Calculadora de Seccions Còniques i Excentricitat

Calculadora de Seccions Còniques

Introducció

Només tallant un con amb un pla, pots obtenir moltes corbes interessants conegudes com a seccions còniques. Aquestes inclouen el cercle, el·lipse, paràbola i hipèrbola. Les seccions còniques són fonamentals en matemàtiques i apareixen en diversos camps com l'astronomia, la física, l'enginyeria i l'arquitectura.

La nostra Calculadora de Seccions Còniques et permet explorar aquestes fascinants corbes calculant la seva excentricitat i derivant les seves equacions estàndard en funció dels teus paràmetres d'entrada. Endinsa't en el món de les seccions còniques i descobreix les seves propietats i aplicacions úniques.

Com Utilitzar Aquesta Calculadora

Selecciona el Tipus de Secció Cònica:
- Cercle
- El·lipse
- Paràbola
- Hipèrbola
Introdueix els Paràmetres Necessaris:
- Cercle: Introdueix el Radi ( $r$ ).
- El·lipse: Introdueix l'Eix Semi-major ( $a$ ) i l'Eix Semi-minor ( $b$ ).
- Paràbola: Introdueix la Longitud Focal ( $f$ ).
- Hipèrbola: Introdueix l'Eix Transversal ( $a$ ) i l'Eix Conjugat ( $b$ ).
Fes clic a "Calcular" per calcular:
- L'Excentricitat ( $e$ ).
- L'Equació Estàndard de la secció cònica.
- Una Representació Visual de la corba.
Revisa els Resultats que es mostren a sota de la calculadora.

Validació d'Entrada

La calculadora realitza les següents comprovacions sobre les entrades de l'usuari:

Valors Positius: Tots els paràmetres d'entrada han de ser nombres reals positius.
Restriccions de l'El·lipse:
- L'Eix Semi-major ( $a$ ) ha de ser més gran o igual que l'Eix Semi-minor ( $b$ ).
Restriccions de l'Hipèrbola:
- L'Eix Transversal ( $a$ ) ha de ser més gran que l'Eix Conjugat ( $b$ ).

Si es proporcionen entrades no vàlides, es mostrarà un missatge d'error i els càlculs es detindran fins que s'introdueixin entrades vàlides.

Fórmula

L'excentricitat ( $e$ ) és un paràmetre clau que defineix la forma d'una secció cònica, indicant quant es desvia de ser circular.

Cercle

Excentricitat: $e = 0$
Equació Estàndard: $x^2 + y^2 = r^2$
Descripció: Un cercle és un cas especial d'una el·lipse on els punts focals coincideixen al centre, resultant en una excentricitat zero.

El·lipse

Excentricitat: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Equació Estàndard: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Paràmetres:
- $a$ : Eix Semi-major (radi més llarg).
- $b$ : Eix Semi-minor (radi més curt).
Descripció: Una el·lipse és una forma ovalada on la suma de les distàncies des de qualsevol punt de la corba a dos punts focals és constant.

Paràbola

Excentricitat: $e = 1$
Equació Estàndard (obrint-se cap a la dreta): $y^2 = 4 f x$
Paràmetres:
- $f$ : Longitud Focal (distància des del vèrtex al focus).
Descripció: Una paràbola és una corba plana simètrica oberta formada per la intersecció d'un con amb un pla paral·lel al seu costat.

Hipèrbola

Excentricitat: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Equació Estàndard: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Paràmetres:
- $a$ : Eix Transversal (distància des del centre a un vèrtex al llarg de l'eix x).
- $b$ : Eix Conjugat (relacionat amb la distància entre les asymptotes).
Descripció: Una hipèrbola consisteix en dues corbes separades anomenades branques, i la diferència de distàncies des de qualsevol punt de la corba a dos punts focals és constant.

Càlcul

A continuació es mostra com la calculadora calcula l'excentricitat i les equacions:

Per al Cercle:
- Excentricitat: $e = 0$ .
- Equació: $x^2 + y^2 = r^2$ .
Per a l'El·lipse:
- Comprovació: $a \geq b$ .
- Excentricitat: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Equació: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Per a la Paràbola:
- Excentricitat: $e = 1$ .
- Equació: $y^2 = 4 f x$
Per a la Hipèrbola:
- Comprovació: $a > b$ .
- Excentricitat: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Equació: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Casos Extrems:

L'El·lipse es converteix en un Cercle: Quan $a = b$ , l'el·lipse es simplifica a un cercle amb $e = 0$ .
Entrades No Vàlides:
- Valors negatius o zero són no vàlids.
- Per a les el·lipses i hipèrboles, si $b > a$ , els càlculs no poden continuar.

Unitats i Precisió

Unitats: Les unitats són arbitràries però han de ser consistents (per exemple, totes en metres, centímetres).
Precisió:
- Els càlculs utilitzen aritmètica de punt flotant de doble precisió.
- L'excentricitat es mostra amb fins a quatre decimals.
- Les equacions mantenen la mateixa precisió que els paràmetres d'entrada.

Casos d'Ús

Les seccions còniques tenen aplicacions àmplies:

Astronomia:
- Les òrbites planetàries són el·líptiques, amb el sol en un dels focs.
- Les rutes dels cometes poden ser parabòliques o hiperbòliques.
Física:
- Els miralls parabòlics enfoquen la llum i les ones sonores.
- Les trajectòries hiperbòliques descriuen certs moviments de partícules.
Enginyeria:
- Disseny de plats satèl·lit i telescopis utilitzant formes parabòliques.
- Torres de refrigeració hiperbòliques en plantes d'energia per a l'eficiència estructural.
Arquitectura:
- Arc el·líptic en ponts i edificis per a l'atractiu estètic i la força.
- Corbes parabòliques en ponts de suspensió.
Òptica:
- Formes de lents basades en seccions còniques per corregir aberracions òptiques.

Alternatives

Altres corbes i formes poden ser considerades depenent de l'aplicació:

Formes Circulars: Càlculs més simples quan la precisió de les seccions còniques no és necessària.
Corbes Spline: Utilitzades en gràfics per ordinador per a formes complexes.
Corbes Bezier: Emprades en disseny i animació per a corbes suaus i escalables.

Història

L'exploració de les seccions còniques data de fa més de dos mil anys:

Menaechmus (circa 350 aC): Primer descriví les seccions còniques mentre intentava resoldre el problema de duplicar el cub.
Euclides i Arquímedes: Estudiaren més a fons les propietats de les seccions còniques.
Apollonius de Perga (circa 200 aC): Conegut com el "Gran Geòmetra", va escriure l'obra seminal "Cònics", que va establir les bases per a l'estudi de les seccions còniques.
Johannes Kepler (segle XVII): Va descobrir que els planetes es mouen en òrbites el·líptiques, formulant les seves tres lleis del moviment planetari.
Isaac Newton: Va utilitzar les seccions còniques en la seva llei de la gravetat universal per descriure els moviments celestials.

Les seccions còniques han jugat un paper fonamental en l'avançament de les matemàtiques, la física i l'enginyeria, influenciant les tecnologies modernes i la comprensió científica.

Exemples

Excel (VBA)

1' Funció VBA per Calcular l'Excentricitat d'una Hipèrbola
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' Ús a Excel:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

Python

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("Paràmetres no vàlids: Assegura't que a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## Exemple d'ús:
10a = 5.0  # Eix Semi-major
11b = 3.0  # Eix Semi-minor
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"Excentricitat de l'el·lipse: {ecc:.4f}")
14

JavaScript

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("Paràmetres no vàlids: a ha de ser >= b > 0");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// Exemple d'ús:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`Excentricitat: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

MATLAB

1% Script MATLAB per Calcular l'Excentricitat d'una Paràbola
2% Per a una paràbola, l'excentricitat és sempre 1
3e = 1;
4fprintf('Excentricitat de la paràbola: %.4f\n', e);
5

C#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"Excentricitat d'una paràbola: {eccentricity}");
14    }
15}
16

Java

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("Excentricitat d'un cercle: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

Rust

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("Paràmetres no vàlids: a ha de ser > b > 0")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("Excentricitat: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("Error: {}", e),
15    }
16}
17

Exemples Numèrics

Cercle:
- Radi ( $r$ ): 5 unitats
- Excentricitat ( $e$ ): $0$
- Equació: $x^2 + y^2 = 25$
El·lipse:
- Eix Semi-major ( $a$ ): 5 unitats
- Eix Semi-minor ( $b$ ): 3 unitats
- Excentricitat ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- Equació: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
Paràbola:
- Longitud Focal ( $f$ ): 2 unitats
- Excentricitat ( $e$ ): $1$
- Equació: $y^2 = 8 x$
Hipèrbola:
- Eix Transversal ( $a$ ): 5 unitats
- Eix Conjugat ( $b$ ): 3 unitats
- Excentricitat ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- Equació: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Whiz Tools

Calculadora de Seccions Còniques i Excentricitat

Secció cònica

Documentació