حاسبة الوتر - أداة نظرية فيثاغورس

حاسبة الوتر

تحسب حاسبة الوتر طول أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية، ويُسمى الوتر. وتستخدم نظرية فيثاغورس، وهي قاعدة تربط بين أضلاع أي مثلث قائم الزاوية الثلاثة.

ما الوتر؟

للمثلث القائم الزاوية زاوية واحدة قياسها 90 درجة، تتكوّن عند التقاء ضلعين في زاوية قائمة. ويُسمّى هذان الضلعان ساقَي المثلث. أما الضلع الثالث، المقابل للزاوية القائمة، فهو الوتر. وهو دائمًا أطول أضلاع المثلث.

صيغة نظرية فيثاغورس

تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

• c هو الوتر
• a وb هما الضلعان القائمان

لإيجاد ضلع قائم مفقود بدلًا من الوتر، يمكن إعادة ترتيب الصيغة:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

سُمّيت النظرية نسبةً إلى عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس، الذي عاش في الفترة بين 570 و495 قبل الميلاد تقريبًا. وكانت هذه العلاقة معروفة قبل ذلك. وتُظهر ألواح طينية بابلية يعود تاريخها إلى نحو 1800 قبل الميلاد أن علماء الرياضيات البابليين كانوا يستخدمونها بالفعل، قبل فيثاغورس بأكثر من ألف عام.

كيفية حساب الوتر

لإيجاد الوتر يدويًا، اتبع أربع خطوات.

1. ربّع طول الضلع A، أي اضربه في نفسه.
2. ربّع طول الضلع B.
3. اجمع القيمتين المربعتين.
4. احسب الجذر التربيعي لذلك المجموع.

تنفذ الحاسبة في هذه الصفحة الخطوات الأربع نفسها. اختر «إيجاد الوتر» أو «إيجاد الضلع A» أو «إيجاد الضلع B» من القائمة، ثم أدخل الطولين المعروفين. تُحدَّث النتيجة فور إدخال أعداد صالحة، وتُقرَّب إلى منزلتين عشريتين.

يجب أن يستخدم الضلعان وحدة القياس نفسها، مثل البوصات أو الأمتار. لا تُجري الحاسبة تحويلًا بين الوحدات، لذلك لن تعطي قيمة مُدخلة بالقدم مع قيمة مُدخلة بالبوصة نتيجة ذات معنى عند استخدامهما معًا.

مثال محلول

في مثلث قائم الزاوية، يبلغ طول الضلع A 3 قدم (0.91 متر)، ويبلغ طول الضلع B 4 أقدام (1.2 متر).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.00 أقدام (1.52 متر)

يُستخدم نمط 3-4-5 هذا كاختصار لدى النجارين للتحقق من أن الزاوية قائمة. قِس مسافة 3 أقدام (0.91 متر) على أحد الحافتين، ومسافة 4 أقدام (1.2 متر) على الحافة العمودية. ينبغي أن يبلغ الطول القطري بين النقطتين تمامًا 5 أقدام (1.5 متر). ويعمل أي مضاعف للنمط بالطريقة نفسها، مثل 6-8-10 أو 30-40-50.

يستخدم المثال الثاني قيمًا عشرية. في مثلث قائم الزاوية، يبلغ طول الضلع A 2.5 بوصة (6.35 سم)، ويبلغ طول الضلع B 6.8 بوصة (17.3 سم).

c = √(2.5² + 6.8²) = √(6.25 + 46.24) = √52.49 ≈ 7.24 بوصة (18.4 سم)

تُقاس أحجام أجهزة التلفاز والشاشات بهذه الطريقة. فحجم الشاشة المعلن هو طول القطر، وهو وتر المستطيل الذي يشكله عرض الشاشة وارتفاعها.

إيجاد ضلع مفقود

إذا كان الوتر وأحد الضلعين القائمين معروفين، فيمكن للحاسبة إيجاد الضلع القائم الآخر. اختر «إيجاد الضلع A» أو «إيجاد الضلع B»، ثم أدخل الوتر والضلع القائم المعروف.

