حاسبة الدائرة: اكتشف نصف القطر، القطر، المساحة والمحيط

حاسبة الدائرة

تحسب حاسبة الدائرة نصف القطر والقطر والمحيط والمساحة لأي دائرة انطلاقًا من أي قيمة واحدة من هذه القيم الأربع. أدخل قياسًا معلومًا واحدًا، فتحسب الحاسبة القيم الثلاث الأخرى باستخدام الصيغ الهندسية القياسية.

الدائرة هي مجموعة كل النقاط في مستوى تقع على بُعد ثابت من نقطة المركز. هذا البعد الثابت هو نصف القطر. ويمكن اشتقاق كل القياسات الأساسية الأخرى للدائرة (القطر والمحيط والمساحة) من نصف القطر وحده.

كيفية استخدام الحاسبة

1. اختر المعلمة المعلومة: نصف القطر أو القطر أو المحيط أو المساحة.
2. أدخل قيمتها العددية. يجب أن تكون القيمة صفرًا أو أكبر؛ فالأطوال والمساحات السالبة لا معنى فيزيائيًا لها.
3. تعرض الحاسبة نصف القطر والقطر والمحيط والمساحة، مع تقريب كل منها إلى منزلتين عشريتين.

يُسمح بإدخال الصفر، وتُرجع الحاسبة صفرًا للقياسات الأربعة كلها، لأن الدائرة التي نصف قطرها صفر هي نقطة واحدة. وتؤدي الإدخالات غير العددية إلى ظهور خطأ في التحقق بدلًا من إظهار نتيجة.

صيغ الدائرة

لنرمز إلى نصف القطر بالرمز r وإلى القطر بالرمز d. الثابت π (باي) يساوي تقريبًا 3.14159؛ وهو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها.

القطر بدلالة نصف القطر:

$d = 2r$

المحيط:

$C = 2\pi r = \pi d$

المساحة:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

نصف القطر بدلالة المحيط:

$r = \frac{C}{2\pi}$

نصف القطر بدلالة المساحة:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

يمكن اشتقاق القيم الثلاث المتبقية من أي قيمة واحدة، وذلك بحل المعادلة أولًا لإيجاد نصف القطر، ثم تطبيق صيغ القطر والمحيط والمساحة أعلاه.

كيفية حساب قياسات الدائرة انطلاقًا من كل قيمة

انطلاقًا من نصف القطر (r):

• القطر: d = 2r
• المحيط: C = 2πr
• المساحة: A = πr²

انطلاقًا من القطر (d):

• نصف القطر: r = d / 2
• المحيط: C = πd
• المساحة: A = πd² / 4

انطلاقًا من المحيط (C):

• نصف القطر: r = C / (2π)
• القطر: d = C / π
• المساحة: A = πr²

انطلاقًا من المساحة (A):

• نصف القطر: r = √(A / π)
• القطر: d = 2r
• المحيط: C = 2πr

مثال

نصف قطر دائرة هو 5 وحدات.

• القطر: d = 2 × 5 = 10 وحدات
• المحيط: C = 2π × 5 ≈ 31.42 وحدة
• المساحة: A = π × 5² ≈ 78.54 وحدة مربعة

يمكن وصف الدائرة نفسها بدلًا من ذلك بمحيطها البالغ نحو 31.42 وحدة. وبقسمة المحيط على 2π نحصل على نصف قطر قدره 5 وحدات، ثم يأتي القطر والمساحة كما سبق. وتحدد أي قيمة واحدة من القيم الأربع القيم الثلاث الأخرى.

صيغ الدائرة في الهندسة

العدد π عدد غير نسبي، أي أن أرقامه العشرية لا تنتهي ولا تتكرر. وقد قرّبه علماء الرياضيات القدماء: فاستخدم البابليون والمصريون كسورًا تقريبية، وحصره أرخميدس السيراقوسي (287–212 قبل الميلاد) بين 223/71 و22/7 باستخدام مضلعات محاطة ومحيطة. واستخدم ويليام جونز الرمز π بمعناه الحديث لأول مرة عام 1706، وأصبح معيارًا بعد أن اعتمده ليونارد أويلر عام 1737. وتستخدم الحاسبات الحديثة π بعدد من المنازل العشرية يفوق بكثير ما يتطلبه أي قياس فيزيائي.

تُطبَّق صيغ الدائرة في مجالات مثل الهندسة، حيث تحدد أحجام الأنابيب والتروس والعجلات؛ والبناء، حيث تحدد المواد اللازمة للمنشآت المستديرة؛ وعلم الفلك، حيث تُقرَّب المدارات غالبًا على أنها دوائر أو قطوع ناقصة.

الأسئلة الشائعة

كيف يُحسب محيط الدائرة؟ اضرب نصف القطر في 2π، أو اضرب القطر في π: C = 2πr = πd. يبلغ محيط دائرة نصف قطرها 5 وحدات نحو 31.42 وحدة.

ما صيغة مساحة الدائرة؟ تساوي المساحة π مضروبًا في مربع نصف القطر: A = πr². تبلغ مساحة دائرة نصف قطرها 5 وحدات نحو 78.54 وحدة مربعة.

كيف أجد نصف القطر من المحيط؟ اقسم المحيط على 2π (نحو 6.2832). محيط قدره 31.42 وحدة يعطي نصف قطر قدره 5 وحدات.

كيف أجد نصف القطر من المساحة؟ اقسم المساحة على π، ثم خذ الجذر التربيعي: r = √(A / π). مساحة قدرها 78.54 وحدة مربعة تعطي نصف قطر قدره 5 وحدات.

ما العلاقة بين القطر ونصف القطر؟ القطر يساوي دائمًا ضعف نصف القطر (d = 2r)، ونصف القطر يساوي دائمًا نصف طول القطر (r = d / 2).

هل يمكن استخدام أي وحدة لقياسات الدائرة؟ نعم. يشترك نصف القطر والقطر والمحيط في وحدة الطول نفسها، مثل السنتيمترات أو البوصات، بينما تُعبَّر المساحة بمربع هذه الوحدة. ولا تحوّل الحاسبة بين الوحدات؛ إذ تستخدم النتائج الوحدة التي أُدخلت.

المراجع

1. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. A history of Pi. تاريخ العدد π — حدا أرخميدس 223/71 < π < 22/7؛ القيم المصرية والرافدية المبكرة؛ استخدم ويليام جونز π عام 1706 واعتمده أويلر عام 1737.