Calculadora d'Arcs - Calcula Radi, Llum i Fletxa

Què és una calculadora d’arcs?

Una calculadora d’arcs determina les dimensions d’un arc circular —el radi, la llum i la fletxa— a partir de dos d’aquests valors. També calcula la longitud de l’arc i l’àrea de l’arc. Arquitectes, constructors i aficionats la fan servir per planificar portes, finestres, ponts i elements de jardí amb forma corba.

Dimensions principals de l’arc

Un arc circular és una part retallada de la vora d’un cercle. Cinc mesures en descriuen la forma:

• Radi: la distància des del centre d’aquest cercle fins a qualsevol punt de la corba de l’arc.
• Llum: la distància horitzontal en línia recta entre els dos extrems inferiors de l’arc, també anomenada amplada.
• Fletxa: la distància vertical des de la línia d’arrencada (la línia horitzontal que uneix els dos extrems) fins al punt més alt de l’arc.
• Longitud de l’arc: la distància al llarg de la línia corba de l’arc, d’un extrem a l’altre.
• Àrea de l’arc: l’àrea de la regió corba delimitada entre l’arc i la línia d’arrencada.

Fórmules de les dimensions de l’arc

Aquestes fórmules s’apliquen a un arc circular, construït a partir d’un segment d’un únic cercle. Són vàlides per a qualsevol fletxa de fins a dues vegades el radi. Aquest interval inclou els arcs de portes, finestres i ponts que calcula la majoria de la gent, i també els arcs de ferradura, en què la corba continua més enllà de la meitat d’un cercle.

Fórmula de la fletxa (a partir del radi i la llum)

$\text{Alçada} = \text{Radi} - \sqrt{\text{Radi}^2 - \left(\frac{\text{Llum}}{2}\right)^2}$

Vàlida quan el radi i la llum són positius i la llum ≤ 2 × radi.

Fórmula del radi (a partir de la llum i la fletxa)

$\text{Radi} = \frac{\text{Llum}^2}{8 \times \text{Alçada}} + \frac{\text{Alçada}}{2}$

Vàlida quan la llum i la fletxa són positives.

Fórmula de la llum (a partir del radi i la fletxa)

$\text{Llum} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Radi} \times \text{Alçada} - \text{Alçada}^2}$

Vàlida quan el radi i la fletxa són positius i la fletxa ≤ 2 × radi.

Fórmula de la longitud de l’arc

$\text{Longitud de l’arc} = \text{Radi} \times \theta$

Aquí θ (theta) és l’angle central, en radians, que traça la corba de l’arc al centre del cercle. Quan la fletxa no és més gran que el radi, l’arc és com a màxim una semicircumferència i θ és:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Llum}}{2 \times \text{Radi}}\right)$

Quan la fletxa és més gran que el radi, l’arc supera la semicircumferència i θ recorre la part restant:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Llum}}{2 \times \text{Radi}}\right)$

La calculadora cobreix tots dos casos en un sol pas: θ = 2 × atan2(Llum ÷ 2, Radi − Fletxa), que també manté el resultat exacte en el cas de la semicircumferència.

Fórmula de l’àrea de l’arc

$\text{Àrea de l’arc} = \frac{1}{2} \times \text{Radi}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Llum} \times (\text{Radi} - \text{Alçada})$

Com s’utilitza la calculadora d’arcs

La calculadora ofereix tres modes, un per a cada dimensió que pot faltar.

Calcular la fletxa, quan es coneixen el radi i la llum: introduïu el radi i la llum. L’eina retorna la fletxa, la longitud de l’arc i l’àrea de l’arc.

Calcular el radi, quan es coneixen la llum i la fletxa: introduïu la llum i la fletxa. L’eina retorna el radi, la longitud de l’arc i l’àrea de l’arc.

Calcular la llum, quan es coneixen el radi i la fletxa: introduïu el radi i la fletxa. L’eina retorna la llum, la longitud de l’arc i l’àrea de l’arc.

La calculadora rebutja les entrades que no poden formar un arc real. La llum no pot superar dues vegades el radi, la fletxa no pot superar dues vegades el radi i totes les dimensions han de ser nombres positius. Mostra un missatge d’error quan un valor incompleix alguna d’aquestes regles.

Exemple resolt

Exemple 1: arc d’una porta

Un arc de porta té una llum de 36 polzades (91,4 cm) i una fletxa de 12 polzades (30,5 cm).

