حاسبة دائرة الوحدة: الجيب وجيب التمام والظل بدقة
أدخل زاوية بالدرجات أو بالراديان للحصول على نقطتها على دائرة الوحدة، وقيم الجيب وجيب التمام والظل، والزاوية المرجعية والربع. تشمل الزوايا القياسية وقيمها الدقيقة.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
حاسبة التحميل...
📚
التوثيق
حاسبة دائرة الوحدة
دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1 مرسومة حول أصل الرسم البياني. تأخذ حاسبة دائرة الوحدة زاوية واحدة وتبيّن موضع تقاطع تلك الزاوية مع الدائرة: النقطة (x, y)، والجيب وجيب التمام والظل، والزاوية المرجعية، والربع. تقرأ هذه الصفحة الزاوية بالدرجات أو بالراديان، وتعطي قيماً دقيقة مثل √3/2 عند الزوايا القياسية الست عشرة.
ما الذي يفعله الحاسِب
يُدخل المستخدم زاوية واحدة ويختار الدرجات أو الراديان. وتعرض الصفحة:
- النقطة (x, y) التي تتقاطع عندها الزاوية مع الدائرة
- cos θ وsin θ وtan θ
- الزاوية المرجعية، بالدرجات وبالراديان
- الربع، أو المحور عندما تقع الزاوية عليه
- الزاوية بالوحدتين كلتيهما، والزاوية نفسها بعد اختزالها إلى دورة واحدة
عند الزوايا القياسية الست عشرة، تُطبع الإجابات بصيغ مغلقة دقيقة، وتظهر الكسور العشرية أسفلها. وتُعرض أي زاوية أخرى بثماني خانات معنوية. التقريب يطال العرض فقط.
صيغة دائرة الوحدة
تُقاس الزوايا عكس اتجاه عقارب الساعة بدءاً من المحور السيني الموجب. ويقطع شعاع مرسوم بزاوية θ الدائرة عند نقطة واحدة، ويكون إحداثيا تلك النقطة هما جيب التمام والجيب:
حيث إن هو الإحداثي الأفقي، و هو الإحداثي الرأسي، و هي الزاوية.
نصف القطر هو 1، لذا فإن الإحداثيين وقيمتي الدالتين هما زوج الأعداد نفسه، لكن باسمين مختلفين. ولهذا تُرسم الدائرة بنصف قطر 1 بدلاً من أي حجم آخر. ويُبنى الظل من الزوج نفسه:
تحقق كل نقطة على الدائرة أيضاً مبرهنة فيثاغورس، المطبقة على المثلث القائم ذي الساقين و ووتره 1:
الدرجات والراديان
تقبل الصفحة أياً من الوحدتين وتعرضهما كلتيهما. وترتبط الوحدتان بأن نصف دورة يساوي π راديان:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ حيث إن $\theta_{\mathrm{deg}}$ هي الزاوية بالدرجات، و$\theta_{\mathrm{rad}}$ هي الزاوية نفسها بالراديان. ### الاختزال إلى دورة واحدة يمكن أن تكون الزاوية سالبة، ويمكن أن تتجاوز دورة كاملة. وتتكرر النقطة على الدائرة كل 360°، لذلك تختزل الصفحة الزاوية أولاً إلى المجال من 0° إلى ما قبل 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ حيث إن $\theta$ هي الزاوية المُدخلة بالدرجات، و$\theta_0$ هو الاتجاه نفسه مكتوباً ضمن دورة واحدة. تُختزل 750° إلى 30°، وتُختزل −30° إلى 330°. ويجري الاختزال بالدرجات، حيث يكون الباقي دقيقاً. ### الزاوية المرجعية والربع الزاوية المرجعية هي الزاوية الحادة بين الشعاع والمحور السيني. ولا تزيد أبداً على 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{خلاف ذلك} \end{cases}$$ حيث إن $\theta_0$ هي الزاوية المختزلة بالدرجات. يعتمد مقدار الجيب وجيب التمام والظل على الزاوية المرجعية فقط. أما الربع فيحدد الإشارات. | الربع | الزاوية المختزلة | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | من 0° إلى 90° | + | + | + | | الثاني | من 90° إلى 180° | − | + | − | | III | من 180° إلى 270° | − | − | + | | IV | من 270° إلى 360° | + | − | − | تقع الزوايا 0° و90° و180° و270° على محور. والربع منطقة مفتوحة بين محورين، لذلك لا تقع أي من هذه الزوايا الأربع داخله، وتسمّي الصفحة المحور بدلاً من اختيار ربع مجاور. ### الزوايا القياسية الست عشرة تحمل خمس زوايا مرجعية صيغاً مغلقة دقيقة. | الزاوية المرجعية | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | غير معرّف | يؤدي عكس تلك الصفوف في الأرباع الثلاثة الأخرى إلى ست عشرة زاوية: 0 و30 و45 و60 و90 و120 و135 و150 و180 و210 و225 و240 و270 و300 و315 و330 درجة. وتنشئها الصفحة بتدوير نقاط الربع الأول ربع دورة في كل مرة، بدلاً من نسخ الجدول أربع مرات، لأن النسخ هو الموضع الذي قد تدخل فيه إشارة