حاسبة عمر النصف | حساب التحلل الإشعاعي وتمثيل الأدوية

ما هو عمر النصف؟

عمر النصف هو الزمن اللازم لانخفاض كمية ما إلى نصف قيمتها الابتدائية. تعمل حاسبة عمر النصف هذه في اتجاه واحد: أدخل معدل الاضمحلال، فتحسب عمر النصف. ينطبق هذا المفهوم على النظائر المشعة، والأدوية التي تغادر الجسم، وأي عملية أخرى تضمحل أُسِّيًا.

لا يعتمد عمر النصف على كمية المادة الموجودة. فعمر نصف اليورانيوم-238 يبلغ نحو 4.5 مليار سنة، سواء كانت العينة كيلوغرامًا واحدًا أو كمية تعادل ذرة واحدة من مجموعة كبيرة. معدل اضمحلال المادة وحده هو الذي يحدد عمر النصف.

معادلة عمر النصف

المعادلة القياسية هي:

t½ = ln(2) / λ

• يمثّل t½ عمر النصف، بوحدة الزمن التي يستخدمها λ.
• يمثّل ln(2) اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2، وقيمته نحو 0.6931.
• λ (لامدا) هو ثابت الاضمحلال، أي الكسر من المادة الذي يضمحل في وحدة الزمن.

تأتي هذه المعادلة من معادلة الاضمحلال الأُسِّي:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

هنا تمثل N₀ الكمية الابتدائية، وتمثل N(t) الكمية المتبقية بعد زمن t، ويمثل e عدد أويلر، وقيمته نحو 2.718. وبمساواة N(t) مع N₀/2 وحل المعادلة بالنسبة إلى t نحصل على t½ = ln(2)/λ. يعني ارتفاع معدل الاضمحلال قِصر عمر النصف، بينما يعني انخفاضه طول عمر النصف.

وحدات معدل الاضمحلال

يُقاس معدل الاضمحلال λ بوحدة مقلوب الزمن، مثلًا لكل ثانية أو لكل يوم أو لكل سنة. ويجب أن يطابق وحدة الزمن المطلوبة للإجابة. فإذا أُعطي المعدل «لكل يوم» وقُرئ على أنه «لكل ساعة»، فستكون النتيجة خاطئة بعامل 24، ولذلك يمنع التحقق من الوحدات أولًا انتشار الأخطاء في الحساب.

كيفية حساب عمر النصف

1. اعثر على ثابت الاضمحلال. ابحث عن قيمة λ للمادة، أو استنتجها من بيانات مقاسة، مع التحقق بدقة من وحدة الزمن المستخدمة.
2. اقسم ln(2) على λ. تكون النتيجة، t½ = ln(2)/λ، هي عمر النصف بوحدة الزمن نفسها التي يستخدمها λ.
3. تحقق من حجم الإجابة. لا يُفترض أن يعطي نظير طبي عمر نصف يبلغ مليون سنة، كما لا يُفترض أن يعطي نظير جيولوجي عمر نصف مقاسًا بالأيام. وتشير النتيجة البعيدة كثيرًا عن النطاق المتوقع عادةً إلى عدم تطابق الوحدات.

بالنسبة إلى النظائر طويلة العمر جدًا، يُكتب λ غالبًا بالصيغة العلمية، مثل 1.54 × 10⁻¹⁰ لكل سنة لليورانيوم-238. ويقبل حقل معدل الاضمحلال هذه القيمة بصيغة e، وتُكتب 1.54e-10.

ما الذي تعرضه هذه الحاسبة

تتطلب الحاسبة مُدخلين. الكمية الابتدائية هي المقدار الموجود عند الزمن صفر، بأي وحدة يختارها المستخدم، ويجب ألا تقل عن 0.1. أما معدل الاضمحلال فهو λ، ويُعطى لكل وحدة زمن.

النتيجة هي عمر النصف، وتُطبع إلى أربع منازل عشرية، بوحدة الزمن نفسها التي يستخدمها λ. وتحتها تعيد جملة صياغة النتيجة باعتبارها الزمن اللازم لانخفاض الكمية الابتدائية إلى النصف. ويُرفض معدل الاضمحلال الذي يساوي صفرًا أو يقل عنه، لأن ln(2)/0 لا قيمة له.

