حاسبة نمو البكتيريا - النمو الأسي واللوجستي للتعداد السكاني

ما حاسبة نمو البكتيريا؟

تحسب حاسبة نمو البكتيريا حجم الجماعة البكتيرية بعد مرور مدة زمنية محددة. وتستخدم عدد الخلايا الابتدائي، وزمن التوليد (المدة اللازمة لمضاعفة حجم الجماعة)، والزمن المنقضي. وتدعم هذه الأداة نموذجين: النمو الأسي، حيث تتضاعف الجماعة بلا حد، والنمو اللوجستي، حيث يتباطأ النمو كلما اقتربت الجماعة من القدرة الاستيعابية التي يحددها الغذاء أو الحيز أو الأكسجين المتاح.

كيفية حساب النمو الأسي للبكتيريا

تتكاثر البكتيريا بالانشطار الثنائي: إذ تنقسم الخلية الواحدة إلى خليتين. وفي الظروف المثالية، مع وفرة المغذيات وعدم تراكم الفضلات، يتضاعف حجم الجماعة على فترات ثابتة تُسمى زمن التوليد. وينتج عن ذلك قانون النمو الأسي:

$N(t) = N₀ \times 2^{t/g}$

• يرمز N(t) إلى حجم الجماعة عند الزمن t.
• يرمز N₀ إلى حجم الجماعة الابتدائي.
• يرمز t إلى الزمن المنقضي.
• يرمز g إلى زمن التوليد، وبوحدة الزمن نفسها المستخدمة لـ t.

الأس t/g هو عدد الأجيال، أو أحداث التضاعف، التي مرّت. ويضرب كل جيل حجم الجماعة في 2.

مثال محلول على النمو الأسي

ابدأ بـ 1,000 بكتيريا وزمن توليد قدره 30 دقيقة. بعد 4 ساعات:

1. حوّل الزمن إلى دقائق: 4 ساعات = 240 دقيقة.
2. عدد الأجيال: 240 / 30 = 8.
3. معامل النمو: 2^8 = 256.
4. حجم الجماعة النهائي: 1,000 × 256 = 256,000 بكتيريا.

النمو اللوجستي والقدرة الاستيعابية

لا يمكن للجماعات الفعلية أن تنمو بلا حد. فمع تكاثر البكتيريا، تستهلك المغذيات وتنتج الفضلات، ولذلك يتباطأ معدل النمو ويستقر حجم الجماعة قرب قيمة قصوى تُسمى القدرة الاستيعابية، ويرمز إليها بالرمز K. ويصف قانون النمو اللوجستي هذا النمط:

$N(t) = \frac{K}{1 + \frac{K - N₀}{N₀} \times e^{-r \cdot t}}$

• يرمز K إلى القدرة الاستيعابية، أي أكبر حجم جماعة تستطيع البيئة إعالته.
• يرمز r إلى معدل النمو الذاتي، ويُحسب من زمن التوليد وفقًا للعلاقة r = ln(2) / g.
• يرمز e إلى عدد أويلر، وتبلغ قيمته نحو 2.71828.
• لـ N₀ وt المعنى نفسه الوارد في القانون الأسي.

عند t = 0، يعطي هذا القانون N(0) = N₀، وهي نقطة البداية نفسها في النموذج الأسي. ومع ازدياد t، يتناقص الحد الأسي e^(−r·t) مقتربًا من الصفر، ولذلك تقترب N(t) من K. وفي البداية، عندما يكون حجم الجماعة أصغر بكثير من K، يتتبع المنحنى اللوجستي المنحنى الأسي عن قرب. ولا ينحني ويتسطح إلا عندما يصبح حجم الجماعة جزءًا كبيرًا من K.

