Calculadora d'Altura de Con - Calcula l'Altura de Con en Línia

Una calculadora de l’altura d’un con determina l’altura vertical d’un con circular recte a partir de dues mesures: el radi de la base i la generatriu. Utilitza el teorema de Pitàgores, ja que l’altura, el radi i la generatriu formen un triangle rectangle dins del con.

Quina és l’altura d’un con?

L’altura d’un con és la distància en línia recta des de l’àpex (la punta) fins al centre de la base circular, mesurada en angle recte respecte de la base. De vegades s’anomena «altura vertical» o «altura perpendicular», per distingir-la de la generatriu.

La generatriu és diferent. És la distància des de l’àpex fins a un punt de la vora de la base, mesurada al llarg de la superfície exterior del con. Com que la generatriu segueix un angle en lloc d’anar recta cap avall, sempre és més llarga que l’altura vertical.

Fórmula de l’altura d’un con

En un con circular recte, el radi (r), l’altura (h) i la generatriu (l) formen un triangle rectangle. La generatriu és la hipotenusa. Això vol dir que l’altura es pot trobar amb el teorema de Pitàgores:

h = √(l² − r²)

On:

• h és l’altura del con
• l és la generatriu
• r és el radi de la base

La fórmula només funciona quan la generatriu és més gran que el radi. Si no ho és, no pot existir cap con real amb aquestes mesures, perquè la hipotenusa d’un triangle rectangle ha de ser més llarga que qualsevol dels altres dos costats.

Com calcular l’altura d’un con

1. Mesureu o anoteu el radi de la base del con.
2. Mesureu o anoteu la generatriu, és a dir, la distància al llarg de l’exterior del con des de la punta fins a la vora de la base.
3. Eleveu al quadrat tots dos nombres, resteu el quadrat del radi al quadrat de la generatriu i calculeu l’arrel quadrada del resultat.
4. Assegureu-vos que totes dues mesures utilitzen la mateixa unitat, com ara centímetres o polzades. El resultat estarà expressat en aquesta mateixa unitat.

La calculadora arrodoneix la resposta a dues xifres decimals. Un radi de 1 i una generatriu de 2 donen √3 = 1,7320508…, que la calculadora mostra com a 1,73.

Exemple resolt

Exemple 1. Un con té un radi de 3 unitats i una generatriu de 5 unitats.

h = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 unitats

Exemple 2. Un con té un radi de 5 unitats i una generatriu de 13 unitats.

h = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 unitats

Exemple 3. Un con té un radi de 8 unitats i una generatriu de 10 unitats.

h = √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 unitats

Quan no hi ha una altura vàlida

Si la generatriu és igual o més petita que el radi, la calculadora no pot retornar cap altura. Un con no pot tenir una generatriu igual al radi, perquè això requeriria una altura zero o un nombre imaginari. Per exemple, un radi de 5 i una generatriu de 5 descriuen un disc pla, no un con, de manera que la calculadora marca aquesta entrada com a no vàlida en lloc de mostrar un resultat.

Les entrades zero i negatives es gestionen de manera diferent. Fins que tant el radi com la generatriu no siguin nombres més grans que zero, la calculadora es manté en blanc en lloc de mostrar un error.

Aplicacions de l’altura d’un con

L’altura del con, juntament amb el radi, s’utilitza per calcular el volum d’un con (V = ⅓πr²h) i la seva àrea superficial. Els arquitectes la fan servir en el disseny de cobertes còniques. Els fabricants la utilitzen per calcular quina quantitat de material necessita una peça cònica. També apareix a les classes de geometria, ja que el con és una de les formes tridimensionals bàsiques que s’ensenyen al costat del cilindre i l’esfera.

Preguntes freqüents

Com es troba l’altura d’un con a partir del radi i la generatriu? Eleveu al quadrat la generatriu, eleveu al quadrat el radi, resteu el segon resultat del primer i, després, calculeu l’arrel quadrada: h = √(l² − r²).

Quina és la fórmula de l’altura d’un con? h = √(l² − r²), on h és l’altura, l és la generatriu i r és el radi de la base. Es deriva directament del teorema de Pitàgores.

L’altura d’un con pot ser més gran que la generatriu? No. La generatriu és la hipotenusa del triangle rectangle format per l’altura i el radi, i una hipotenusa sempre és el costat més llarg d’un triangle rectangle.

Què passa si el radi és igual a la generatriu? No hi ha cap con vàlid. Un radi igual o més gran que la generatriu donaria una altura zero o negativa, cosa que no és possible en un con real.

En què es diferencia la generatriu de l’altura? L’altura es mesura recta cap avall des de l’àpex fins al centre de la base. La generatriu es mesura al llarg de la superfície exterior, des de l’àpex fins a la vora de la base. La generatriu sempre és la més llarga de les dues.

En quines unitats s’expressa el resultat? El resultat utilitza la mateixa unitat que el radi i la generatriu introduïts. Si tots dos estan expressats en centímetres, l’altura es dona en centímetres.

Referències

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. "Cone (geometry)." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Cone_(geometry)