يرسم المخطط N(t) = N₀ × e^(−λt) من الزمن صفر إلى خمسة أعمار نصف، باستخدام 101 نقطة متباعدة بالتساوي. وبعد خمسة أعمار نصف، يتبقى 1/32 من الكمية الابتدائية، أي نحو 3.1%. ويمكن تنزيل المنحنى في صورة جدول بيانات بخطوة يحددها المستخدم.

مثال محلول

المثال 1: التأريخ بالكربون-14

يبلغ معدل اضمحلال الكربون-14 نحو 1.21 × 10⁻⁴ لكل سنة.

t½ = ln(2) / (1.21 × 10⁻⁴) ≈ 5,730 سنة

تتبادل الكائنات الحية الكربون مع الغلاف الجوي باستمرار، فتحافظ على ثبات مستوى الكربون-14 فيها. وبعد الموت، يتوقف هذا التبادل، ويبدأ الكربون-14 الموجود أصلًا في الاضمحلال وفق هذا المعدل. وتتيح مقارنة الكربون-14 المتبقي بالكربون-12 المستقر للعلماء تقدير الزمن المنقضي منذ موت الكائن. وتصبح الطريقة غير موثوقة بعد نحو 60,000 سنة، إذ لا يتبقى حينها سوى قدر ضئيل جدًا من الكربون-14 لقياسه بدقة.

المثال 2: اليود-131 في الطب

يُستخدم اليود-131 في علاج الغدة الدرقية والتصوير الطبي، ويبلغ معدل اضمحلاله نحو 0.0862 لكل يوم.

t½ = ln(2) / 0.0862 ≈ 8.04 أيام

بعد نحو 8 أيام، يكون نصف جرعة اليود-131 المعطاة قد اضمحل. وبعد عشرة أعمار نصف، أي نحو 80 يومًا، ينخفض النشاط الإشعاعي إلى نحو واحد من ألف من مستواه الأصلي، وتستخدم المستشفيات ذلك عند التخطيط لتدابير سلامة المرضى وتبديل الغرف.

المثال 3: معدل طرح دواء من الجسم

يُطرح دواء من الجسم بمعدل 0.2 لكل ساعة.

t½ = ln(2) / 0.2 ≈ 3.47 ساعات

يغادر نصف الدواء مجرى الدم خلال نحو 3.5 ساعات. ويستخدم الأطباء هذا الرقم لتحديد الفواصل بين الجرعات بحيث يبقى الدواء ضمن المجال العلاجي؛ فالفاصل القصير جدًا قد يؤدي إلى تراكمه واقترابه من مستويات سامة، بينما يتيح الفاصل الطويل جدًا انخفاض مستواه إلى ما دون الفعالية.

كميات ذات صلة

تصف بضعة مصطلحات أخرى عملية الاضمحلال نفسها من زوايا مختلفة.

• ثابت الاضمحلال (λ) هو المُدخل في معادلة عمر النصف. ويساوي ln(2)/t½، ويعطي احتمال اضمحلال ذرة معينة في وحدة الزمن.
• متوسط العمر (τ) هو متوسط الزمن الذي يوجد فيه الجسيم قبل اضمحلاله، ويساوي 1/λ، أو t½/ln(2). وهو أطول من عمر النصف بنحو 1.44 مرة.
• النشاط الإشعاعي، المقاس بالبيكريل أو الكوري، هو عدد الاضمحلالات في الثانية في عينة فعلية. وعلى خلاف λ، يعتمد النشاط الإشعاعي على كمية المادة الموجودة؛ فنشاط غرام من نظير قصير العمر أعلى بكثير من نشاط غرام من نظير طويل العمر.
• عمر النصف الفعّال ينطبق داخل الكائنات الحية، حيث تُزال المادة بالاضمحلال الفيزيائي وبعمليات بيولوجية مثل الإطراح. ويُحسب من العلاقة 1/t_eff = 1/t_physical + 1/t_biological، ويكون دائمًا أقصر من عمر النصف الفيزيائي وحده.

تطبيقات عمر النصف

التأريخ الإشعاعي. يؤرّخ الكربون-14 المواد العضوية التي يصل عمرها إلى نحو 60,000 سنة. وتؤرَّخ المواد الأقدم باستخدام نظائر أطول عمرًا؛ فاضمحلال اليورانيوم-238 إلى الرصاص-206، بعمر نصف يقارب 4.5 مليار سنة، يُستخدم لتأريخ الصخور التي تشكلت منذ نشأة الأرض.

