Simplificador de Logaritmes

Un simplificador de logaritmes és una eina que reescriu una expressió logarítmica aplicant-hi una regla estàndard dels logaritmes, com ara la regla del producte o la regla de la potència. L’aplicació Simplificador de logaritmes comprova una expressió amb un conjunt fix de patrons i en retorna la forma simplificada. Si no hi encaixa cap patró únic, retorna l’expressió sense canvis.

Què és un logaritme?

Un logaritme respon a una pregunta: quina potència transforma la base en aquest nombre? Si $b^y = x$ , aleshores $\log_b(x) = y$ . Un logaritme és la inversa de l’exponenciació. Desfà una potència.

N’hi ha tres tipus que apareixen més sovint:

log: de base 10, el logaritme decimal. log(100) pregunta «10 elevat a quina potència dona 100?».
ln: base $e$ (aproximadament 2,71828), el logaritme natural, d’ús habitual en càlcul.
log_a: una base personalitzada, escrita amb un guió baix. log_2(8) vol dir el logaritme en base 2 de 8.

Un logaritme només està definit per a un argument positiu. L’aplicació rebutja com a invàlides entrades com log(0) o log(-5), ja que cap potència real d’una base positiva produeix zero ni un nombre negatiu.

Regles i fórmules dels logaritmes

Regla	Fórmula
Regla del producte	$\log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y)$
Regla del quocient	$\log_b(x \div y) = \log_b(x) - \log_b(y)$
Regla de la potència	$\log_b(x^n) = n \times \log_b(x)$
Canvi de base	$\log_a(x) = \dfrac{\log(x)}{\log(a)}$
Identitat	$\log_b(b) = 1$
Logaritme d’un	$\log_b(1) = 0$

Com calcular un logaritme simplificat

L’aplicació prova cada regla, per ordre, contra tota l’expressió escrita al quadre d’entrada. Aplica la primera regla la forma de la qual coincideix amb tota l’expressió, no només amb una part.

Com que cada regla comprova l’expressió completa, l’aplicació simplifica una operació cada vegada. Una expressió que combina una potència i una multiplicació en el mateix terme, com ara log(x^2*y), no coincideix amb cap patró individual i, per tant, es retorna sense canvis. L’eina no combina diverses regles per descompondre una expressió més llarga pas a pas.

Per a un logaritme numèric simple com log(8), log(100) o ln(20), l’aplicació calcula un nombre en lloc d’aplicar una regla simbòlica. Els resultats enters es mostren com a nombres enters; qualsevol altre valor s’arrodoneix a sis decimals. Això només passa quan tota l’entrada és un únic logaritme d’un nombre. Una entrada amb dos logaritmes, com ara log(8)/log(2), es retorna sense canvis en lloc d’avaluar-ne una part.

Exemple resolt

Per simplificar log(x*y), l’aplicació fa coincidir el patró de la regla del producte log(A*B). Separa l’expressió en dos logaritmes independents units per una suma:

$\log(x \times y) = \log(x) + \log(y)$

Per a log(x^3), coincideix el patró de la regla de la potència log(A^n), i l’exponent passa al davant:

$\log(x^3) = 3 \times \log(x)$

L’exponent pot ser negatiu o decimal. log(x^-2) dona -2 * log(x), i log(x^0.5) dona 0.5 * log(x).

Per a una base personalitzada com log_2(8), l’aplicació aplica simbòlicament la fórmula del canvi de base. No calcula el resultat numèric (que és 3); retorna el quocient log(8) / log(2).

Exemples d’entrades i resultats

L’última columna és el nom de la regla que l’aplicació mostra sota el diagrama.

