Калкулатор за кръг: Намерете радиус, диаметър, площ и обиколка

Калкулатор за окръжност

Калкулаторът за окръжност намира радиуса, диаметъра и обиколката на окръжността, както и лицето на кръга, по всяка една от тези четири стойности. Въведете една известна мерна стойност и калкулаторът изчислява останалите три чрез стандартни геометрични формули.

Окръжността е множеството от всички точки в равнина, които са на еднакво разстояние от дадена точка, наречена център. Това постоянно разстояние е радиусът. Всички останали основни мерки на окръжността (диаметър, обиколка и лице) могат да се получат само от радиуса.

Как се използва калкулаторът

1. Изберете известния параметър: радиус, диаметър, обиколка или лице.
2. Въведете числовата му стойност. Стойността трябва да е нула или по-голяма; отрицателните дължини и лица нямат физически смисъл.
3. Калкулаторът показва радиуса, диаметъра, обиколката и лицето, като всяка стойност е закръглена до два знака след десетичната запетая.

Въвеждането на нула е допустимо и връща нула и за четирите измервания, тъй като окръжност с радиус нула е една точка. Нечисловите стойности водят до грешка при проверката, вместо до резултат.

Формули за окръжност

Нека r означава радиус, а d — диаметър. Константата π (пи) е приблизително 3,14159; тя е отношението на обиколката на окръжност към нейния диаметър.

Диаметър по радиус:

$d = 2r$

Обиколка:

$C = 2\pi r = \pi d$

Лице:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Радиус по обиколка:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Радиус по лице:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

От всяка една стойност останалите три се получават, като първо се намери радиусът, а след това се приложат горните формули за диаметър, обиколка и лице.

Как се изчисляват параметрите на окръжност от всяка начална стойност

Начална стойност: радиус (r):

• Диаметър: d = 2r
• Обиколка: C = 2πr
• Лице: A = πr²

Начална стойност: диаметър (d):

• Радиус: r = d / 2
• Обиколка: C = πd
• Лице: A = πd² / 4

Начална стойност: обиколка (C):

• Радиус: r = C / (2π)
• Диаметър: d = C / π
• Лице: A = πr²

Начална стойност: лице (A):

• Радиус: r = √(A / π)
• Диаметър: d = 2r
• Обиколка: C = 2πr

Пример

Окръжност има радиус 5 единици.

• Диаметър: d = 2 × 5 = 10 единици
• Обиколка: C = 2π × 5 ≈ 31,42 единици
• Лице: A = π × 5² ≈ 78,54 квадратни единици

Същата окръжност може да се зададе и чрез обиколката ѝ от около 31,42 единици. Делението на 2π връща радиус от 5 единици, а диаметърът и лицето се получават както преди. Всяка една от четирите стойности определя останалите три.

Формули за окръжност в геометрията

Числото π е ирационално, което означава, че десетичните му цифри нито свършват, нито се повтарят. Древните математици са го приближавали: вавилонците и египтяните са използвали груби дроби, а Архимед от Сиракуза (287–212 пр. Хр.) е ограничил стойността му между 223/71 и 22/7 с помощта на вписани и описани многоъгълници. Уилям Джоунс пръв използва символа π в съвременното му значение през 1706, а приемането му от Леонард Ойлер през 1737 го превръща в стандарт. Съвременните калкулатори използват π с много повече десетични знаци, отколкото изисква което и да е физическо измерване.

Формулите за окръжност се прилагат в области като инженерството, където се използват за определяне на размерите на тръби, зъбни колела и колела; строителството, където определят нужния материал за кръгли конструкции; и астрономията, където орбитите често се приближават с окръжности или елипси.

Често задавани въпроси

Как се изчислява обиколката на окръжност? Умножете радиуса по 2π или диаметъра по π: C = 2πr = πd. Окръжност с радиус 5 единици има обиколка приблизително 31,42 единици.

Каква е формулата за лицето на кръг? Лицето е равно на π, умножено по квадрата на радиуса: A = πr². Кръг с радиус 5 единици има лице приблизително 78,54 квадратни единици.

Как се намира радиусът от обиколката? Обиколката се дели на 2π (около 6,2832). Обиколка от 31,42 единици дава радиус от 5 единици.

Как се намира радиусът от лицето? Лицето се дели на π и от полученото се извлича квадратен корен: r = √(A / π). Лице от 78,54 квадратни единици дава радиус от 5 единици.

Каква е връзката между диаметъра и радиуса? Диаметърът винаги е два пъти по-голям от радиуса (d = 2r), а радиусът винаги е половината от диаметъра (r = d / 2).

Могат ли измерванията на окръжност да използват произволна мерна единица? Да. Радиусът, диаметърът и обиколката използват една и съща единица за дължина, например сантиметри или инчове, а лицето се изразява в квадратни единици. Калкулаторът не преобразува мерните единици; резултатите използват единицата, която е въведена.

Източници

1. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. A history of Pi. История на числото π — границите на Архимед 223/71 < π < 22/7; ранни египетски и месопотамски стойности; Уилям Джоунс използва π през 1706, а Ойлер го възприема през 1737.