حاسبة السقوط الحر - حاسبة السرعة والمسافة والزمن

حاسبة السقوط الحر: السرعة والمسافة والزمن

تحسب حاسبة السقوط الحر سرعة جسم يسقط بتأثير الجاذبية، والمسافة التي قطعها، والارتفاع الذي ما زال يبعده عن الأرض. يُدخِل المستخدم ارتفاعاً ابتدائياً وسرعة ابتدائية وزمناً منقضياً، فتُعيد الحاسبة السرعة النهائية والإزاحة نحو الأسفل والارتفاع النهائي.

ما هو السقوط الحر؟

السقوط الحر هو حركة ناتجة عن الجاذبية وحدها، مع تجاهل مقاومة الهواء. بالقرب من سطح الأرض، تتسارع كل الأجسام الساقطة بالمعدل نفسه بغض النظر عن كتلتها. فعندما تسقط عملة معدنية ومطرقة معاً، تصلان إلى الأرض في اللحظة نفسها، ما دامت مقاومة الهواء صغيرة بما يكفي لتجاهلها.

أثبت غاليليو غاليلي ذلك تجريبياً في أوائل القرن السابع عشر، فقلب الفكرة القديمة القائلة إن الأجسام الأثقل تسقط أسرع. وفي عام 1971، أسقط رائد الفضاء ديفيد سكوت من مركبة أبولو 15 مطرقة وريشة على سطح القمر، حيث لا يوجد هواء يبطئ الريشة. فوصل الجسمان إلى الأرض معاً، وسُجِّل ذلك بالكاميرا.

يُطلَق على معدل هذا التسارع اسم الجاذبية القياسية، ويُرمَز له بالرمز g. تبلغ قيمته المحددة رسمياً 9.80665 متر في الثانية المربعة (م/ث²)، وقد حُدِّدت باتفاق دولي عام 1901. وبالوحدات الإمبراطورية، يساوي التسارع نفسه 32.17405 قدم في الثانية المربعة (قدم/ث²). ويُحسَب هذا الرقم بقسمة 9.80665 على 0.3048، وهو العدد الدقيق للأمتار في القدم الواحدة، مقرَّباً إلى خمس منازل عشرية. وتُقرِّب كثير من الأمثلة الدراسية القيمة المترية إلى 9.81 م/ث² لتسهيل الحساب.

معادلة السقوط الحر

توجد ثلاث معادلات تغطي كل مسائل السقوط الحر. يُعامَل الاتجاه نحو الأسفل بوصفه الاتجاه الموجب، فالسرعة الموجبة تشير نحو الأرض والسرعة السالبة تشير نحو الأعلى.

معادلة السرعة

$v = v_0 + gt$

• $v$ = السرعة النهائية
• $v_0$ = السرعة الابتدائية (تساوي صفراً إذا أُسقِط الجسم من السكون، وتكون سالبة إذا قُذِف إلى الأعلى)
• $g$ = تسارع الجاذبية، ويساوي في هذه الحاسبة 9.80665 م/ث² أو 32.17405 قدم/ث²
• $t$ = الزمن المنقضي، بالثواني

معادلة المسافة

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

هنا يمثل $d$ الإزاحة، أي المسافة التي تحركها الجسم نحو الأسفل. وبالنسبة إلى جسم أُسقِط من السكون ($v_0 = 0$)، تُختصَر المعادلة إلى $d = \frac{1}{2}gt^2$. وإذا قُذِف الجسم إلى الأعلى وكان لا يزال أعلى نقطة انطلاقه، تكون قيمة $d$ سالبة.

معادلة السرعة والمسافة

عندما يكون الزمن مجهولاً، تربط هذه المعادلة بين السرعة والمسافة مباشرة:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

وبالنسبة إلى جسم أُسقِط من السكون، تُختصَر هذه المعادلة إلى $v = \sqrt{2gd}$. وهي المعادلة المستخدمة لإيجاد سرعة الارتطام من ارتفاع سقوط معروف، أو إيجاد ارتفاع السقوط من سرعة ارتطام معروفة.

كيفية حساب السقوط الحر باستخدام هذه الحاسبة

تأخذ الحاسبة أربعة إعدادات وتُعيد ثلاث نتائج.

