Calculador de l'Equació de Young-Laplace | Pressió d'Interfície

Què és l’equació de Young-Laplace?

L’equació de Young-Laplace és una fórmula de la mecànica de fluids que dona la diferència de pressió a través d’una interfície corba entre dos fluids, com ara la superfície d’una gota d’aigua o d’una bombolla de sabó. Mostra que aquesta diferència de pressió depèn de la tensió superficial del fluid i de la intensitat amb què es corba la interfície. L’equació explica per què augmenta la pressió dins de les gotes i les bombolles, i per què les més petites tenen una pressió interna més alta que les més grans.

Rep el nom de Thomas Young i Pierre-Simon Laplace, que van descriure aquesta relació cadascun per la seva banda a principis de la dècada de 1800.

Fórmula de l’equació de Young-Laplace

La forma general de l’equació és:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ és la diferència de pressió a través de la interfície, en pascals (Pa)
• $\gamma$ (gamma) és la tensió superficial del fluid, en newtons per metre (N/m)
• $R_1$ i $R_2$ són els dos radis principals de curvatura de la superfície, en metres (m)

Una superfície es corba de manera diferent en diferents direccions. $R_1$ i $R_2$ descriuen la curvatura al llarg de dues direccions perpendiculars entre si. En una esfera, com ara una gota o una bombolla, $R_1$ és igual a $R_2$, de manera que la fórmula es redueix a:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Convenció de signes

La pressió sempre és més alta al costat còncau d’una interfície corba, el costat cap al qual la superfície s’allunya en formar una protuberància. En una gota o una bombolla, això significa que la pressió interior és més alta que la pressió exterior. Un radi es considera positiu quan el seu centre de curvatura es troba al costat de pressió més alta. Si la superfície es corba en l’altra direcció, aquest radi es considera negatiu. Una interfície amb forma de sella, com el coll de líquid entre dos grans en contacte, té un radi positiu i un de negatiu, i els dos termes es cancel·len parcialment.

Aquest calculador només utilitza radis positius.

Casos especials

• Superfície plana: a mesura que un radi tendeix a l’infinit, el seu terme de la fórmula tendeix a zero. Una interfície perfectament plana no té cap diferència de pressió.
• Cilindre: una superfície cilíndrica llarga, com ara un raig de líquid que surt d’un broquet, es corba en una sola direcció. Un radi és el radi del cilindre i l’altre és infinit al llarg de la seva longitud, de manera que la fórmula es redueix a $\Delta P = \gamma / R$. Aquesta és la meitat de la diferència de pressió d’una esfera amb el mateix radi.
• Escales molt petites: per sota d’aproximadament 10 a 20 nanòmetres, efectes addicionals com la tensió de línia esdevenen significatius i l’equació simple perd precisió.

Com calcular la diferència de pressió amb l’equació de Young-Laplace

1. Determineu la tensió superficial del fluid, en N/m, a la temperatura que us interessi. La tensió superficial disminueix quan augmenta la temperatura.
2. Mesureu o estimeu el primer radi principal de curvatura, $R_1$, en metres.
3. Mesureu o estimeu el segon radi principal de curvatura, $R_2$, en metres. Per a una esfera, utilitzeu el mateix valor que $R_1$. Per a un cilindre, utilitzeu un nombre molt gran per representar l’infinit.
4. Multipliqueu la tensió superficial per la suma de $1/R_1$ i $1/R_2$. El resultat és la diferència de pressió en pascals.

Mantingueu tots els valors en unitats del SI. Barrejar mil·límetres amb metres, per exemple, altera el resultat per un factor de mil.

Exemple resolt

Considereu una gota d’aigua esfèrica amb un radi de 1 mil·límetre (0,001 m) i una tensió superficial de 0,072 N/m, un valor típic de l’aigua a prop de la temperatura ambient.

Com que la gota és una esfera, $R_1 = R_2 = R$, de manera que:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

La pressió dins de la gota és 144 Pa superior a la pressió de l’aire circumdant. És una diferència petita en comparació amb la pressió atmosfèrica normal, d’aproximadament 101.325 Pa, però l’efecte creix ràpidament a mesura que la gota es fa més petita. Una gota d’una dècima part de la mida, amb un radi de 0,1 mm, té una diferència de pressió deu vegades més gran: 1.440 Pa. Una gota amb un radi de 0,01 mm arriba a 14.400 Pa, més del 14 % de la pressió atmosfèrica.