Entrada	Resultat	Regla mostrada
`log(100)`	`2`	Avaluació de la base
`log(8)`	`0.903090`	Avaluació de la base
`log(1)`	`0`	Avaluació de la base
`log(10)`	`1`	Avaluació de la base
`log(0.5)`	`-0.301030`	Avaluació de la base
`ln(20)`	`2.995732`	Avaluació de la base
`ln(e^5)`	`5`	Logaritme natural d’e^n
`log(x^3)`	`3 * log(x)`	Regla de la potència
`log(x^-2)`	`-2 * log(x)`	Regla de la potència
`log(x*y)`	`log(x) + log(y)`	Regla del producte
`log(x/y)`	`log(x) - log(y)`	Regla del quocient
`log_5(5)`	`1`	Identitat del logaritme de la base
`log_2(8)`	`log(8) / log(2)`	Canvi de base (resultat simbòlic, no `3`)
`log(x+y)`	`log(x+y)` (sense canvis)	Simplificació

Ús de l’aplicació

Escriviu una expressió al camp d’entrada fent servir * per a la multiplicació, / per a la divisió, ^ per als exponents i parèntesis per agrupar termes. Feu servir la notació amb guió baix, com a log_2(8), per a una base personalitzada. El resultat apareix tan bon punt s’escriu una expressió vàlida, juntament amb un diagrama petit que mostra l’entrada, el resultat i quina regla individual s’ha aplicat. Un botó de còpia permet enganxar el resultat en altres documents.

Limitacions

L’aplicació és un petit comprovador de patrons, no pas un sistema complet d’àlgebra computacional. No pot:

Aplicar dues regles o més en cadena a la mateixa expressió; per tant, les expressions amb diversos termes, com log(x^2*y/z), no es descomponen més.
Treballar amb una entrada que contingui més d’un logaritme. log(8)/log(2) es retorna sense canvis, no s’avalua com a 3.
Avaluar un logaritme de base personalitzada i convertir-lo en un nombre simple. log_2(8) es manté com log(8) / log(2) en lloc de convertir-se en 3.
Simplificar sumes o diferències dins d’un logaritme, com log(x + y), perquè les regles del producte i del quocient només s’apliquen a la multiplicació i la divisió.
Resoldre equacions, representar funcions gràficament ni gestionar logaritmes niats.

Per a aquestes tasques, un sistema complet d’àlgebra computacional com Wolfram Alpha o una calculadora gràfica és més adequat.

Una breu història

El matemàtic escocès John Napier va introduir els logaritmes el 1614 per convertir les multiplicacions en sumes i reduir el temps dels càlculs manuals dels astrònoms i navegants. Més tard, Henry Briggs va treballar amb Napier per elaborar taules de logaritmes en base 10, publicades el 1617 i utilitzades durant més de tres segles. Al segle 20, els logaritmes van adquirir una nova funció: Claude Shannon els va utilitzar el 1948 per definir el bit, la unitat bàsica d’informació, i actualment els informàtics fan servir logaritmes per descriure com varia l’eficiència d’algoritmes com la cerca binària amb l’escala.

Preguntes més freqüents

Què és un simplificador de logaritmes? És una eina que reescriu una expressió logarítmica mitjançant una regla dels logaritmes, com ara transformar log(x*y) en log(x) + log(y). Aquesta aplicació fa coincidir una regla cada vegada amb tota l’expressió escrita.

log_2(8) se simplifica a 3? No. L’aplicació aplica simbòlicament la fórmula del canvi de base i retorna log(8) / log(2). No avalua els logaritmes de base personalitzada fins a obtenir un nombre, encara que el resultat numèric sigui enter.

Pot l’aplicació combinar diverses regles en una sola expressió? No. Cada regla comprova tota l’expressió alhora. Una expressió que necessita dues regles, com ara separar un producte i després aplicar-hi la regla de la potència, es retorna sense canvis.

Per què log(x + y) no se simplifica més? Les regles del producte i del quocient només s’apliquen a la multiplicació i la divisió dins d’un logaritme, no a la suma ni a la resta. log(x + y) no es pot reescriure com log(x) + log(y); és un error freqüent.

On es fa el càlcul? Al navegador, al dispositiu. L’expressió no s’envia a cap servidor i l’eina es pot utilitzar gratuïtament, sense registrar-se.

Simplificador de Logaritmes - Solucions Instantànies Pas a Pas