مثال محلول على النمو اللوجستي

ابدأ بـ 1,000 بكتيريا، وزمن توليد قدره 30 دقيقة، وقدرة استيعابية قدرها 1,000,000. بعد 4 ساعات:

1. معدل النمو: r = ln(2) / 30 ≈ 0.02310 لكل دقيقة.
2. الزمن المنقضي بالدقائق: t = 240.
3. r × t ≈ 5.545.
4. (K − N₀)/N₀ = (1,000,000 − 1,000) / 1,000 = 999.
5. N(240) = 1,000,000 / (1 + 999 × e^(−5.545)) ≈ 203,984 بكتيريا.

قارن هذه النتيجة بالنتيجة الأسية البالغة 256,000 للمدخلات نفسها. يعطي النموذج اللوجستي عددًا أصغر لأن النمو بدأ يتباطأ بالفعل. ومع مرور وقت كافٍ، ستواصل هذه الجماعة الاقتراب من 1,000,000 من دون أن تتجاوزه مطلقًا.

الاختيار بين النموذجين

يُعد النمو الأسي تقريبًا جيدًا للمراحل المبكرة من نمو البكتيريا في مزرعة حديثة غنية بالمغذيات، وتُسمى غالبًا طور النمو اللوغاريتمي. ويكون النمو اللوجستي نموذجًا أفضل عندما يُتوقع أن تنخفض موارد المزرعة أو أن تصل إلى كثافة قصوى معروفة، مثل حجم ثابت من وسط النمو أو موطن طبيعي محدود الحيز. ويحوّل تحديد قدرة استيعابية النموذج من منحنى مثالي غير محدود إلى منحنى يطابق استقرار المستعمرات الحقيقية عند حد أقصى في النهاية.

الأسئلة الشائعة

ما زمن التوليد؟ زمن التوليد، ويُسمى أيضًا زمن التضاعف، هو المدة اللازمة لمضاعفة حجم جماعة بكتيرية. ويختلف باختلاف النوع والظروف؛ فبعض البكتيريا تتضاعف في 20 دقيقة، بينما يستغرق بعضها الآخر ساعات طويلة.

لماذا ينمو النموذج الأسي بلا حد؟ يفترض النموذج توافر المغذيات والحيز والأكسجين بلا حدود، وعدم تراكم نواتج الفضلات. ولا تستمر هذه الظروف إلا مدة محدودة في أي مزرعة فعلية، ولذلك يوجد النموذج اللوجستي كبديل.

ما القدرة الاستيعابية؟ القدرة الاستيعابية، K، هي أقصى حجم لجماعة تستطيع البيئة دعمه على المدى الطويل، بالنظر إلى مواردها المتاحة. وفي المزرعة المختبرية، قد يحددها حجم وسط النمو وتركيز المغذيات فيه.

هل يمكن أن تكون النتيجة اللوجستية أكبر من النتيجة الأسية؟ لا، عند استخدام المدخلات نفسها. يبدأ المنحنى اللوجستي من القيمة نفسها التي يبدأ منها المنحنى الأسي، لكنه ينحني إلى الأسفل في وقت أبكر، ولذلك يظل دائمًا مساويًا للقيمة الأسية أو أقل منها عند أي زمن معين.

ماذا يحدث إذا حُددت القدرة الاستيعابية بقيمة عالية جدًا؟ إذا كانت K أكبر بكثير من الحجم الذي تبلغه الجماعة خلال الفترة الزمنية المختارة، يظل المنحنى اللوجستي قريبًا من المنحنى الأسي، لأن الجماعة تكون بعيدة عن الحد الأقصى.

لماذا يختلف معامل النمو بين النموذجين؟ في النمط الأسي، يكون معامل النمو هو مضاعف التضاعف النظري، أي 2 مرفوعًا إلى عدد الأجيال. أما في النمط اللوجستي، فهو المضاعف الفعلي المتحقق، أي حجم الجماعة النهائي مقسومًا على حجمها الابتدائي، لأن النمو لم يعد يتبع نمط تضاعف منتظمًا بعد أن يتباطأ قرب K.