خاطئة. للزوايا 15° و75° و105° صيغ مغلقة أيضاً، لكنها صيغ ذات حدين مثل 2 − √3. وهي تقع خارج هذه المجموعة، لذلك تُجاب عنها بالكسور العشرية. وتعطي 15° قيمة cos تساوي 0.96592583، وsin تساوي 0.25881905، وtan تساوي 0.26794919. ### مثال: 210 درجة الزاوية 210° أكبر من 180° وأصغر من 270°، لذا تقع في الربع الثالث. وبطرح 180 منها تبقى زاوية مرجعية مقدارها 30°. عند زاوية مرجعية مقدارها 30°، تكون المقادير الثلاثة √3/2 و1/2 و√3/3. يجعل الربع الثالث كلا الإحداثيين سالباً، لذلك تكون النقطة (−√3/2، −1/2). والظل ناتج قسمة عدد سالب على عدد سالب، لذلك يبقى موجباً عند √3/3. بالراديان تكون الزاوية 7π/6، وتكون الزاوية المرجعية π/6. وبالكسور العشرية تعرض الصفحة cos بقيمة −0.8660254، وsin بقيمة −0.5، وtan بقيمة 0.57735027. تعطي 570° و−150° الإجابات نفسها، لأن كلتيهما تختزلان إلى 210°. ### أيّ الثوابت دقيقة؟ | الثابت | القيمة | دقيق؟ | المصدر | |---|---|---|---| | الدرجات في دورة واحدة | 360 | دقيق بحكم التعريف | ISO 80000-3 | | الراديان في دورة واحدة | 2π | دقيق بحكم التعريف | ISO 80000-3؛ كتيب SI | | cos 30°، sin 60° | √3/2 | دقيقة | NIST DLMF §4.14 | | cos 45°، sin 45° | √2/2 | دقيقة | NIST DLMF §4.14 | | cos 60°، sin 30° | 1/2 | دقيقة | NIST DLMF §4.14 | | tan 90°، tan 270° | لا توجد قيمة | دقيقة، قطب | NIST DLMF §4.15 | العدد π غير نسبي، لذلك لا يملك صيغة عشرية أو ثنائية دقيقة، وأي قيمة مخزنة له تكون مقربة. وتُبقي الصفحة هذا التقريب بعيداً عن إجاباتها بطريقتين. يجري الاختزال بالدرجات، حيث تقبل 360 القسمة دون باقٍ. وتُقرأ الزوايا القياسية من جدول الصيغ المغلقة أعلاه، لا من جيب محسوب بنظام الفاصلة العائمة. ### قراءة زاوية مُدخلة بالراديان تكون القيمة المُدخلة بالراديان كسراً عشرياً مقرباً أصلاً. تُكتب π/2 على صورة 1.5707963267948966، وعند تحويلها عكسياً نحصل على زاوية تبعد نحو جزء من عشرة تريليونات من الدرجة عن 90، بدلاً من أن تساوي 90 تماماً. لذلك تقرأ الصفحة أي زاوية تقع ضمن جزء من مليون من الدرجة من زاوية قياسية على أنها تلك الزاوية. ويحدد هامش السماح الجدول المستخدم، لكنه لا يوسّع الإجابة أبداً. ولا تتحول 30.001° إلى 30°. تُرفض الزوايا التي تتجاوز مليار درجة. وهذا حدّ للحساب، لا للهندسة: إذ تزداد الفجوة بين الأعداد التي يستطيع الحاسوب تخزينها مع ازدياد حجمها، وبعد نحو أربعة مليارات ونصف المليار درجة تصبح الفجوة أكبر من هامش جزء من مليون من الدرجة، فلا يعود الاختزال يحمل تفاصيل كافية لتسمية زاوية. ويُبقي حد المليار هامشاً دون تلك النقطة. ### الأسئلة الشائعة **فيمَ تُستخدم دائرة الوحدة؟** تحوّل الجيب وجيب التمام إلى إحداثيات. وقراءة نقطة واحدة من الدائرة تعطي القيمتين معاً، كما توضح الصورة سبب تكرارهما كل دورة كاملة وسبب تغير إشاراتهما من ربع إلى آخر. **ما القيمة الدقيقة لـ sin 30°؟** نصف واحد. وcos 30° تساوي √3/2، أي نحو 0.8660254، وtan 30° تساوي √3/3، أي نحو 0.57735027. **لماذا تكون tan 90° غير معرّفة؟** الظل هو الجيب مقسوماً على جيب التمام، وcos 90° تساوي 0. ولا توجد إجابة للقسمة على صفر. وتحدد الصفحة القطب بتسمية الزاوية، لا بالتحقق من أن قيمة الظل المحسوبة كبيرة، لأن ظلّاً شديد الانحدار قبل 90° بقليل هو عدد عادي. **ما الزاوية المرجعية؟** هي الزاوية الحادة بين الشعاع والمحور السيني، ولذلك تقع دائماً بين 0° و90°. للزوايا 150° و210° و330° جميعاً زاوية مرجعية مقدارها 30°، ولهذا تشترك قيم الجيب وجيب التمام لديها في المقادير الثلاثة نفسها، ولا تختلف إلا في الإشارة. **هل تعمل الزاوية السالبة؟** نعم. تدور الزاوية السالبة في اتجاه عقارب الساعة. وتشير −30° إلى الاتجاه نفسه الذي تشير إليه 330°، لذلك تعيد الصفحة النقطة (√3/2، −1/2) والربع الرابع. **لماذا تعرض الصفحة الزاوية مرتين؟** تتقاطع 750° و30° مع الدائرة عند النقطة نفسها، لكنهما ليستا الدوران نفسه. وتكرر الصفحة عرض الزاوية كما أُدخلت، بعد تحويلها إلى الوحدة الأخرى، وتعرض بجانبها الزاوية المختزلة.