Calculadora de Diàmetre de Con - Calcula des de l'Alçada i el Radi

Quin és el diàmetre d’un con?

El diàmetre d’un con és l’amplada de la seva base circular, mesurada en línia recta passant pel centre. És igual al doble del radi de la base. Un con també es pot descriure per la seva altura (la distància vertical en línia recta des de la base fins al vèrtex) i la seva generatriu (la distància des del vèrtex, per la superfície exterior del con, fins a la vora de la base). Si es coneix qualsevol parella d’aquests tres valors, es pot trobar el tercer.

Fórmula del diàmetre d’un con

Hi ha dues maneres habituals de trobar el diàmetre, segons quines mesures estiguin disponibles.

A partir de l’altura i la generatriu:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Aquí, d és el diàmetre, s és la generatriu i h és l’altura. Això es dedueix del teorema de Pitàgores: la generatriu és la hipotenusa d’un triangle rectangle format per l’altura i el radi, de manera que $s^2 = h^2 + r^2$. En aïllar el radi i duplicar-lo s’obté el diàmetre. La calculadora dona el mateix valor en la forma equivalent $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Totes dues formes donen el mateix resultat, però la segona conserva més dígits correctes quan la generatriu només és lleugerament més gran que l’altura.

A partir del radi:

$d = 2r$

Aquesta és simplement la definició de diàmetre. Si el radi ja és conegut, no cal cap altra mesura.

La generatriu sempre ha de ser més llarga que l’altura, perquè és la hipotenusa d’un triangle rectangle i una hipotenusa sempre és el costat més llarg. Si la generatriu és igual o més curta que l’altura, la forma descrita no és un con vàlid.

Com es calcula el diàmetre d’un con

Mètode 1: altura i generatriu

1. Mesureu l’altura (h), la distància vertical en línia recta des de la base fins al vèrtex.
2. Mesureu la generatriu (s), la distància des del vèrtex fins a la vora de la base al llarg de la superfície del con.
3. Eleveu al quadrat tots dos valors, resteu l’altura al quadrat de la generatriu al quadrat i calculeu l’arrel quadrada: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Multipliqueu el resultat per 2 per obtenir el diàmetre.

Mètode 2: radi

1. Mesureu el radi (r), la distància des del centre de la base fins a la seva vora.
2. Multipliqueu-lo per 2.

Només s’ha d’utilitzar un d’aquests dos mètodes cada vegada. Proporcionar alhora l’altura, la generatriu i el radi és ambigu, ja que els tres valors podrien no descriure un con coherent.

Exemple resolt

Exemple 1: altura i generatriu

Un con té una altura de 3 unitats i una generatriu de 5 unitats.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

El diàmetre és de 8 unitats.

Exemple 2: radi

Un con té un radi de 4 unitats.

$d = 2 \times 4 = 8$

El diàmetre és de 8 unitats. Això coincideix amb l’exemple 1, ja que un con amb una altura de 3 i una generatriu de 5 té un radi de la base de 4.

Exemple 3: un con aplatat

Un con té una altura de 0,1 unitats i una generatriu de 10 unitats.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

El diàmetre és aproximadament de 20,00 unitats. Quan l’altura és molt petita en comparació amb la generatriu, el diàmetre s’aproxima al doble de la generatriu.

Exemple 4: un con en forma d’agulla

Un con té una altura de 9,99 unitats i una generatriu de 10 unitats.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

El diàmetre és aproximadament de 0,89 unitats. Quan la generatriu només és lleugerament més llarga que l’altura, el con és alt i estret, i el diàmetre de la base és petit.

Aplicacions dels càlculs del diàmetre d’un con

El diàmetre d’un con apareix sempre que es mesuren o es construeixen formes còniques. Els enginyers l’utilitzen per dissenyar embuts, broquets i dipòsits cònics. Els fabricants l’utilitzen per dimensionar motlles i peces còniques. Els geòlegs fan servir mesures similars per descriure cons volcànics. La mateixa relació entre l’altura, la generatriu i el radi s’aplica a qualsevol con circular recte, des d’un barret de festa de paper fins al morro cònic d’un coet.

Historial

L’estudi matemàtic dels cons es remunta a l’antiga Grècia. Apol·loni de Perge, que treballava cap a 200 aC, va escriure un tractat important titulat Conics, en què examinava com els plans tallen els cons per produir cercles, el·lipses, paràboles i hipèrboles. La relació bàsica entre l’altura, el radi i la generatriu d’un con, basada en el teorema de Pitàgores, es coneix des de l’antiguitat i encara és el mètode que s’utilitza avui.

Preguntes freqüents

Quin és el diàmetre d’un con?

És l’amplada de la base circular del con, mesurada en línia recta passant pel centre. És el doble del radi de la base.

Com es troba el diàmetre d’un con sense el radi?

Utilitzeu l’altura i la generatriu amb la fórmula $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Aquesta fórmula aplica el teorema de Pitàgores per trobar el radi i després el duplica.

Quina relació hi ha entre el diàmetre, l’altura i la generatriu d’un con?

L’altura, el radi i la generatriu formen un triangle rectangle. La generatriu és la hipotenusa, l’altura és un catet i el radi és l’altre: $s^2 = h^2 + r^2$. El diàmetre és el doble del radi.

Per què la calculadora rebutja alguns valors?

L’altura ha de ser superior a zero. La generatriu ha de ser més gran que l’altura, ja que una hipotenusa no pot ser més curta que un catet ni tenir-hi la mateixa longitud. El radi ha de ser superior a zero. L’altura i la generatriu, o bé el radi, s’han d’introduir per separat; introduir els tres valors alhora és ambigu i es rebutja. Si s’introdueix un radi juntament amb una altura, només s’utilitza el radi, perquè el radi ja determina el diàmetre.

Pot tenir un con dos diàmetres diferents?

Un con estàndard té un sol diàmetre, a la base, i acaba en un punt al vèrtex. Un tronc de con, que és un con al qual s’ha tallat la part superior acabada en punta, té dos diàmetres, un a cada extrem pla.

Quines unitats s’han d’utilitzar?

Serveix qualsevol unitat coherent, com ara centímetres, metres o polzades. El resultat s’expressa en la mateixa unitat que s’ha utilitzat per a les dades d’entrada.

Referències

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J.J. i Robertson, E.F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/