Aplicacions de l’equació

• Gotes i bombolles: la pressió més alta dins de les gotes petites impulsa la maduració d’Ostwald, el procés pel qual les gotes petites d’una emulsió s’encongeixen mentre les més grans creixen, perquè el seu contingut es difon de les zones d’alta pressió a les de baixa pressió.
• Acció capil·lar: la superfície corba dins d’un tub estret fa pujar el líquid. Per això l’aigua puja per les tovalloletes de paper i pels tubs de vidre estrets.
• Respiració: els diminuts sacs d’aire dels pulmons, anomenats alvèols, es comporten com bombolles petites. Un recobriment anomenat tensioactiu pulmonar redueix la tensió superficial perquè els alvèols petits no col·lapsin sota la pressió que prediu l’equació. Els nadons prematurs que no tenen prou tensioactiu poden desenvolupar problemes respiratoris per aquest motiu.
• Impressió per injecció de tinta: els broquets de les impressores formen gotes de desenes de micròmetres de diàmetre, on la pressió causada per la curvatura és prou gran per determinar com surt la tinta del broquet.
• Ciència dels materials: els instruments que mesuren com els líquids mullen una superfície i com es comporten els recobriments prims utilitzen l’equació per relacionar la forma d’una gota amb la seva energia superficial.

Història

Les persones van observar que els líquids pujaven per tubs estrets molt abans que ningú expliqués per què. A principis de la dècada de 1700, Francis Hauksbee va demostrar experimentalment que els tubs més estrets provoquen una ascensió capil·lar més gran, i el 1718 James Jurin va descriure l’ascens com inversament proporcional al diàmetre del tub.

Thomas Young va explicar la física subjacent en un article de 1805, en introduir la tensió superficial com una propietat d’un fluid i relacionar-la amb la pressió a través de superfícies corbes, tot i que el seu tractament era sobretot descriptiu. El 1806, Pierre-Simon Laplace va establir la forma matemàtica mitjançant el càlcul diferencial, i va arribar independentment a la mateixa relació. El treball conjunt d’ambdós es va convertir en l’equació de Young-Laplace. Més endavant, científics com Carl Friedrich Gauss i Joseph Plateau van posar a prova i ampliar la teoria al llarg de la dècada de 1800.

Preguntes més freqüents

Què calcula l’equació de Young-Laplace? Calcula la diferència de pressió a través d’una interfície corba entre dos fluids, a partir de la tensió superficial del fluid i de la curvatura de la interfície.

Per què la pressió és més alta dins d’una gota més petita? La tensió superficial estira al llarg del perímetre de la gota, i aquesta força d’estirament creix proporcionalment al radi. L’àrea sobre la qual ha d’empènyer la pressió creix amb el quadrat del radi. L’equilibri entre totes dues dona $\Delta P = 2\gamma/R$, de manera que la diferència de pressió és inversament proporcional al radi: si el radi es redueix a la meitat, la diferència de pressió es duplica.

Com afecta la temperatura l’equació? La temperatura modifica el valor de la tensió superficial, i aquesta disminueix quan augmenta la temperatura. En el cas de l’aigua, la tensió superficial disminueix d’aproximadament 0,073 N/m a 20 °C fins a aproximadament 0,063 N/m a 80 °C, una disminució d’uns 0,17 mN/m per cada grau Celsius. La tensió superficial a temperatura ambient és superior a la de l’aigua calenta; per tant, utilitzar un valor de temperatura ambient per a un sistema calent sobreestima la diferència de pressió.

Funciona l’equació per a formes diferents de les esferes? Sí. La forma general, amb dos radis separats $R_1$ i $R_2$, s’aplica a qualsevol superfície corba, inclosos els el·lipsoides i les interfícies amb forma de sella. Només la versió simplificada $2\gamma/R$ es limita a les esferes.

En què es diferencia l’equació de Young-Laplace de l’equació de Young? L’equació de Young-Laplace dona la diferència de pressió causada per una interfície corba. L’equació de Young, una relació diferent que també prové de Thomas Young, dona l’angle de contacte que forma una gota quan entra en contacte amb una superfície sòlida, a partir de les energies superficials dels tres materials implicats. Descriuen fenòmens diferents i de vegades s’utilitzen conjuntament per analitzar una gota dipositada sobre una superfície.

Com de petita pot ser una gota abans que l’equació deixi de funcionar? L’equació continua sent precisa fins a aproximadament 1 micròmetre. Per sota d’uns 10 a 20 nanòmetres, forces addicionals que l’equació no té en compte, com la tensió de línia i les forces entre superfícies a escala molecular, esdevenen prou grans per ser importants, i calen models més detallats.

Referències

1. Young, T. (1805). «An Essay on the Cohesion of Fluids». Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, suplement al llibre 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. i Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W. i Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6a ed.). Wiley-Interscience.