مكتوب له العدد كاملًا. - ولذلك يُقرَّب معامل الراديان عمليًا. تبنيه الصفحة من قيمة π التي يحتفظ بها الحاسوب، وهي 3.141592653589793، وهي أقرب قيمة يمكن لعدد ذي دقة مضاعفة أن يصل إليها. وترث نتائج الراديان ذلك التقريب، أما الوحدات الثلاث الأخرى فلا. يأتي التقريب الذي يراه القارئ فعليًا من العرض لا من الثوابت. فثماني خانات معنوية كافية لإظهار قيمة تعريفية كاملة، وفي الوقت نفسه تخفي الخانات الأخيرة من حسابات الحاسوب، التي تحمل ضجيج التقريب لا معلومات. ### الأسئلة الشائعة **كم درجة يساوي الراديان الواحد؟** 57.29578 درجة بثماني خانات معنوية، وتُذكر عادةً على أنها 57.3. أما كتابتها بدقة فهي 180/π درجة، ولا يملك π تمثيلًا عشريًا دقيقًا. **كم راديانًا تساوي 90 درجة؟** 1.5707963 راد بثماني خانات معنوية. وكتابتها بدقة هي π/2 راديان. **لماذا تساوي الزاوية القائمة 100 غون؟** لأن الدورة الكاملة تتسع لـ 400 غراد، ولأن الزاوية القائمة تساوي ربع دورة. وقد صُمم الغراد لهذا الغرض، حتى يتمكن المسّاحون من العمل بنظام عشري بدلًا من العمل بنظام يقسم الدورة إلى 90 جزءًا. **هل يساوي 1 غون 0.9 درجة؟** نعم، بالضبط. فالدورة تساوي 400 غون، وتساوي أيضًا 360 درجة، ولذلك يساوي الغون الواحد 360/400 من الدرجة. **هل تختزل الصفحة 720 درجة إلى 0؟** لا. إنها تحوّل الرقم المُعطى لها، ولذلك تُرجع 720 درجة قيمة 2 دورة، و800 غون، و12.566371 راد. واختزال الزوايا إلى دورة واحدة سيهدر عدد المرات التي دار فيها الشيء. **هل يمكن تحويل زاوية سالبة؟** نعم. تعني القيمة السالبة أن الدوران يجري في الاتجاه الآخر، ولذلك تُحوَّل مثل أي رقم آخر. ويؤدي إدخال -45 درجة إلى -0.125 دورة، و-50 غون، و-0.78539816 راد.