Calculadora SAG: Eina de Càlcul de Fletxa de Cables i Línies Elèctriques

Què és la fletxa del cable?

La fletxa és la distància vertical entre una línia recta que uneix dos suports i el punt més baix d’un cable tensat entre aquests suports. Es produeix perquè el propi pes del cable l’estira cap avall mentre els suports en mantenen els extrems. Una calculadora de fletxa determina aquesta distància a partir de tres dades: la llum entre els suports, el pes del cable per unitat de longitud i la tensió horitzontal que hi actua. Els enginyers l’utilitzen en línies elèctriques, ponts penjants, telefèrics i cables de telecomunicacions.

Fórmula de la fletxa

Per a un cable que penja formant una corba poc pronunciada, la fletxa es pot estimar amb la fórmula parabòlica de la fletxa:

$S = \frac{w \times g \times L^2}{8T}$

On:

• $w$ = massa del cable per unitat de longitud, en quilograms per metre (kg/m)
• $g$ = acceleració de la gravetat estàndard, 9,80665 m/s², que converteix aquesta massa en una força cap avall
• $L$ = longitud de la llum entre els suports, en metres (m)
• $T$ = tensió horitzontal del cable, en newtons (N)
• $S$ = fletxa, la desviació vertical màxima, en metres (m)

El terme $w \times g$ converteix la massa del cable per unitat de longitud en un pes per unitat de longitud (una força, mesurada en newtons per metre). Aquest pas és important perquè la tensió és una força. Barrejar un pes basat en la massa amb una tensió basada en una força sense el terme de la gravetat dona un resultat massa petit, per un factor d’aproximadament 9,8.

Aquesta fórmula s’obté aproximant la forma real del cable, una corba anomenada catenària, amb una paràbola. L’aproximació és adequada quan la fletxa és petita en comparació amb la llum, aproximadament per sota de 10 % de la longitud de la llum. Els cables més llargs i més fluixos requereixen, en canvi, l’equació completa de la catenària.

Com calcular la fletxa d’un cable

1. Mesureu la llum: la distància horitzontal en línia recta entre els dos suports, en metres.
2. Determineu el pes del cable per unitat de longitud, en quilograms per metre. En una línia elèctrica, això inclou el conductor i qualsevol element auxiliar fixat.
3. Determineu la tensió horitzontal del cable, en newtons.
4. Multipliqueu el pes per unitat de longitud per 9,80665 i després pel quadrat de la llum.
5. Dividiu aquest resultat per 8 vegades la tensió.

Exemple resolt: línia elèctrica aèria

Una línia elèctrica de mitjana tensió té els valors següents:

• Llum: 300 m
• Pes del conductor: 1,2 kg/m
• Tensió horitzontal: 15.000 N

$S = \frac{1.2 \times 9.80665 \times 300^2}{8 \times 15{,}000} = \frac{1{,}059{,}118.2}{120{,}000} \approx 8.83 \text{ m}$

En el punt més baix, el conductor penja aproximadament 8,83 m per sota de la línia recta que uneix les dues torres.

Exemple resolt: cable d’un remuntador d’esquí

Un cable de remuntador d’esquí, que suporta el pes de les seves cadires, té els valors següents:

• Llum: 200 m
• Pes del cable: 8 kg/m
• Tensió horitzontal: 100.000 N

$S = \frac{8 \times 9.80665 \times 200^2}{8 \times 100{,}000} = \frac{3{,}138{,}128}{800{,}000} \approx 3.92 \text{ m}$

Per què la fletxa és important en enginyeria

La fletxa afecta diversos aspectes del disseny d’un projecte:

• Gàlib. Les normes estableixen distàncies mínimes entre les línies elèctriques i el terra, els edificis o els vehicles. Els càlculs de la fletxa confirmen que una línia compleix aquests límits en les condicions previstes.
• Alçada dels suports. Les torres, els pals i les pilones han de ser prou alts per mantenir el punt més baix del cable allunyat dels obstacles.
• Planificació de la tensió. Una tensió més gran redueix la fletxa, però també augmenta les tensions mecàniques del cable i dels seus suports; per això els enginyers han d’equilibrar tots dos factors.
• Canvis de temperatura i de càrrega. La calor dilata el cable i n’augmenta la fletxa; el gel o el vent hi afegeixen pes i n’augmenten encara més la fletxa. Normalment es comprova el cable en diverses condicions de temperatura i càrrega, no només en una.

Límits de la fórmula parabòlica

La fórmula parabòlica és una aproximació, no una solució exacta. Funciona millor quan la fletxa és petita respecte de la llum. Alguns factors que no té en compte són:

• Allargament elàstic. Els cables reals s’allarguen lleugerament sota tensió, un efecte que la fórmula bàsica ignora.
• Canvi de temperatura. La fórmula no té en compte com la calor o el fred modifiquen la longitud del cable.
• Vent i gel. Les càrregues addicionals causades per la meteorologia no s’inclouen tret que s’afegeixin a la dada del pes.
• Relacions grans entre fletxa i llum. Quan la fletxa supera aproximadament 10 % de la llum, l’equació completa de la catenària, basada en la funció cosinus hiperbòlic, dona un resultat més precís.

Preguntes freqüents

Què és la fletxa d’una línia elèctrica? La fletxa és el descens vertical des de la línia recta entre dues torres de suport fins al punt més baix del conductor. És causada pel propi pes del conductor.

Quina és la fórmula de la fletxa? La fletxa és igual al pes del cable per unitat de longitud, multiplicat per la gravetat estàndard i pel quadrat de la llum, dividit per 8 vegades la tensió horitzontal: Fletxa = (w × g × L²) / (8T).

Per què la fórmula inclou la gravetat si ja hi introdueixo un pes? La dada d’entrada és una massa per unitat de longitud, en quilograms per metre, no una força. Multiplicar-la per la gravetat (9,80665 m/s²) converteix aquesta massa en una força per unitat de longitud, en newtons per metre, de manera que coincideix amb les unitats de la tensió.

Com afecta la longitud de la llum la fletxa? La fletxa augmenta amb el quadrat de la llum. Si es duplica la llum i es mantenen constants tots els altres factors, la fletxa es multiplica aproximadament per quatre.

La tensió pot reduir la fletxa a zero? No. Reduir la fletxa a zero requeriria una tensió infinita, que cap cable real no pot suportar. Els cables es dissenyen perquè pengin amb una fletxa petita i controlada.

Quan s’ha d’utilitzar l’equació completa de la catenària en lloc d’aquesta fórmula? Quan la fletxa és gran respecte de la llum, aproximadament més de 10 %, o quan calen resultats precisos per al disseny o les comprovacions de seguretat. L’equació de la catenària és y = (T/w)[cosh(wx/T) − 1], on w és el pes per unitat de longitud expressat com una força.