1. اختيار نظام الوحدات. يستخدم النظام المتري الأمتار والأمتار في الثانية، ويستخدم النظام الإمبراطوري الأقدام والأقدام في الثانية.
2. إدخال الارتفاع الابتدائي، وهو الارتفاع الذي يبدأ الجسم عنده فوق الأرض. لا يمكن أن يكون سالباً.
3. إدخال السرعة الابتدائية. تُستخدَم القيمة صفر لجسم أُسقِط من السكون، وقيمة موجبة لجسم قُذِف إلى الأسفل، وقيمة سالبة لجسم قُذِف إلى الأعلى.
4. إدخال الزمن المنقضي منذ إطلاق الجسم. يجب أن يكون أكبر من صفر.

النتائج هي السرعة النهائية، والإزاحة، والارتفاع النهائي (الارتفاع الابتدائي مطروحاً منه الإزاحة). والزمن هنا مُدخَل وليس نتيجة: فالحاسبة لا تحل المسألة عكسياً انطلاقاً من سرعة أو مسافة مستهدفة.

وإذا كان الزمن المُدخَل طويلاً بما يكفي لأن يكون الجسم قد وصل إلى الأرض فعلاً، تُبلِغ الحاسبة بذلك بدلاً من عرض ارتفاع نهائي سالب.

مثال: الإعداد الافتراضي

يُسقَط جسم من السكون من ارتفاع 100 متر. أين يكون موقعه بعد 3 ثوانٍ؟

السرعة بعد 3 ثوانٍ:

$v = 0 + 9.80665 \times 3 = 29.41995 \approx 29.42 \text{ m/s}$

الإزاحة خلال تلك الثواني الثلاث:

$d = \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 3^2 = 44.129925 \approx 44.13 \text{ m}$

الارتفاع النهائي:

$100 - 44.129925 = 55.870075 \approx 55.87 \text{ m}$

إذاً يسقط الجسم بسرعة نحو 29.42 م/ث، وقد هبط نحو 44.13 م، ولا يزال يبعد نحو 55.87 م عن الأرض.

مثال: إيجاد الزمن والسرعة من ارتفاع معروف

تسقط مفتاح ربط من سقالة ارتفاعها 20 متراً. كم يستغرق من الوقت للوصول إلى الأرض، وما سرعته عند الارتطام؟

باستخدام $d = \frac{1}{2}gt^2$ حيث $d = 20$ م و $g = 9.81$ م/ث²:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.81}} \approx 2.02 \text{ ثانية}$

$v = gt = 9.81 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s (نحو 71 كم/س)}$

مثال: إيجاد الارتفاع من سرعة الارتطام

يرتطم جسم بالأرض بسرعة 25 م/ث بعد أن أُسقِط من السكون. من أي ارتفاع سقط؟

باستخدام $v^2 = 2gd$:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.81} = \frac{625}{19.62} \approx 31.9 \text{ متر}$

وهذا يعادل تقريباً ارتفاع مبنى من عشرة طوابق.

كيف تتغير الجاذبية

الجاذبية القياسية، البالغة 9.80665 م/ث²، هي قيمة مرجعية متوسطة. أما الجاذبية الفعلية فتتفاوت قليلاً عبر سطح الأرض. فهي أضعف عند خط الاستواء (نحو 9.78 م/ث²) منها عند القطبين (نحو 9.83 م/ث²)، لأن الأرض تنتفخ عند خط الاستواء وتدور هناك بأسرع معدل. كما تضعف الجاذبية قليلاً مع زيادة الارتفاع: فعند ارتفاع 10,000 متر، تنخفض إلى نحو 9.78 م/ث².

تختلف الجاذبية اختلافاً كبيراً على الأجرام الأخرى، لذا تعطي المعادلات نفسها نتائج مختلفة جداً:

تبلغ جاذبية القمر نحو سُدس جاذبية الأرض، لذا يقطع الجسم الساقط هناك نحو سُدس المسافة نفسها في الزمن ذاته.

