Точен тест на Фишер - Безплатен статистически инструмент

Какво представлява точният тест на Фишер?

Точният тест на Фишер е статистически метод, който проверява дали съществува зависимост между две категорийни променливи, като използва данни, подредени в таблица 2×2. Той изчислява точна вероятност, наречена p-стойност, вместо приближение. Това го прави полезен при малка извадка.

Тестът сравнява броевете в два реда и две колони, например пациенти, които са получили или не са получили лечение и са се възстановили или не са се възстановили. Таблица 2×2 има четири клетки, обикновено означени с A, B, C и D, както и сборове по редове и колони.

Точният тест на Фишер спрямо теста хи-квадрат

Тестът хи-квадрат също проверява за връзка между две категорийни променливи, но се основава на приближение, което работи добре само когато броевете в клетките са достатъчно големи. Обичайно практическо правило е: ако очакваният брой в която и да е клетка на таблицата е под 5, приближението хи-квадрат става ненадеждно и точният тест на Фишер е по-добрият избор. Точният тест на Фишер работи при всякакъв размер на извадката, но е математически точен, а не приблизителен, което е основното му предимство при малки извадки.

Как се изчислява точният тест на Фишер

Тестът използва хипергеометричното разпределение, което описва вероятността да бъдат изтеглени определен брой елементи от група без връщането им обратно. Като се знаят сборовете по редове и колони на таблицата, хипергеометричното разпределение дава вероятността за всяко конкретно разпределение на броевете в четирите клетки.

Формулата за вероятността

За таблица с клетки A, B, C и D, сборове по редове r₁ = A + B и r₂ = C + D, сборове по колони c₁ = A + C и c₂ = B + D и общ размер на извадката n = A + B + C + D, вероятността на тази конкретна таблица е:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Тук „!“ означава факториел: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Едностранна p-стойност

Едностранната p-стойност сумира вероятността на наблюдаваната таблица и на всяка друга таблица със същите сборове по редове и колони, която показва също толкова силна или по-силна връзка в същата посока. „Посоката“ се определя чрез сравняване на клетка A със стойността, която би имала, ако двете променливи не са свързани; тази стойност се нарича очаквана стойност: E(A) = r₁c₁ / n.

• Ако A е равна на или по-голяма от E(A), връзката клони към положителна и сумата обхваща всяка възможна стойност на клетка A от наблюдаваната стойност до най-високата възможна стойност.
• Ако A е по-малка от E(A), връзката клони към отрицателна и сумата се изчислява от най-ниската възможна стойност на клетка A до наблюдаваната стойност.

Двустранна p-стойност

Двустранната p-стойност сумира вероятностите на всяка възможна таблица със същите сборове по редове и колони, чиято вероятност е равна на или по-малка от вероятността на наблюдаваната таблица. Така се отчитат екстремни резултати и в двете посоки, поради което двустранната p-стойност обикновено е по-голяма от едностранната p-стойност, изчислена от същата таблица.

Пример с решение

При малко изпитване ново лекарство е приложено на 10 пациенти, а плацебо — на други 10. Резултатите са:

Тук A = 8, B = 2, C = 3, D = 7, а n = 20. Очакваната стойност на A при независимост е E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Тъй като 8 е над 5,5, връзката клони към положителна, така че едностранната сума се изчислява от A = 8 до най-високата възможна стойност на A, която е 10.

Изчисляването на хипергеометричните вероятности за A = 8, 9 и 10 дава едностранна p-стойност приблизително 0,0349. Сумирането на вероятностите на всяка таблица (в двете посоки) с вероятност, равна на или по-малка от вероятността на наблюдаваната таблица, дава двустранна p-стойност приблизително 0,0698.

При обичайния праг 0,05 едностранният резултат се счита за статистически значим, а двустранният — не. Това показва защо изборът на вида на теста има значение: едностранен тест е подходящ само когато посоката на ефекта (в този случай, че лекарството подобрява резултатите) е била предсказана преди разглеждането на данните.

Кога се използва точният тест на Фишер

Точният тест на Фишер се използва често при:

• Клинични изпитвания с малък брой пациенти.
• Контрол на качеството при сравняване на броя дефекти между две производствени партиди.
• Генетични изследвания, сравняващи броя прояви на даден признак в две малки групи.
• Всяка таблица 2×2, в която очакваният брой в някоя клетка е под 5.

Често задавани въпроси

За какво се използва точният тест на Фишер? Той проверява дали две категорийни променливи са свързани, като използва броевете от таблица 2×2. Често се избира вместо теста хи-квадрат, когато извадката е малка.

Кога трябва да се използва точният тест на Фишер вместо теста хи-квадрат? Когато очакваният брой в която и да е клетка на таблицата е под 5 или когато е необходима допълнителна сигурност относно точната вероятност независимо от размера на извадката.

Каква е разликата между едностранните и двустранните резултати? Едностранната p-стойност проверява предварително предсказана посока на ефекта, определена преди преглеждането на данните. Двустранната p-стойност проверява дали съществува връзка в която и да е посока. Двустранната p-стойност от същата таблица обикновено е по-голяма.

Този калкулатор отчита ли отношение на шансовете? Не. Той отчита само точната p-стойност. Отношението на шансовете за същата таблица може да се намери отделно, като A × D се раздели на B × C.

Може ли точният тест на Фишер да се използва за таблици, по-големи от 2×2? Описаната тук версия е предназначена за таблици 2×2. За по-големи таблици е необходим сроден метод, наречен разширение на Фрийман–Халтън, който се предлага в повечето статистически софтуерни продукти.

Може ли точният тест на Фишер да се използва за свързани данни, например измервания преди и след при едни и същи хора? Не. Той приема, че групите са независими. За свързани категорийни данни се използва тестът на МакНемар.

Източници

1. Фишер, R.A. (1922). „On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.“ Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Фрийман, G.H. и Халтън, J.H. (1951). „Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.“ Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Агрети, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3-то изд.). Wiley.