Calculadora de Con Circular Recte - Volum, Àrea de Superfície i Fórmules

Què és un con circular recte?

Un con circular recte és un cos sòlid amb una base circular plana i un costat corb que s’estreny fins a un únic punt, anomenat vèrtex. És «recte» perquè el vèrtex se situa directament sobre el centre de la base. Una línia que va verticalment del vèrtex fins a la base hi forma un angle recte. Aquesta calculadora determina el volum del con, l’àrea de la base, l’àrea lateral i l’àrea total de la superfície a partir del radi i l’altura.

Alguns exemples habituals d’aquesta forma són els cons de trànsit, els cucurutxos de gelat, els embuts i les teulades d’algunes torres.

Mesures d’un con

Dues mesures descriuen un con circular recte:

• Radi (r): distància des del centre de la base circular fins a la vora.
• Altura (h): distància vertical recta des de la base fins al vèrtex.

Una tercera longitud, la generatriu (l), és la distància al llarg de la superfície exterior del con des del vèrtex fins a la vora de la base. No es mesura directament. En lloc d’això, es calcula a partir del radi i l’altura, perquè aquestes tres longituds formen un triangle rectangle. La calculadora utilitza la generatriu per calcular l’àrea lateral, però no la mostra com un resultat separat.

La calculadora no fixa cap unitat. Introduïu el radi i l’altura en la mateixa unitat. Totes les àrees s’expressen aleshores en unitats quadrades, i el volum, en unitats cúbiques. Cap dels dos valors no pot ser negatiu, perquè una longitud no pot ser negativa; la calculadora mostra un missatge en lloc d’un resultat. Els resultats es donen amb quatre decimals.

Fórmules del con

Fórmula de la generatriu

El radi, l’altura i la generatriu formen un triangle rectangle, de manera que la generatriu es dedueix del teorema de Pitàgores:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Fórmula de l’àrea de la base

La base és un cercle, de manera que la seva àrea es calcula amb la fórmula estàndard de l’àrea d’un cercle:

$$A_b = \pi r^2$$

Fórmula de l’àrea lateral

L’àrea lateral cobreix només el costat corb, no la base. Si el costat corb es desplegués i quedés pla, formaria un sector d’un cercle amb una àrea de:

$$A_l = \pi r l$$

Fórmula de l’àrea total de la superfície

L’àrea total de la superfície suma la base i el costat corb:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Un con obert per la base, com ara un embut de paper, només necessita l’àrea lateral per calcular la quantitat de material.

Fórmula del volum d’un con

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

El volum d’un con és exactament un terç del d’un cilindre amb la mateixa base i la mateixa altura. Arquimedes va demostrar aquesta relació mitjançant un mètode anterior al càlcul infinitesimal. Més tard, es va confirmar amb el càlcul integral, que tracta el con com una pila infinita de discos circulars cada vegada més petits, des de la base fins al vèrtex.

Com calcular el volum d’un con: exemple resolt

Considerem un con amb un radi de r = 5 unitats i una altura de h = 12 unitats.

1. Trobeu la generatriu.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ unitats}$$

2. Trobeu l’àrea de la base.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ unitats}^2$$

3. Trobeu l’àrea lateral.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ unitats}^2$$

4. Trobeu l’àrea total de la superfície.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ unitats}^2$$

5. Trobeu el volum.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ unitats}^3$$

Diagrama

La línia vertical discontínua és l’altura, des de la base fins al vèrtex. La línia horitzontal discontínua és el radi, des del centre de la base fins a la vora.

On apareixen els cons a la vida real

Els càlculs del volum i de l’àrea de la superfície dels cons apareixen en diversos àmbits pràctics:

• Fabricació de xapa metàl·lica: l’àrea lateral indica la quantitat de material pla necessària per enrotllar-lo i formar una tremuja cònica, un embut o un reductor de conducte cònic, abans d’afegir un marge per a les costures i el material desaprofitat.
• Capacitat d’emmagatzematge: la fórmula del volum dona la capacitat dels dipòsits cònics i de les parts inferiors còniques dels sitges.
• Construcció: les agulles, els coronaments de torres i altres elements cònics de les teulades utilitzen l’àrea lateral per estimar el material de coberta.
• Objectes quotidians: els gots de paper, els cucurutxos de gelat i els cons de trànsit són aproximadament cons circulars rectes.

Aquesta calculadora pressuposa un con perfecte, amb una base circular i el vèrtex centrat sobre la base. Un con truncat per la part superior, anomenat tronc de con, necessita un conjunt diferent de fórmules perquè té dos radis en lloc d’un.

Història

Els matemàtics de l’antiga Grècia ja estudiaven els cons cap a 300 aC. Els Elements d’Euclides definien un con com el cos sòlid format en fer girar un triangle rectangle al voltant d’un dels seus catets. Més tard, Apol·loni de Perge va estudiar les corbes formades en seccionar un con amb angles diferents, que avui s’anomenen seccions còniques: el cercle, l’el·lipse, la paràbola i la hipèrbola. Arquimedes va demostrar la fórmula del volum V = (1/3)πr²h mitjançant el mètode d’exhaustió, una tècnica geomètrica que es va anticipar al càlcul integral en aproximadament 2.000 anys.

Preguntes freqüents

Què fa que un con sigui «circular recte»?

«Recte» significa que el vèrtex se situa directament sobre el centre de la base, de manera que l’eix és perpendicular a la base. En un con oblic, el vèrtex es troba desplaçat cap a un costat. «Circular» significa que la base és un cercle i no una el·lipse o una altra forma.

Quina és la fórmula del volum d’un con?

V = (1/3)πr²h, on r és el radi de la base i h és l’altura perpendicular. El volum no requereix la generatriu.

Quina és la fórmula de l’àrea de la superfície d’un con?

L’àrea total de la superfície és A = πr² + πrl, on r és el radi i l és la generatriu. El primer terme és l’àrea de la base i el segon és l’àrea lateral. Ometeu el primer terme si el con no té base, com ara un embut obert.

Què és la generatriu i en què es diferencia de l’altura?

L’altura és la distància vertical recta des de la base fins al vèrtex, mesurada per l’interior del con. La generatriu és la distància al llarg de la superfície exterior des del vèrtex fins a la vora de la base. Es relacionen mitjançant l = √(r² + h²), i la generatriu sempre és més llarga que l’altura quan el radi és més gran que zero.

Com trobo el volum d’un con a partir del diàmetre?

Dividiu el diàmetre per 2 per obtenir el radi i, després, utilitzeu V = (1/3)πr²h. Per exemple, un con amb un diàmetre de 10 cm i una altura de 15 cm té un radi de 5 cm, de manera que V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Aquesta calculadora funciona amb cons truncats (troncs de con)?

No. Un tronc de con és un con amb la part superior tallada, de manera que té dos radis en lloc d’un i necessita les seves pròpies fórmules per al volum i l’àrea de la superfície.