حاسبة الدائرة: اكتشف نصف القطر، القطر، المساحة والمحيط

حاسبة الدائرة

تحسب حاسبة الدائرة نصف القطر والقطر والمحيط والمساحة لأي دائرة انطلاقًا من أي قيمة واحدة من هذه القيم الأربع. أدخل قياسًا معلومًا واحدًا، فتحسب الحاسبة القيم الثلاث الأخرى باستخدام الصيغ الهندسية القياسية.

الدائرة هي مجموعة جميع النقاط في مستوى تقع على مسافة ثابتة من نقطة مركزية. وتُسمى هذه المسافة الثابتة نصف القطر. وينتج كل من القطر والمحيط والمساحة من نصف القطر وحده.

كيفية استخدام الحاسبة

1. اختر المعلمة المعلومة: نصف القطر أو القطر أو المحيط أو المساحة.
2. أدخل قيمتها العددية. يجب أن تكون القيمة صفرًا أو أكبر؛ فالأطوال والمساحات السالبة لا معنى فيزيائيًا لها.
3. تعرض الحاسبة نصف القطر والقطر والمحيط والمساحة، مع تقريب كل منها إلى منزلتين عشريتين.

ترسم الحاسبة الدائرة أيضًا. والرسم تخطيطي وليس بمقياس رسم، لذلك تبدو الدائرة الصغيرة جدًا والدائرة الضخمة بالحجم نفسه تقريبًا.

يُسمح بإدخال الصفر، وتُرجع الحاسبة صفرًا للقياسات الأربعة كلها، لأن الدائرة التي نصف قطرها صفر هي نقطة واحدة. وتؤدي الإدخالات غير العددية إلى ظهور خطأ في التحقق بدلًا من إظهار نتيجة.

صيغ الدائرة

لنرمز إلى نصف القطر بالرمز r وإلى القطر بالرمز d. الثابت π (باي) يساوي تقريبًا 3.14159؛ وهو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها.

القطر بدلالة نصف القطر:

$d = 2r$

المحيط:

$C = 2\pi r = \pi d$

المساحة:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

نصف القطر بدلالة المحيط:

$r = \frac{C}{2\pi}$

نصف القطر بدلالة المساحة:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

يمكن اشتقاق القيم الثلاث المتبقية من أي قيمة واحدة، وذلك بحل المعادلة أولًا لإيجاد نصف القطر، ثم تطبيق صيغ القطر والمحيط والمساحة أعلاه.

كيفية حساب قياسات الدائرة انطلاقًا من كل قيمة

انطلاقًا من نصف القطر (r):

• القطر: $d = 2r$
• المحيط: $C = 2\pi r$
• المساحة: $A = \pi r^2$

انطلاقًا من القطر (d):

• نصف القطر: $r = \frac{d}{2}$
• المحيط: $C = \pi d$
• المساحة: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

انطلاقًا من المحيط (C):

• نصف القطر: $r = \frac{C}{2\pi}$
• القطر: $d = \frac{C}{\pi}$
• المساحة: $A = \pi r^2$

انطلاقًا من المساحة (A):

• نصف القطر: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
• القطر: $d = 2r$
• المحيط: $C = 2\pi r$

مثال محلول

نصف قطر دائرة هو 5 وحدات.

• القطر: d = 2 × 5 = 10 وحدات.
• المحيط: C = 2π × 5 ≈ 31.42 وحدة.
• المساحة: A = π × 5² ≈ 78.54 وحدات مربعة.

يمكن وصف الدائرة نفسها بمحيط يبلغ نحو 31.42 وحدة. وبقسمة 31.42 على 2π نحصل، بعد التقريب، على 5.00 وحدات، فيعود نصف القطر إلى قيمته، ثم يُستخرج القطر والمساحة كما سبق. وتحدد أي قيمة واحدة من القيم الأربع القيم الثلاث الأخرى.

صيغ الدائرة في الهندسة

العدد π غير نسبي، أي إن أرقامه العشرية لا تنتهي ولا تتكرر. وقد قرّب علماء الرياضيات القدماء قيمته؛ فاستخدم البابليون والمصريون كسورًا تقريبية، وأثبت أرخميدس من سرقوسة، نحو 250 قبل الميلاد، أن π يقع بين 223/71 و22/7 باستخدام مضلعات مرسومة داخل الدائرة وخارجها. وقد شاع الرمز π في القرن 18 على يد عالم الرياضيات ليونهارت أويلر. وتستخدم الحاسبات الحديثة π بعدد منازل عشرية يفوق بكثير ما يتطلبه أي قياس فيزيائي.

تُستخدم صيغ الدائرة لتحديد أبعاد الأنابيب والتروس والعجلات، وحساب كمية المواد اللازمة لمنشأ دائري، ونمذجة المدارات في علم الفلك.

الأسئلة الشائعة

كيف يُحسب محيط الدائرة؟ اضرب نصف القطر في 2π، أو اضرب القطر في π: C = 2πr = πd. يبلغ محيط دائرة نصف قطرها 5 وحدات نحو 31.42 وحدة.

ما صيغة مساحة الدائرة؟ تساوي المساحة π مضروبًا في مربع نصف القطر: A = πr². تبلغ مساحة دائرة نصف قطرها 5 وحدات نحو 78.54 وحدة مربعة.

كيف أجد نصف القطر من المحيط؟ اقسم المحيط على 2π (أي نحو 6.2832). ويعطي محيط مقداره 31.42 وحدة نصفَ قطر يبلغ نحو 5 وحدات.

كيف أجد نصف القطر من المساحة؟ اقسم المساحة على π، ثم احسب الجذر التربيعي: r = √(A / π). وتعطي مساحة مقدارها 78.54 وحدة مربعة نصفَ قطر يبلغ نحو 5 وحدات.

ما العلاقة بين القطر ونصف القطر؟ القطر يساوي دائمًا ضعف نصف القطر (d = 2r)، ونصف القطر يساوي دائمًا نصف القطر (r = d / 2).

هل يمكن استخدام أي وحدة لقياسات الدائرة؟ نعم. يشترك نصف القطر والقطر والمحيط في وحدة الطول نفسها، مثل السنتيمترات أو البوصات، بينما تُعبَّر المساحة بمربع هذه الوحدة. ولا تحوّل الحاسبة بين الوحدات؛ إذ تستخدم النتائج الوحدة التي أُدخلت.

المراجع

1. "Circle." Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/Circle.html
2. "Circumference and Area of a Circle." Khan Academy. https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles
3. بيكمان، بيتر. A History of π. دار سانت مارتن للنشر، 1971.
4. أرخميدس. Measurement of a Circle. https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf