Calculadora de Seccions Còniques - Cercle, El·lipse, Paràbola

Què és una calculadora de seccions còniques?

Una calculadora de seccions còniques troba l’excentricitat i l’equació estàndard d’una circumferència, una el·lipse, una paràbola o una hipèrbola a partir d’unes quantes mesures. Aquestes quatre corbes apareixen quan un pla talla un con amb angles diferents.

Les quatre seccions còniques

Tallar un con transversalment produeix una circumferència. Inclinar el pla produeix una el·lipse. Tallar-lo paral·lelament al costat del con produeix una paràbola. Tallar les dues meitats d’un con doble produeix una hipèrbola.

Cada corba té una excentricitat, un nombre que mostra fins a quin punt difereix d’una circumferència perfecta.

• Circumferència: $e = 0$
• El·lipse: $0 < e < 1$
• Paràbola: $e = 1$
• Hipèrbola: $e > 1$

Com s’utilitza aquesta calculadora

1. Trieu un tipus de secció cònica: circumferència, el·lipse, paràbola o hipèrbola.
2. Introduïu les mesures necessàries.
   • Circumferència: radi ($r$)
   • El·lipse: semieix major ($a$) i semieix menor ($b$)
   • Paràbola: distància focal ($f$)
   • Hipèrbola: semieix transvers ($a$) i semieix conjugat ($b$)
3. L’excentricitat i l’equació estàndard apareixen automàticament tan bon punt s’introdueixen valors vàlids i positius per al tipus de secció cònica seleccionat; no hi ha cap botó «Calcula» que calgui prémer.
4. A sota dels resultats es dibuixa un gràfic de la corba.

La calculadora mostra l’equació amb els nombres introduïts ja substituïts, de manera que una el·lipse amb $a = 5$ i $b = 3$ es mostra com $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. És la mateixa equació que $x^2/25 + y^2/9 = 1$. L’excentricitat es mostra amb quatre decimals.

Totes les entrades han de ser nombres positius. En una el·lipse, el semieix major ha de tenir una longitud almenys igual a la del semieix menor, perquè el semieix major es defineix com el més llarg. Una hipèrbola no té aquesta restricció: el semieix transvers i el semieix conjugat poden tenir qualsevol longitud positiva, fins i tot ser iguals.

Fórmula de la circumferència

Per a una circumferència de radi $r$ centrada a l’origen:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Excentricitat: $e = 0$.

Una circumferència és un cas especial d’una el·lipse en què tots dos eixos tenen la mateixa longitud i tots dos focus se situen al centre.

Fórmula de l’el·lipse

Per a una el·lipse centrada a l’origen amb semieix major $a$ i semieix menor $b$, on $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Exemple: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Equació: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Quan $a = b$, l’el·lipse es converteix en una circumferència i $e = 0$.

Fórmula de la paràbola

Per a una paràbola oberta cap a la dreta, amb distància focal $f$ (la distància del vèrtex al focus):

$$y^2 = 4fx$$

Excentricitat: $e = 1$, sempre.

Exemple: $f = 2$. Equació: $y^2 = 8x$.

Fórmula de la hipèrbola

Per a una hipèrbola centrada a l’origen amb semieix transvers $a$ i semieix conjugat $b$, on $a$ i $b$ són nombres positius qualssevol:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

El semieix transvers $a$ és la meitat de la distància entre els dos vèrtexs, els punts on la corba canvia de direcció. El semieix conjugat $b$ és la meitat de la longitud de l’eix conjugat, el segment traçat perpendicularment a aquest eix passant pel centre. Determina la rapidesa amb què s’obren les branques.

A diferència d’una el·lipse, una hipèrbola no exigeix que $a$ sigui més gran que $b$. Les dues longituds són independents, de manera que $b$ pot ser més petit, igual o més gran que $a$. Quan $a = b$, la corba s’anomena hipèrbola rectangular, amb una excentricitat de $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Exemple: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Equació: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Usos de les seccions còniques en el món real

Els planetes i els cometes segueixen òrbites amb forma de seccions còniques. La primera llei de Kepler estableix que l’òrbita d’un planeta és una el·lipse amb el Sol en un dels focus. Alguns cometes segueixen trajectòries parabòliques o hiperbòliques i no tornen mai.

Les paràboles concentren els raigs paral·lels en un sol punt, de manera que els enginyers utilitzen formes parabòliques en antenes parabòliques, miralls de telescopi i fars d’automòbil. Les corbes hiperbòliques apareixen a les parets de les torres de refrigeració, on la forma proporciona resistència amb menys material. Les el·lipses apareixen en arcs, sostres de galeries de xiuxiueig i dissenys d’engranatges.

Breu història de les seccions còniques

El matemàtic grec Menecme va estudiar les seccions còniques cap a 350 aC mentre intentava resoldre el problema de la duplicació del cub. Apol·loni de Perge va escriure un tractat detallat titulat Coniques cap a 200 aC. Va donar nom a l’el·lipse, la paràbola i la hipèrbola i en va descriure les propietats. Segles més tard, Johannes Kepler va utilitzar l’el·lipse per descriure el moviment planetari, i Isaac Newton va utilitzar les seccions còniques per explicar la gravetat.

Preguntes freqüents

Quins són els quatre tipus de seccions còniques?

Circumferència, el·lipse, paràbola i hipèrbola. Cadascuna es forma quan un pla talla un con amb un angle diferent, i cadascuna té un interval d’excentricitat diferent.

Com es calcula l’excentricitat?

L’excentricitat és fixa per a una circumferència ($e = 0$) i una paràbola ($e = 1$). Per a una el·lipse, $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, utilitzant el semieix major $a$ i el semieix menor $b$. Per a una hipèrbola, $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, utilitzant el semieix transvers $a$ i el semieix conjugat $b$.

El semieix transvers d’una hipèrbola ha de ser més llarg que el semieix conjugat?

No. A diferència dels semieixos major i menor d’una el·lipse, el semieix transvers ($a$) i el semieix conjugat ($b$) d’una hipèrbola són mesures independents. Tots dos han de ser positius, però qualsevol dels dos pot ser el més llarg.

Una el·lipse es pot convertir en una circumferència?

Sí. Quan el semieix major és igual al semieix menor, l’el·lipse és una circumferència i la seva excentricitat és 0.

Per què les antenes parabòliques tenen forma parabòlica?

Una paràbola reflecteix els raigs que viatgen paral·lelament al seu eix cap a un únic focus. Les antenes parabòliques i els miralls de telescopi utilitzen aquesta propietat per concentrar els senyals o la llum en un sol punt.

Què és una hipèrbola rectangular?

Una hipèrbola rectangular és aquella en què el semieix transvers és igual al semieix conjugat ($a = b$). Les seves asímptotes són perpendiculars, i la seva excentricitat és $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Referències

1. Secció cònica - Viquipèdia
2. Excentricitat de les seccions còniques - Khan Academy
3. Seccions còniques - OpenStax