السقوط الحر ومقاومة الهواء

تفترض هذه المعادلات وجود فراغ لا يدفع فيه الهواء الجسم في الاتجاه المعاكس. أما مقاومة الهواء الفعلية فتزداد مع مربع السرعة، ولذلك يكون تأثيرها أكبر عند السرعات المرتفعة. وتأثيرها ضئيل على جسم كثيف ومندمج مثل مفتاح ربط أو حجر يسقط مسافة قصيرة، بينما يكون تأثيرها كبيراً على الأجسام الخفيفة أو العريضة، مثل الريشة أو ورقة أو مظلة هبوط.

وعندما تصبح مقاومة الهواء كبيرة بما يكفي لمساواة قوة جذب الجاذبية، يتوقف الجسم عن التسارع ويسقط بسرعة ثابتة تُسمى السرعة النهائية. ويصل القافز المظلي وهو في وضعية الانبطاح عادةً إلى سرعة نهائية قريبة من 53 متراً في الثانية، أي نحو 190 كم/س أو 120 ميلاً في الساعة، قبل فتح المظلة.

الأسئلة الشائعة

ما هو السقوط الحر في الفيزياء؟

السقوط الحر هو حركة جسم تؤثر فيه الجاذبية وحدها، مع تجاهل مقاومة الهواء. وتتسارع جميع الأجسام الساقطة قرب سطح الأرض نحو الأسفل بالمعدل نفسه، أي نحو 9.81 م/ث²، بصرف النظر عن كتلتها.

لماذا تسقط جميع الأجسام بالمعدل نفسه؟

تشد الجاذبية بقوة أكبر على الجسم الأثقل، لكن الجسم الأثقل يقاوم أيضاً تغيّر حركته بقدر أكبر (لأن قصوره الذاتي أكبر). ويلغي هذان الأثران بعضهما بعضاً تماماً، فلا تؤثر الكتلة في معدل التسارع أثناء السقوط الحر.

ما هي معادلة سرعة السقوط الحر؟

$v = v_0 + gt$، حيث $v_0$ هي السرعة الابتدائية، و$g$ تسارع الجاذبية، و$t$ الزمن. وبالنسبة إلى جسم أُسقِط من السكون، تصبح المعادلة ببساطة $v = gt$.

ما هي معادلة مسافة السقوط الحر؟

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$. وبالنسبة إلى جسم أُسقِط من السكون، تُختصَر إلى $d = \frac{1}{2}gt^2$.

لماذا تكون الإزاحة سالبة أحياناً؟

يُعَد الاتجاه نحو الأسفل موجباً في هذه الحاسبة. وتعني الإزاحة السالبة أن الجسم أعلى من نقطة انطلاقه، وهو ما يحدث عندما يُقذَف إلى الأعلى ولم يسقط بعد. فإذا قُذِفت كرة إلى الأعلى بسرعة 10 م/ث وفُحِص موقعها بعد ثانية واحدة: $d = -10 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 1^2 = -5.10$ م، فهذا يعني أنها أعلى بمقدار 5.10 م من نقطة انطلاقها.

كم من الوقت يستغرق جسم للسقوط من ارتفاع معين؟

حل معادلة المسافة لإيجاد الزمن يعطي $t = \sqrt{2d/g}$، لجسم أُسقِط من السكون. ويستغرق السقوط من ارتفاع 20 متراً نحو 2.02 ثانية.

لماذا تستخدم هذه الحاسبة القيمة 9.80665 م/ث² بدلاً من 9.8؟

القيمة 9.80665 م/ث² هي القيمة الدقيقة المحددة دولياً للجاذبية القياسية، والمعتمدة منذ عام 1901. وتقريبها إلى 9.8 أو 9.81 شائع في الكتب الدراسية ودقيق بما يكفي لمعظم الأغراض. وتستخدم الحاسبة القيمة الدقيقة كي تصف النتائج المترية والإمبراطورية السقوط الفيزيائي نفسه، وهو ما لا ينطبق على الزوج المقرَّب 9.8 م/ث² و32.2 قدم/ث².

هل تأخذ هذه الحاسبة مقاومة الهواء في الحسبان؟

لا. فهي تفترض سقوطاً حراً مثالياً في فراغ. ويعطي هذا نتائج دقيقة للأجسام الكثيفة والمندمجة التي تسقط مسافات معتدلة، لكنه يبالغ في تقدير السرعة والمسافة للأجسام الخفيفة أو العريضة، أو للسقوط الطويل جداً حيث تصبح مقاومة الهواء مؤثرة.