Radi = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 polzades (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radians

Longitud de l’arc = 19,5 × 2,352 = 45,86 polzades

Àrea de l’arc = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 polzades quadrades (2.010 cm²)

Exemple 2: arc de jardí

Un arc de jardí té un radi de 4 peus (1,2 m) i una llum de 6 peus (1,8 m).

Fletxa = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 peus (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radians

Longitud de l’arc = 4 × 1,696 = 6,78 peus

Àrea de l’arc = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 peus quadrats (0,523 m²)

Exemple 3: arc de pont

Un arc de pont té una llum de 50 peus (15 m) i una fletxa de 15 peus (4,57 m).

Radi = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 peus (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radians

Longitud de l’arc = 28,33 × 2,162 = 61,25 peus

Àrea de l’arc = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 peus quadrats (49,6 m²)

Usos habituals dels càlculs d’arcs

Els constructors utilitzen les dimensions dels arcs per tallar l’encofrat dels arcs de formigó, traçar plantilles de maçoneria per als arcs de maó o pedra i planificar la curvatura dels sostres voltats. Els dissenyadors de ponts fan servir la llum, la fletxa i el radi per equilibrar la distribució de les càrregues amb el gàlib. Les obres de restauració recorren a les mateixes fórmules per reproduir la geometria exacta d’un arc històric quan el reparen o el reconstrueixen. Els jardiners i els aficionats al bricolatge les utilitzen per a pèrgoles arquejades, portes d’entrada i obertures decoratives.

Aquesta calculadora només cobreix els arcs circulars, formats per l’arc d’un únic cercle. Els arcs el·líptics, parabòlics, gòtics i de catenària segueixen corbes diferents i necessiten fórmules diferents.

Una breu història de l’arc

Els constructors de l’antiga Mesopotàmia ja utilitzaven formes semblants als arcs cap al 2500 aC, tot i que la majoria es construïen amb voltes de filades, apilant les pedres de manera que cada capa sobresortís de la inferior, en lloc de formar un arc corbat autèntic. Els romans van convertir l’arc de mig punt en un mètode constructiu estàndard i el van utilitzar en aqüeductes, ponts i edificis com el Colosseu. Els constructors medievals d’Europa van desenvolupar l’arc apuntat gòtic, que els permetia construir estructures més altes i lleugeres. Més endavant, els arquitectes van recuperar les formes semicirculars basades en proporcions precises, i materials moderns com l’acer i el formigó armat permeten que els arcs cobreixin distàncies molt més grans.

Preguntes més freqüents

Quina diferència hi ha entre la fletxa i l’alçada d’un arc?

La fletxa és la distància vertical des de la línia d’arrencada fins al punt més alt de la corba de l’arc. De vegades, l’alçada fa referència a l’alçada total d’una obertura, incloent-hi qualsevol paret recta situada per sota de la línia d’arrencada.

Aquesta calculadora funciona per a tots els tipus d’arcs?

No. Només funciona per als arcs circulars, amb la forma d’un segment de cercle. Els arcs el·líptics, parabòlics, gòtics i de catenària segueixen corbes diferents i necessiten fórmules específiques.

Quina relació hi ha entre la llum i el radi en un arc de mig punt?

En un arc de mig punt, el radi és igual a la meitat de la llum i la fletxa és igual al radi. L’arc forma exactament la meitat d’un cercle.

Per què la llum no pot ser més gran que dues vegades el radi?

Una llum igual a dues vegades el radi ja produeix una semicircumferència, l’arc més ample possible per a aquest radi. Una llum més gran no cabria en el cercle.

Per què la fletxa no pot ser més gran que dues vegades el radi (en el mode de càlcul de la llum)?

La fletxa es mesura des de la línia d’arrencada fins al punt més alt de l’arc en el mateix cercle. Dues vegades el radi corresponen a l’alçada total d’aquest cercle, de manera que una fletxa més gran situaria la part superior de l’arc fora del cercle. Una fletxa entre el radi i dues vegades el radi és vàlida. En aquest cas, l’arc supera la semicircumferència, com en els arcs de ferradura.

Quines unitats utilitza la calculadora?

Es pot utilitzar qualsevol unitat coherent: polzades, peus, metres o centímetres. Introduïu tots els valors en la mateixa unitat i els resultats s’expressaran en aquesta mateixa unitat, amb l’àrea en unitats quadrades.