على سبيل المثال، في مثلث قائم الزاوية يبلغ طول الوتر 10 أمتار، ويبلغ طول الضلع B 6 أمتار.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8.00 أمتار

يجب أن يكون الوتر أطول دائمًا من أي من الضلعين القائمين، لأنه أطول أضلاع المثلث. وإذا لم تكن القيمة المُدخلة للوتر أكبر من طول الضلع القائم المعروف، تعرض الحاسبة خطأً بدلًا من نتيجة، لأنه لا يوجد مثلث قائم بهذه المواصفات.

الاستخدامات الشائعة

تُستخدم نظرية فيثاغورس كلما لزم إيجاد طول قطري مستقيم انطلاقًا من قياسين متعامدين.

• البناء والنجارة: للتحقق من أن زاوية إطار أو جدار قائمة، وحساب أطوال العوارض المائلة أو قوائم السلالم.
• المساحة: لتحويل المسافات الأفقية والرأسية إلى مسافة مباشرة على خط النظر.
• الملاحة والرسوميات الحاسوبية: صيغة المسافة بين نقطتين على رسم بياني، d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]، هي النظرية نفسها مطبقة على الإحداثيات.
• التعليم: تُعد من أوائل البراهين الهندسية التي يتعرف إليها معظم الطلاب، ويمكن التحقق منها باستخدام أمثلة بسيطة بأعداد صحيحة، مثل 3-4-5 أو 5-12-13.

تنطبق النظرية على المثلثات القائمة الزاوية فقط. أما المثلث الذي لا يحتوي على زاوية قياسها 90 درجة، فيُستخدم له قانون جيب التمام.

الأسئلة الشائعة

ما صيغة الوتر؟ c = √(a² + b²)، حيث إن a وb هما الضلعان القائمان في مثلث قائم الزاوية، وc هو الوتر.

هل يمكن استخدام هذه النظرية للمثلثات التي لا تحتوي على زاوية قائمة؟ لا. تنطبق نظرية فيثاغورس على المثلثات القائمة الزاوية فقط. أما المثلث الذي لا يحتوي على زاوية قياسها 90 درجة، فيُستخدم له قانون جيب التمام.

ما قاعدة 3-4-5؟ هي طريقة مختصرة للتحقق من أن الزاوية قائمة. فإذا كان طول أحد الضلعين 3 وحدات، وطول الضلع العمودي المجاور 4 وحدات، وبلغ طول القطر بين طرفيهما 5 وحدات، تكون الزاوية قائمة. ويعمل أي مضاعف للنمط 3-4-5 بالطريقة نفسها، مثل 6-8-10 أو 30-40-50.

هل يجب أن يستخدم الضلعان وحدة القياس نفسها؟ نعم. يجب إدخال الضلعين القائمين بالوحدة نفسها، مثل إدخالهما كليهما بالقدم أو كليهما بالمتر. ويؤدي خلط الوحدات، مثل القدم والبوصة، إلى نتيجة صحيحة رياضيًا لكنها بلا معنى من الناحية الفيزيائية.

لماذا تعرض الحاسبة خطأً لبعض تركيبات الوتر والضلع القائم؟ الوتر هو دائمًا أطول أضلاع المثلث القائم الزاوية. فإذا لم تكن القيمة المدخلة للوتر أكبر من طول الضلع القائم المعروف، فلا يوجد مثلث قائم صالح بهذه المواصفات، ولذلك تُرجع الحاسبة خطأً بدلًا من نتيجة.

إلى كم منزلة عشرية تُعرض النتيجة؟ منزلتين. تحتفظ الحاسبة بالدقة الكاملة داخليًا أثناء الحساب، ولا تقرّب إلا العدد المعروض.

هل هذه هي صيغة المسافة نفسها؟ نعم. صيغة المسافة في الهندسة الإحداثية، d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]، هي نظرية فيثاغورس مطبقة على نقطتين في رسم بياني. وتشكل الفجوتان الأفقية والرأسية بين النقطتين ضلعي مثلث قائم الزاوية.