إدارة النفايات النووية. يحتوي الوقود المستهلك على مزيج من النظائر ذات أعمار نصف مختلفة جدًا. ويصبح اليود-131 آمنًا خلال أشهر، بينما يحتاج البلوتونيوم-239، الذي يبلغ عمر نصفه نحو 24,000 سنة، إلى تخزين يمتد مئات آلاف السنين.

علم الأدوية. يحدد عمر نصف الدواء جدول جرعاته. ويصل إعطاء الجرعات بانتظام إلى تركيز ثابت في الدم بعد نحو خمسة أعمار نصف، كما يستغرق خفض مستوى الدواء في الجسم إلى مستوى مهمل نحو خمسة أعمار نصف أيضًا.

الطب النووي. يُستخدم التكنيشيوم-99m، الذي يبلغ عمر نصفه نحو 6 ساعات، على نطاق واسع في التصوير التشخيصي، لأنه يبقى نشطًا مدة تكفي لإنتاج صورة، لكنه يضمحل بسرعة كافية للحد من تعرض المريض للإشعاع.

التتبع البيئي. يُستخدم السيزيوم-137 (نحو 30 سنة) والسترونتيوم-90 (نحو 29 سنة) لتتبع التلوث الناجم عن الحوادث النووية، إذ إن أعمار نصفهما طويلة بما يكفي لبقائهما عقودًا، وقصيرة بما يكفي لاضمحلالهما في نهاية المطاف.

الأسئلة الشائعة

ما عمر النصف بمصطلحات بسيطة؟

عمر النصف هو الزمن اللازم لاختفاء نصف كمية ما أو تحوله إلى شيء آخر. إذا بدأنا بـ 100 غرام من نظير مشع، فسيبقى بعد عمر نصف واحد 50 غرامًا، وبعد عمر نصف آخر 25 غرامًا. ويظل هذا الزمن نفسه بغض النظر عن كمية المادة الموجودة عند البداية.

كيف يُحسب عمر النصف من معدل الاضمحلال؟

اقسم ln(2)، وقيمته نحو 0.693، على معدل الاضمحلال λ: t½ = ln(2)/λ. وتكون النتيجة بوحدة الزمن التي قيس بها λ، ولذلك يعطي المعدل لكل سنة عمر نصف بالسنوات.

هل تغيّر درجة الحرارة أو الضغط عمر النصف؟

لا. تحدد العمليات داخل النواة الذرية أعمار النصف المشعة، ولا تتأثر بدرجة الحرارة أو الضغط أو الحالة الكيميائية. ويختلف ذلك عن أعمار النصف البيولوجية أو الفعّالة، التي قد تتغير بتأثير عوامل مثل الأيض.

كم عمر نصف يلزم حتى تصبح المادة زائلة عمليًا؟

لا يصل الاضمحلال الأُسِّي إلى الصفر تمامًا، لكن بعد 10 أعمار نصف لا يبقى سوى نحو 0.1% من الكمية الأصلية، وهو مستوى يُعد مهملًا عادةً من الناحية العملية.

هل ينطبق عمر النصف على أشياء غير مشعة؟

نعم. لكل كمية تضمحل أُسِّيًا عمر نصف، بما في ذلك الكافيين الذي يغادر مجرى الدم، والأدوية التي يطرحها الجسم، وبعض الملوثات التي تتحلل في التربة أو الماء. وتنطبق المعادلة نفسها، t½ = ln(2)/λ، في كل حالة.

ما مدى دقة التأريخ بالكربون-14؟

بالنسبة إلى العينات التي يقل عمرها عن نحو 30,000 سنة، تكون النتائج دقيقة عادةً ضمن بضع مئات من السنين، بعد معايرتها بسجلات حلقات الأشجار لمراعاة التغيرات السابقة في مستويات الكربون-14 الجوي. وبعد نحو 60,000 سنة، لا يتبقى ما يكفي من الكربون-14 لإجراء قياس موثوق.

المراجع

1. L'Annunziata، Michael F. (2016). Radioactivity: Introduction and History, From the Quantum to Quarks. Elsevier Science. ISBN 978-0444634979.
2. Krane، Kenneth S. (1988). Introductory Nuclear Physics. Wiley. ISBN 978-0471805533.
3. المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا. "Radionuclide Half-Life Measurements." https://www.nist.gov/pml/radionuclide-half-life-measurements
4. الوكالة الدولية للطاقة الذرية. "Live Chart of Nuclides." https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html