Калкулатор за разпределение на Лаплас - Безплатен PDF и инструмент за визуализация

Какво представлява разпределението на Лаплас?

Разпределението на Лаплас, наричано още двойно експоненциално разпределение, е непрекъснато вероятностно разпределение, чиято форма наподобява две експоненциални криви, съединени гръб до гръб в пиковата си точка. То е симетрично спрямо централна стойност и има по-тежки опашки от нормалното разпределение, поради което приписва по-голяма вероятност на екстремни стойности. Калкулаторът за разпределение на Лаплас на тази страница намира максималната стойност на плътността на вероятността на разпределението по параметър на позицията и параметър на мащаба и начертава пълната крива на плътността.

Разпределението е наречено на френския математик Пиер-Симон Лаплас, който го описва за първи път през 1774.

Формула на разпределението на Лаплас

Функцията на плътността на вероятността (PDF) на разпределението на Лаплас е:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x е произволна точка върху числовата ос.
• μ (мю), параметърът на позицията, е центърът на разпределението. Той е също така средната стойност и медианата.
• b, параметърът на мащаба, определя степента на разсейване на разпределението. Той трябва да е по-голям от 0.
• |x − μ| е разстоянието между x и центъра без отчитане на посоката.

Кривата достига най-високата си точка точно при x = μ. В тази точка формулата се опростява, тъй като |μ − μ| = 0 и exp(0) = 1, което дава:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Тази пикова стойност, 1/(2b), е числото, което калкулаторът показва.

Как се използва калкулаторът за разпределение на Лаплас

1. Въведете параметъра на позицията (μ). Той определя къде е центрирано разпределението.
2. Въведете параметъра на мащаба (b). Той трябва да е положително число; колкото по-голяма е стойността, толкова по-полегата и по-разтеглена е кривата.
3. Калкулаторът показва пиковата плътност, 1/(2b), и начертава кривата на плътността f(x) от μ − 4b до μ + 4b. Вертикалната ос на графиката е плътността на вероятността, а кривата може да бъде изтеглена като таблица със стойности на x и f(x).

Калкулаторът не приема отделна стойност за x. Той винаги показва плътността в собствения пик на разпределението, x = μ, тъй като това е най-полезното единично обобщаващо число за сравняване на разпределения с различни мащаби. За да намерите плътността в друга точка, използвайте горната формула със съответната стойност на x или отчетете височината от графиката.

Пример с решение

Нека местоположението е μ = 4, а мащабът е b = 2.

1. Проверете, че b е положително: 2 > 0, следователно входните данни са валидни.
2. Пикът е при x = μ = 4, където |x − μ| = 0.
3. Изчислете пиковата плътност: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Калкулаторът показва 0,250000. Начертаната крива достига пик в (4, 0,25) и намалява симетрично от двете страни, простирайки се от μ − 4b до μ + 4b, тоест в този случай от −4 до 12.

Тъй като формулата за пиковата плътност, 1/(2b), не включва μ, промяната на местоположението само измества кривата наляво или надясно. Тя не променя височината ѝ. Само параметърът на мащаба променя височината.

Още примери

Средна стойност, дисперсия и стандартно отклонение

За разпределение на Лаплас с местоположение μ и мащаб b:

• Средна стойност = μ
• Медиана = μ
• Дисперсия = 2b²
• Стандартно отклонение = b√2

Разпределение на Лаплас и нормално разпределение

И двете разпределения са симетрични и имат камбановидна форма, като и двете се описват напълно чрез център и параметър на разсейването. Разликата е в опашките. При нормалното разпределение плътността намалява с квадрата на разстоянието от средната стойност, така че екстремните стойности много бързо стават пренебрежимо редки. При разпределението на Лаплас тя намалява с обикновеното разстояние, поради което екстремните стойности остават сравнително по-вероятни. Това прави разпределението на Лаплас полезно, когато реалните данни съдържат повече отклоняващи се стойности, отколкото би предвидило нормалното разпределение.

Обичайни приложения

• Обработка на сигнали и изображения: моделиране на шум и компресиране на изображения, тъй като разликите между пиксели или сигнали често се групират около нулата, с редки големи скокове.
• Диференциална поверителност: механизмът на Лаплас добавя шум с разпределение на Лаплас към резултатите от заявки, за да защити индивидуалните данни, като същевременно запазва общата точност.
• Робастна статистика и регресия: регресията Lasso използва априорно разпределение с форма на Лаплас, което предпочита решения, при които много коефициенти са точно нулеви.
• Финанси: моделиране на доходността на активи, която обикновено има по-тежки опашки, отколкото предполага нормалното разпределение.
• Сеизмология: използва се в модели на закономерности при магнитуда на земетресенията, свързани със закона на Гутенберг–Рихтер.

Често задавани въпроси

Какво означава резултатът от калкулатора?

Това е пиковата, или максималната, стойност на функцията на плътността на вероятността, равна на 1/(2b). Това е височината на кривата в нейния център, x = μ.

Защо калкулаторът не изисква стойност за x?

Пиковата плътност, 1/(2b), е една и съща при всяка стойност на x, равна на μ, така че за намирането ѝ не е необходим отделен вход за x. Това е стандартното едно число, използвано за сравнение на това колко високи и тесни или ниски и широки са две разпределения на Лаплас. Пълната крива, която показва плътността при всяка стойност на x, е достъпна на графиката.

Как да намеря плътността в точка, различна от пика?

Използвайте формулата $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ със съответната стойност на x или отчетете височината директно от начертаната крива.

По какво се различава разпределението на Лаплас от експоненциалното разпределение?

Разпределението на Лаплас може да се изгради от две експоненциални разпределения. Ако X и Y са независими експоненциални случайни величини с еднакъв параметър на интензитета, тогава X − Y следва разпределение на Лаплас, центрирано около 0.

Какви са типичните приложения на разпределението на Лаплас?

То се използва при обработка на сигнали, компресиране на изображения, диференциална поверителност, робастна статистика, регресия Lasso и моделиране на финансовата доходност и магнитудите на земетресенията — навсякъде, където реалните данни показват повече екстремни стойности, отколкото предвижда нормалното разпределение.

Разпределението на Лаплас може ли да бъде отрицателно или се използва само за положителни стойности?

То е дефинирано за всички реални числа — и положителни, и отрицателни, за разлика от експоненциалното разпределение, което приема само неотрицателни стойности.

Източници

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution