Longitud de la generatriu d’un con

La generatriu d’un con és la distància des del vèrtex, la punta, fins a la vora de la base circular, mesurada al llarg de la superfície exterior del con. És diferent de l’altura, que baixa recta pel centre del con. Aquesta calculadora determina la generatriu, el radi o l’altura d’un con circular recte a partir dels altres dos valors.

Què és la generatriu?

Un con circular recte té una base circular plana i un vèrtex situat directament damunt del centre d’aquesta base. Tres mesures descriuen la seva forma:

• Radi (r) — la distància des del centre de la base fins a la seva vora.
• Altura (h) — la distància recta i perpendicular des de la base fins al vèrtex.
• Generatriu (l) — la distància des del vèrtex fins a la vora de la base, mesurada al llarg de la superfície inclinada.

Aquestes tres longituds formen un triangle rectangle. L’altura és un catet, el radi és l’altre catet i la generatriu és la hipotenusa, el costat més llarg, situada davant de l’angle recte.

Fórmula de la generatriu

Com que el radi, l’altura i la generatriu formen un triangle rectangle, s’hi aplica el teorema de Pitàgores:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Aquí, $l$ és la generatriu, $r$ és el radi i $h$ és l’altura.

La fórmula es pot reordenar per trobar qualsevol de les altres dues longituds, sempre que es coneguin la generatriu i un valor més.

Per trobar el radi:

$$r = \sqrt{l^2 - h^2}$$

Per trobar l’altura:

$$h = \sqrt{l^2 - r^2}$$

Com calcular la generatriu d’un con

1. Mesureu o anoteu el radi i l’altura del con, fent servir la mateixa unitat per a tots dos (per exemple, tots dos en centímetres).
2. Eleveu al quadrat cada valor i, després, sumeu els dos resultats.
3. Calculeu l’arrel quadrada d’aquesta suma. El resultat és la generatriu, expressada en la mateixa unitat.

La calculadora arrodoneix el resultat a quatre decimals.

Exemple resolt

Un con té un radi de 3 unitats i una altura de 4 unitats. Per trobar la generatriu:

$$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ unitats}$$

La generatriu és de 5 unitats.

La mateixa idea funciona a la inversa. Un con té una generatriu de 13 unitats i una altura de 12 unitats. Per trobar el radi:

$$r = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ unitats}$$

El radi és de 5 unitats.

Valors vàlids

El radi, l’altura i la generatriu han de ser nombres positius. Un con amb un radi o una altura igual a zero no té volum i no és una forma tridimensional real.

La generatriu sempre ha de ser més llarga que el radi i que l’altura. Això es dedueix directament del teorema de Pitàgores: la hipotenusa d’un triangle rectangle sempre és més llarga que qualsevol dels catets. Si una generatriu proposada és més curta o igual que el radi o l’altura introduïts, no existeix cap con vàlid amb aquestes mesures, i la calculadora indica que l’entrada no és vàlida en lloc de mostrar un nombre incorrecte. Les entrades que no són nombres ordinaris, com ara text o una xifra massa gran perquè la calculadora la pugui gestionar, es rebutgen de la mateixa manera.

Per què és important la generatriu

La generatriu s’utilitza per trobar l’àrea lateral d’un con, és a dir, la superfície corba sense la base, mitjançant la fórmula $\pi r l$. Això és útil per a tasques com ara:

• Tallar xapa metàl·lica o paper amb la forma de sector adequada per formar un con, com en el cas dels embuts, els gots de paper o les pantalles de llum.
• Estimar el material necessari per a teulades còniques, agulles o sitges.
• Resoldre problemes de geometria que impliquen el teorema de Pitàgores en tres dimensions.

Preguntes freqüents

Què és la generatriu d’un con? És la distància des del vèrtex d’un con fins a la vora de la seva base, mesurada al llarg de la superfície inclinada, i no recta passant pel centre.

Com es calcula la generatriu d’un con? Feu servir $l = \sqrt{r^2 + h^2}$, on $r$ és el radi i $h$ és l’altura. Eleveu al quadrat cada valor, sumeu-los i calculeu-ne l’arrel quadrada.

Quina diferència hi ha entre la generatriu i l’altura? L’altura és la línia recta i perpendicular des de la base fins al vèrtex. La generatriu recorre la superfície exterior del con des del vèrtex fins a la vora de la base, de manera que sempre és la més llarga de les dues.

La generatriu pot ser més curta que el radi o l’altura? No. Com que la generatriu és la hipotenusa del triangle rectangle que formen el radi i l’altura, sempre és més llarga que qualsevol dels dos.

Aquesta fórmula funciona per a qualsevol con? S’aplica a un con circular recte, és a dir, un con amb una base circular i un vèrtex centrat directament damunt seu. Un con oblic, en què el vèrtex queda desplaçat cap a un costat, requereix un càlcul diferent.

Quines unitats s’han de fer servir? Es pot fer servir qualsevol unitat, sempre que el radi i l’altura s’introdueixin en la mateixa unitat. El resultat s’obté en aquesta mateixa unitat.

Referències

1. Con – Viquipèdia
2. Teorema de Pitàgores – Khan Academy